中考全等三角形知识总结和例题 9页

‎　 长安教育中心 全等三角形复习 ‎[知识要点]‎ 一、全等三角形 ‎1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）‎ 角角边（AAS）、边边边（SSS）‎ 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL）‎ 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；‎ ‎② 全等三角形面积相等．‎ ‎2．证题的思路：‎ 性质 ‎ ‎    1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 　　2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 　　3、全等三角形的对应角平分线相等。 　　4、全等三角形的对应中线相等。 　　5、全等三角形面积相等。 　　6、全等三角形周长相等。 　　(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 　　7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS) 　　8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 　　9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 　　10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 　　11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) ‎ 运用 ‎ ‎　　1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 ‎ 而全等的判定却刚好相反。 　　2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 　　3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。 　　4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。 ‎ ‎5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 做题技巧 ‎ ‎　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 　　因此我们可以来采取逆思维的方式。 　　来想要证全等，则需要什么条件 　　另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。 　　然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。‎ ‎（二）实例点拨 例1 （2010淮安） 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。‎ E B C A D ‎ ‎ 解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：‎ 证明：∵点C是线段AB的中点 ‎ ∴AC=BC ‎ ∵∠ACD=∠BCE ‎ ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ‎ 即∠ACE=∠BCD ‎ 在△ACE和△BCD中，‎ ‎ AC=BC ‎ ∠ACE=∠BCD ‎ CE=CD ‎ ∴△ACE≌△BCD（SAS）‎ ‎ ∴AE=BD ‎ 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。‎ 例2 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD ‎ 解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下：‎ ‎ 证明：在△ABE和△ACE中 ‎ AB=AC，‎ ‎ EB=EC， ‎ ‎ AE=AE ‎∴ △ABE≌△ACE (SSS)‎ ‎∴∠BAE＝∠CAE 在△ABD和△ACD中 ‎ AB=AC ‎ ∠BAE= ∠CAE ‎ ‎ AD=AD ‎∴ △ABD≌ △ACD (SAS )‎ ‎∴ BD = CD ‎ 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。‎ 例3.（2009·洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，‎ 求证：AB=DE.‎ ‎【证明】∵AC∥DF，∴‎ 在 ‎ ≌，∴AB=DE.‎ ‎17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.‎ ‎(1)证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）若∠AGB=30°，求EF的长.‎ ‎【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ‎ ‎ ∴AB=AD，‎ 在△ABE和△DAF中，，‎ ‎∴△ABE≌△DAF.‎ ‎（2）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠1+∠4=90o ‎∵∠3=∠4,‎ ‎∴∠1+∠3=90o ‎∴∠AFD=90o 在正方形ABCD中， AD∥BC,‎ ‎∴∠1=∠AGB=30o 在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 , ‎ ‎∴AF= , DF =1,‎ 由(1)得△ABE≌△ADF,‎ ‎∴AE=DF=1,‎ ‎∴EF=AF-AE=.‎ 例4、（2009·吉林中考）如图， ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ‎ ‎【解析】（1）、、、、 ‎ ‎（写出其中的三对即可）. ‎ ‎（2）以为例证明．‎ 证明：‎ 在Rt和Rt中，‎ ‎ Rt≌Rt.‎ 要点二、角平分线的性质与应用 例5、（2009·温州中考）如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）‎ A. B.平分 C. D.垂直平分 ‎【解析】选D.由OP平分，，，可得，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，‎ 所以可得平分，.‎ 例6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。‎ ‎【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得 答案：6.‎ ‎【实弹射击】‎ C A B D E 第1题图 ‎1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。‎ ‎2、如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B O A C D B 第2题图 ‎3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，‎ A D B C F E 第3题图 且DE=BF，说出下列判断成立的理由 ‎.①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、已知：BECF在同一直线上， AB ∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。‎ 第4题图 ‎ 求证：△ ABC≌ △ DEF 5、 如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．‎ 6、 如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。‎ ‎（1）∠DBH=∠DAC；‎ ‎（2）ΔBDH≌ΔADC。‎ 7、 如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．‎ i. 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；‎ ii. 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．‎ 5、 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。‎ 6、 如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．‎ 7、 如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。‎ ‎11.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．‎ ‎ D C B A E F G ‎