广州中考数学复习尺规作图知识点与练习 15页

‎ 尺规作图 ‎【知识回顾】‎ ‎1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。‎ ‎2、六种基本作图：‎ ‎1、作一条线段等于已知线段；‎ ‎ 2、作已知线段的垂直平分线；‎ ‎3、作已知角的角平分线；‎ ‎4、作一个角等于已知角；‎ ‎5、过直线外一点作已知直线的垂线；‎ ‎6、过直线上一点作已知直线的垂线；‎ ‎（1）题目一：作一条线段等于已知线段。‎ 已知：如图，线段a .‎ 求作：线段AB，使AB = a .‎ 作法：‎ （1） 作射线AP；‎ （2） 在射线AP上截取AB=a .‎ 则线段AB就是所求作的图形。‎ ‎（2）题目二：作已知线段的中点（作已知线段的垂直平分线）‎ 已知：如图，线段MN.‎ 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. ‎ 作法：‎ ‎（１）分别以M、N为圆心，大于　　　‎ ‎　的相同线段为半径画弧，‎ 两弧相交于P，Q；‎ ‎（２）连接PQ交MN于O．‎ 则点O就是所求作的ＭＮ的中点。‎ 补充知识点：三角形的外接圆，圆心位于该三角形任意两边的垂直平分线的交点处.‎ ‎（3）题目三：作已知角的角平分线。‎ 已知：如图，∠AOB，‎ 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。‎ 作法：‎ ‎（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，‎ 分别交OA，OB于M，N；‎ ‎（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于　　 的线段长　‎ ‎　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；‎ （3） 作射线OP。‎ 则射线OP就是∠AOB的角平分线。‎ 补充知识点：三角形的内切圆的圆心位于三角形任意两角的角平分线的交点处.‎ ‎（4）题目四：作一个角等于已知角。‎ 已知：如图，∠AOB。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB ‎ ‎ 作法：‎ ‎（1）作射线O’A’；‎ ‎（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；‎ ‎（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；‎ ‎（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；‎ ‎（5）连接O’N’并延长到B’。则∠A’O’B’就是所求作的角。‎ ‎（6）题目五：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB及外一点P。‎ 求作：直线CD，使CD经过点P，‎ 且CD⊥AB。‎ 作法：‎ ‎（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；‎ ‎（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；‎ ‎（3）过P、Q作直线CD。 则直线CD就是所求作的直线。‎ 补充知识点:该方法也可用于以已知直线为对称轴作直线外一点的对称点 ‎（5）题目六：经过直线上一点做已知直线的垂线。‎ 已知：如图，P是直线AB上一点。‎ 求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。‎ 作法：‎ ‎（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；‎ ‎（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；‎ ‎（3）过D、Q作直线CD。则直线CD是求作的直线。‎ ‎3、三种三角形作图 ‎（5）题目七：已知三边作三角形。‎ 已知：如图，线段a，b，c.‎ 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. ‎ 作法：‎ （1） 作线段AB = c；‎ （2） 以A为圆心，以b为半径作弧，‎ 以B为圆心，以a为半径作弧与 前弧相交于C；‎ （3） 连接AC，BC。‎ 则△ABC就是所求作的三角形。‎ 题目八：已知两边及夹角作三角形。‎ 已知：如图，线段m，n, ∠.‎ 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. ‎ 作法：‎ （1） 作∠A=∠；‎ （2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；‎ （3） 连接BC。‎ 则△ABC就是所求作的三角形。‎ 题目九：已知两角及夹边作三角形。‎ 已知：如图，∠，∠，线段m .‎ 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m. ‎ 作法：‎ （1） 作线段AB=m；‎ （2） 在AB的同旁 作∠A=∠，作∠B=∠，‎ ‎∠A与∠B的另一边相交于C。‎ 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。‎ 第1题图 ‎【真题实训】‎ ‎1、（2016海珠一模）如图，四边形ABCD是平行四边形.‎ 利用尺规作∠ABC的平分线BE，交AD于E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ 作图原理：_________‎ ‎2、（2015越秀一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.‎ 动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，‎ 再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；‎ 作图原理：_________‎ ‎3、（2016番禺一模）已知：如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙ O（不写作法，保留作图痕迹）‎ 作图原理：_________‎ ‎4、（2016天河一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．‎ 利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎5、（2016白云一模）如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，‎ 且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．‎ 用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；‎ 作图原理：_________‎ ‎6、（2016从化一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．‎ ‎（不写作法，保留作图痕迹）；‎ 作图原理：_________‎ ‎7、（2014越秀一模）如图，已知□ABCD.作图：延长BC，‎ 并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； ‎第7题图 作图原理：_________‎ 第8题图 ‎8、（2015海珠一模）如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，‎ EF⊥AC于F．尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D ‎（保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎9、（2016越秀一模）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，‎ 动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，‎ ‎⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F．