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  • 2021-05-13 发布

广州中考数学复习尺规作图知识点与练习

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‎ 尺规作图 ‎【知识回顾】‎ ‎1、尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。‎ ‎2、六种基本作图:‎ ‎1、作一条线段等于已知线段;‎ ‎ 2、作已知线段的垂直平分线;‎ ‎3、作已知角的角平分线;‎ ‎4、作一个角等于已知角;‎ ‎5、过直线外一点作已知直线的垂线;‎ ‎6、过直线上一点作已知直线的垂线;‎ ‎(1)题目一:作一条线段等于已知线段。‎ 已知:如图,线段a .‎ 求作:线段AB,使AB = a .‎ 作法:‎ (1) 作射线AP;‎ (2) 在射线AP上截取AB=a .‎ 则线段AB就是所求作的图形。‎ ‎(2)题目二:作已知线段的中点(作已知线段的垂直平分线)‎ 已知:如图,线段MN.‎ 求作:点O,使MO=NO(即O是MN的中点). ‎ 作法:‎ ‎(1)分别以M、N为圆心,大于   ‎ ‎ 的相同线段为半径画弧,‎ 两弧相交于P,Q;‎ ‎(2)连接PQ交MN于O.‎ 则点O就是所求作的MN的中点。‎ 补充知识点:三角形的外接圆,圆心位于该三角形任意两边的垂直平分线的交点处.‎ ‎(3)题目三:作已知角的角平分线。‎ 已知:如图,∠AOB,‎ 求作:射线OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。‎ 作法:‎ ‎(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,‎ 分别交OA,OB于M,N;‎ ‎(2)分别以M、N为圆心,大于   的线段长 ‎ ‎ 为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;‎ (3) 作射线OP。‎ 则射线OP就是∠AOB的角平分线。‎ 补充知识点:三角形的内切圆的圆心位于三角形任意两角的角平分线的交点处.‎ ‎(4)题目四:作一个角等于已知角。‎ 已知:如图,∠AOB。 求作:∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB ‎ ‎ 作法:‎ ‎(1)作射线O’A’;‎ ‎(2)以O为圆心,任意长度为半径画弧,交OA于M,交OB于N;‎ ‎(3)以O’为圆心,以OM的长为半径画弧,交O’A’于M’;‎ ‎(4)以M’为圆心,以MN的长为半径画弧,交前弧于N’;‎ ‎(5)连接O’N’并延长到B’。则∠A’O’B’就是所求作的角。‎ ‎(6)题目五:经过直线外一点作已知直线的垂线 已知:如图,直线AB及外一点P。‎ 求作:直线CD,使CD经过点P,‎ 且CD⊥AB。‎ 作法:‎ ‎(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;‎ ‎(2)分别以M、N圆心,大于长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q;‎ ‎(3)过P、Q作直线CD。 则直线CD就是所求作的直线。‎ 补充知识点:该方法也可用于以已知直线为对称轴作直线外一点的对称点 ‎(5)题目六:经过直线上一点做已知直线的垂线。‎ 已知:如图,P是直线AB上一点。‎ 求作:直线CD,是CD经过点P,且CD⊥AB。‎ 作法:‎ ‎(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;‎ ‎(2)分别以M、N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点Q;‎ ‎(3)过D、Q作直线CD。则直线CD是求作的直线。‎ ‎3、三种三角形作图 ‎(5)题目七:已知三边作三角形。‎ 已知:如图,线段a,b,c.‎ 求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a. ‎ 作法:‎ (1) 作线段AB = c;‎ (2) 以A为圆心,以b为半径作弧,‎ 以B为圆心,以a为半径作弧与 前弧相交于C;‎ (3) 连接AC,BC。‎ 则△ABC就是所求作的三角形。‎ 题目八:已知两边及夹角作三角形。‎ 已知:如图,线段m,n, ∠.‎ 求作:△ABC,使∠A=∠,AB=m,AC=n. ‎ 作法:‎ (1) 作∠A=∠;‎ (2) 在AB上截取AB=m ,AC=n;‎ (3) 连接BC。‎ 则△ABC就是所求作的三角形。‎ 题目九:已知两角及夹边作三角形。‎ 已知:如图,∠,∠,线段m .‎ 求作:△ABC,使∠A=∠,∠B=∠,AB=m. ‎ 作法:‎ (1) 作线段AB=m;‎ (2) 在AB的同旁 作∠A=∠,作∠B=∠,‎ ‎∠A与∠B的另一边相交于C。