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  • 2021-05-13 发布

2010中考数学压轴题精选一

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‎★★1、(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -x2+x+m2-‎3m+2‎ ‎ 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上。‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E。延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动)‎ ‎ j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;‎ ‎ k 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长QF 到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时,M点,N点也随之运动)。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值。‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ O A B C D E P y x 图1‎ 解:(1)∵拋物线y= -x2+x+m2-‎3m+2经过原点,∴m2-‎3m+2=0,解得m1=1,m2=2,由题意知m¹1,∴m=2,‎ ‎∴拋物线的解析式为y= -x2+x,‎ ‎∵点B(2,n)在拋物线y= -x2+x上,‎ ‎∴n=4,∴B点的坐标为(2,4)。‎ ‎ (2)j 设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为 y=2x,∵A点是拋物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标为(10,0),设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,‎2a),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。可求得点C的坐标为(‎3a,‎2a),由C点在拋物线上,得‎2a= -´(‎3a)2+´‎3a,即a‎2-a=0,解得a1=,a2=0(舍去),∴OP=。‎ ‎ k 依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b,由点A(10,0),‎ 点B(2,4),求得直线AB的解析式为y= -x+5,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:‎ ‎ 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上。‎ 如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t,∴t+4t+2t=10,∴t=。‎ ‎ 第二种情况:PC与MN在同一条直线上。‎ 如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t,∵F点在直线AB上,∴FQ=t,∴MQ=2t,∴PQ=MQ=CQ=2t,‎ ‎∴t+2t+2t=10,∴t=2。‎ ‎ 第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,‎ 如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10,‎ 图4‎ y x B O Q(P)‎ N C D M E F ‎∴t=。综上,符合题意的t值分别为,2, 。‎ x y O A M ‎(C)‎ B ‎(E)‎ D P Q F N 图3‎ E x O A B C y P M Q N F D 图2‎ ‎★★2、(2010北京)问题:已知△ABC中,ÐBAC=2ÐACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。‎ ‎ 请你完成下列探究过程:‎ 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。‎ ‎ (1) 当ÐBAC=90°时,依问题中的条件补全右图。观察图形,AB与AC的数量关系为 ; 当推出ÐDAC=15°时,可进一步推出ÐDBC的度数为 ;可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ;‎ ‎ (2) 当ÐBAC¹90°时,请你画出图形,研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。‎ A C B 解:(1) 相等;15°;1:3。‎ ‎(2) 猜想:ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。‎ ‎ 证明:如图2,作ÐKCA=ÐBAC,过B点作BK//AC交CK于点K,‎ ‎ 连结DK。∵ÐBAC¹90°,∴四边形ABKC是等腰梯形,‎ ‎ ∴CK=AB,∵DC=DA,∴ÐDCA=ÐDAC,∵ÐKCA=ÐBAC,‎ B A C D K ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 图2‎ ‎ ∴ÐKCD=Ð3,∴△KCD@△BAD,∴Ð2=Ð4,KD=BD,‎ ‎ ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC,∴ÐACB=Ð6,‎ ‎ ∵ÐKCA=2ÐACB,∴Ð5=ÐACB,∴Ð5=Ð6,∴KC=KB,‎ ‎ ∴KD=BD=KB,∴ÐKBD=60°,∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1,‎ ‎ ∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1,‎ ‎ ∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°,∴Ð2=2Ð1,‎ ‎ ∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1:3。‎ ‎★★3、(2010郴州)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么?‎ ‎(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由. ‎ 第26题 图(1)‎ 图(2)‎ 解:(1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4)‎ ‎(2)当b=0时,直线为,由解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2) ‎ ‎,‎ 所以(利用同底等高说明面积相等亦可)‎ 当时,仍有成立. 理由如下 由,解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b),‎ 作轴,轴,垂足分别为F、G,则,‎ 而和是同底的两个三角形,‎ 所以. ‎ ‎(3)存在这样的b.‎ 因为 所以,所以,即E为BC的中点 所以当OE=CE时,为直角三角形,因为 所以 ,而 所以,解得,‎ 所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形. ‎ ‎★★4、(2010滨州)如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标;‎ ‎(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?‎ 解:‎ 解:①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中,∵OD=MC,AD=BC,‎ ‎∴△AOD≌△BMC.∴OA=MB=MA.‎ 设菱形的边长为‎2m,在Rt△AOD中,‎ ‎,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,)‎ ‎②设抛物线的解析式为y=(—2)2+ ‎ 代入A点坐标可得=—‎ 抛物线的解析式为y=—(—2)2+‎ ‎③设抛物线的解析式为y=—(一2)2+k,代入D(0,)可得k=5‎ 所以平移后的抛物线的解析式为y=—(一2)2+5,平移了5一=4个单位. ‎ ‎★★5、(2010长沙)已知:二次函数的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中且、为实数.‎ ‎(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);‎ ‎(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;‎ ‎(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围.‎ 解:(1)∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ‎∵一次函数过(1,-b) ∴y=-bx ‎ ‎(2)∵y=ax2+bx-2过(1,0)即a+b=2 ‎ 由得 ① ‎ ‎ ∵△=‎ ‎∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ‎∴两函数有两个不同的交点. ‎ ‎(3)∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ‎∴ ‎ ‎∴=‎ 或由求根公式得出。 ∵a>b>0,a+b=2 ∴2>a>1‎ 令函数 ∵在1