‎ 作图原理：_________‎ 第10题 ‎10、（2014广州中考）如图，中， ‎ 动手操作：利用尺规作以为直径的⊙，并标出⊙与的交点，‎ 与的交点（保留作图痕迹，不写作法）.‎ 作图原理：_________‎ ‎11、（2013广州中考）已知四边形ABCD是平行四边形（如图），‎ 把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.‎ 利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎12、（2015广州中考）如图，AC是⊙ O的直径，‎ 点B在⊙ O上，∠ ACB=30°利用尺规作∠ ABC的平分线BD，‎ 交AC于点E，交⊙ O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎13、（2016广州中考）如图，利用尺规，在△ ABC的边AC上方作∠ CAE=∠ ACB，‎ 在射线AE上截取AD=BC，连接CD（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎14．（2016花都一模）在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．‎ 作图原理：_________‎ ‎15、（2014海珠一模）如图圆O内接三角形.‎ 把以点O为旋转中心，顺时针方向旋转的度数 得到.利用尺规作出（要求保留作图痕迹，不写作法）‎ 作图原理：_________‎ ‎【拓展练习】‎ ‎1、如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)‎ ‎2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。‎ ‎3、过点C作一条线平行于AB。‎ ‎4、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)。‎ ‎5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。‎ ‎6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB为直径，O为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。‎ ‎7、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.‎ ‎8、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.‎ ‎9、如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC=，它的高AD=‎ ‎10、如图，有A，B，C三个村庄，现要修建一所希望小学，使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（保留作图痕迹）．‎ ‎11、如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．‎ ‎（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？‎ ‎（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？‎ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹． ‎ ‎.B ‎ ‎ ‎ A .‎ ‎12、如图，A为∠MON内一点，试在OM、ON边上分别作出一点B、C，使△ABC的周长最小．‎ ‎13、如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋PN＋NQ最短．‎ 尺规作图练习参考答案 ‎【真题实训】参考答案 1、 作图原理：作已知角的的角平分线.图略.‎ ‎2、作图原理：作已知角的角平分线 ‎3、作图原理：作已知线段的垂直平分线.‎ ‎4、作图原理：作已知线段的垂直平分线.‎ ‎ 第2题图 ‎ ‎ 第3题图 第4题图 ‎ ‎5、作图原理：作已知线段的垂直平分线. 图略.‎ ‎6、作图原理：作已知线段的垂直平分线. ‎ ‎7、作图原理：作一条线段等于已知线段 ‎8、作图原理：过直线外一点作已知直线的垂线.，图略 ‎9、作图原理：作已知线段的垂直平分线.、过直线外一点作已知直线的垂线.‎ 第6题图 第7题图 第9题图 ‎10、作图原理：作已知线段的垂直平分线.图略 ‎11、本题有两种解答方法 方法一：作图原理：作一个角等于已知角；‎ 作法：①作∠A′BD=∠ABD，‎ ‎②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，‎ ‎③连接BA′，DA′，‎ 则△A′BD即为所求；‎ 方法二：作图原理：过直线外一点作已知直线的垂线（以BD为对称轴作A点的对称点E），作法与图略.‎ ‎12、作图原理：作已知角的角平分线 作法：①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙ O于点D，则线段BD为△ ABC的角平分线；‎ ‎13、作图原理：作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段 ‎14、作图原理：作已知线段的垂直平分线，图略 作法：作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求；‎ ‎15、作图原理：作一条线段等于已知线段 ‎【拓展练习】参考答案 ‎1. 使P到OA、OB的距离相等，P在角AOB的平分线上，且PC=PD，则P又在CD的垂直平分线上；作CD垂直平分线交角AOB平分线P点 作法：分别以C、D为圆心，大于CD/2半径在CD两侧做圆弧，连接圆弧交点并延长，以O为圆心任意半径 长做圆弧交OA、OB于2点，再分别以这两点为圆心，相同半径（大于两点连线长度的一半）做圆弧，连接O到交点并适当延长，和CD垂直平分线的交点即P点 ‎2. 如图所示： （1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1； （2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4， 故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．‎ ‎3. 过C点作AB的垂线l，再过C点作l的垂线即可 ‎4. 解：（1）如图所示， ①以点E为圆心，分别以AE、BE长为半径化弧； ②以点F为圆心，分别以BF、BE为半径化弧，与前两弧分别相交于A′，B′两点，连接A′B′，A′E，B′F即可；‎ ‎5.略 ‎6. 作法：分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；连接OM、ON即可．‎ ‎7. 作直线l，在直线上任取一点e,顺次截取线段,分别等于AB、CD、CD即可.‎ ‎8. 如图所示,上面两角为已知角,AB=A'B'=A''B'',BC=B'C',CD=C'D', 则∠CAB=∠a,∠CAD=∠b, ∴∠BAD=∠a-∠b,就是所画的角 ‎9. 设A，B，C为顶点构建三角形，作任意两边的中垂线，交于点O，O点即是学校的位置．‎ 理由：线段垂直平分线上的点到两顶点的距离相等，由作图可知，OA=OB，OB=OC，∴OA=OC，则学校建在O处，三个村庄到学校的距离相等．‎ ‎10.（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知， 作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．‎ ‎（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小， 理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的．‎ ‎ ‎ ‎ 第 （1）小题 第（2）小题 ‎11. ①分别作点A关于OM，ON的对称点A′,A″；②连接A′、A″,分别交OM,ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 ‎12. 作点Q'与点Q关于线OB对称,连接点P、Q‘交OB于点N；再作PM垂直于OA于点M,此时的PM+PN+NQ最小.‎