中考复习几何探究性问题 7页

几何探究题 ‎1、如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．‎ ‎①如图1，求证：；‎ ‎②探究：如图1， ；‎ 如图2， ；‎ 如图3， ．‎ ‎（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；‎ 是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．‎ ‎①猜想：如图4， （用含的式子表示）；‎ ‎②根据图4证明你的猜想．‎ ‎2、请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．‎ D A B E F C P G 图1‎ D C G P A B E F 图2‎ 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．‎ ‎（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．‎ ‎3、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；‎ ‎（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.‎ ‎（备用图）‎ ‎4、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．‎ 答：对图（2）的探究结论为____________________________________．‎ ‎ 对图（3）的探究结论为_____________________________________．‎ ‎5、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： ‎ ‎（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；‎ ‎②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．‎ ‎（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．‎ ‎7、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．‎ ‎⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。‎ ‎ ①求证：DF＝EF；‎ ‎ ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；‎ ‎⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）‎ O D C B A 图3‎ P 图2‎ O D C B A E F P F P(O)‎ D C B A 图1‎ ‎8、将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；‎ ‎9、（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD 的位置关系，并说明理由． ‎ ‎（2）结论应用： ‎ ‎① 如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF． ‎ ‎② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行．‎ x O y N M 图 2‎ E F x N x O y D M 图 3‎ N A B D C 图 1‎