中考数学专题复习多边形与平行四边形师 8页

‎ 中考数学专题复习 （多边形与平行四边形）‎ ‎【基础知识回顾】‎ 一、 多边形：‎ ‎1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形 ‎ ‎2、多边形的内外角和：n(n≥3)边形的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ‎ ‎3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个n边形共有 条对边线 ‎【提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】‎ 二、平面图形的密铺：‎ ‎ 1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 铺在一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的 ‎ ‎2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用 、 或 ‎ ‎⑵用两正多边形密铺，组合方式有： 和 、 和 、 和 ‎ ‎ 合 等几种 ‎【提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等 于 并使相等的边互相重合】‎ 三、平行四边形 ‎1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 ‎ ‎2、平行四边形的性质：‎ ‎⑴平行四边形的两组对边分别 ‎ ‎⑵平行四边形的两组对角分别 ‎ ‎⑶平行四边形的对角线 ‎ ‎【提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线将原平行四边形分成全等的两个部分】‎ ‎3、平行四边形的判定：‎ ‎ ⑴用定义判定 ‎⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形 ‎⑶一组对边 的四边形是平行四边形 ‎⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形 ‎⑸对角线 的四边形是平行四边形 ‎【提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不能保证是平行四边形】‎ ‎4、平行四边形的面积：计算公式 X ‎ 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积 ‎ ‎【提醒：夹在两平行线间的平行线段 】‎ ‎ ‎ 考点一：多边形内角和、外角和公式 例1 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．‎ ‎ ‎ 解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．‎ 对应训练 如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．‎ ‎1．240‎ 解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，‎ ‎∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-300°=240°，‎ 考点二：平面图形的密铺 例2 如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　D　）‎ A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 思路分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．‎ 解：A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，‎ ‎ B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，‎ ‎ C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，‎ ‎ D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，故 考点三：平行四边形的性质 例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠EAF，∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，即DF=AE，‎ 在△AEF和△DFC中，‎ ‎，∴△AEF≌△DFC（SAS）．‎ 对应训练 ‎1如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．‎ ‎2如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，‎ 求证：OA=OC．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO， 又∵ED=BF，∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，‎ 在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC．‎ 考点四：平行四边形的判定 例4 如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　C　）‎ A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行的四边形是梯形 ‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎ D．对角线相等的四边形是矩形 ‎ 解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，‎ 即，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，‎ 但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ 例5如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形BFDE是平行四边形．‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，‎ ‎∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．‎ 对应训练 ‎1下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　B　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；‎ ‎③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；‎ ‎2已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．‎ ‎（1）求证：△AEM≌△CFN；‎ ‎（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．‎ 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN，‎ 又∵AD∥BC，∴∠E=∠F．在△AEM与△CFN中，‎ ‎ ，∴△AEM≌△CFN；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥= CD，‎ 又由（1）得AM=CN，∴BMDN，‎ ‎∴四边形BMDN是平行四边形．‎ ‎【山东中考】‎ ‎1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　A　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 ‎1．考点：多边形内角与外角．‎ 分析：首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n-2）=360，‎ ‎2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（C　　）‎ A．‎2cm＜OA＜‎5cm B．‎2cm＜OA＜‎8cm C．‎1cm＜OA＜‎4cm D．‎3cm＜OA＜‎‎8cm 解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∴OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，‎ ‎∴1cm＜OA＜4cm．故选C．‎ ‎3．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　B　）‎ A．53° B．37° C．47° D．123°‎ ‎4．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　B　）‎ A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等 ‎ C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等 ‎ ‎5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　C　）‎ A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE ‎6．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（　C　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；‎ ‎③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，‎ ‎7．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　A　）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解：∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．‎ ‎8、正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 6 ．‎ ‎9．如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．‎ 答案AE=CF ‎10．▱ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．‎ 答案（3，1）‎ ‎11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，‎ ‎∴∠EAD=∠FCB=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBF，‎ 在Rt△AED和Rt△CFB中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△AED≌Rt△CFB，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎12．已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．‎ ‎（1）说明△DCE≌△FBE的理由；‎ ‎（2）若EC=3，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，AB∥DC，1分 ‎∴∠CDE=∠F，1分 又∵BF=AB，1分 ‎∴DC=FB，‎ 在△DCE和△FBE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DCE≌△FBE（AAS） ‎ ‎（2）解：∵△DCE≌△FBE，‎ ‎∴EB=EC，‎ ‎∵EC=3，‎ ‎∴BC=2EB=6，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∴AD=6．‎