‎ 则△ABC就是所求作的图形(三角形)。‎ 第1题图 ‎【真题实训】‎ ‎1、(2016海珠一模)如图,四边形ABCD是平行四边形.‎ 利用尺规作∠ABC的平分线BE,交AD于E(保留作图痕迹,不写作法);‎ 作图原理:_________‎ ‎2、(2015越秀一模)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.‎ 动手操作:利用尺规作∠ABC的平分线,交AC于点O,‎ 再以O为圆心,OC的长为半径作⊙O(保留作图痕迹,不写作法);‎ 作图原理:_________‎ ‎3、(2016番禺一模)已知:如图,在Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB边上一点O为圆心,过A、D两点作⊙ O(不写作法,保留作图痕迹)‎ 作图原理:_________‎ ‎4、(2016天河一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.‎ 利用尺规,以AB为直径作⊙O,交BC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎5、(2016白云一模)如图:△ABC中,∠C=45°,点D在AC上,‎ 且∠ADB=60°,AB为△BCD外接圆的切线.‎ 用尺规作出△BCD的外接圆(保留作图痕迹,可不写作法);‎ 作图原理:_________‎ ‎6、(2016从化一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角分线.以AB上的一点O为圆心,AD为弦在图中作出⊙O.‎ ‎(不写作法,保留作图痕迹);‎ 作图原理:_________‎ ‎7、(2014越秀一模)如图,已知□ABCD.作图:延长BC,‎ 并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法); ‎第7题图 作图原理:_________‎ 第8题图 ‎8、(2015海珠一模)如图,在△ABC中,AB=BC,点E在边AB上,‎ EF⊥AC于F.尺规作图:过点A作AD⊥BC于点D ‎(保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎9、(2016越秀一模)如图,等腰三角形ABC中,AC=BC,‎ 动手操作:利用尺规作以BC为直径的⊙O,⊙O交AB于点D,‎ ‎⊙O交AC于点E,并且过点D作DF⊥AC交AC于点F.‎ 作图原理:_________‎ 第10题 ‎10、(2014广州中考)如图,中, ‎ 动手操作:利用尺规作以为直径的⊙,并标出⊙与的交点,‎ 与的交点(保留作图痕迹,不写作法).‎ 作图原理:_________‎ ‎11、(2013广州中考)已知四边形ABCD是平行四边形(如图),‎ 把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.‎ 利用尺规作出△AˊBD.(要求保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎12、(2015广州中考)如图,AC是⊙ O的直径,‎ 点B在⊙ O上,∠ ACB=30°利用尺规作∠ ABC的平分线BD,‎ 交AC于点E,交⊙ O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎13、(2016广州中考)如图,利用尺规,在△ ABC的边AC上方作∠ CAE=∠ ACB,‎ 在射线AE上截取AD=BC,连接CD(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎14.(2016花都一模)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.尺规作图:作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).‎ 作图原理:_________‎ ‎15、(2014海珠一模)如图圆O内接三角形.‎ 把以点O为旋转中心,顺时针方向旋转的度数 得到.利用尺规作出(要求保留作图痕迹,不写作法)‎ 作图原理:_________‎ ‎【拓展练习】‎ ‎1、如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)‎ ‎2、三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?用尺规作图作出所有可能的加油站地址。‎ ‎3、过点C作一条线平行于AB。‎ ‎4、如图,平行四边形纸条ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折,得到一个V字形图案。请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE;(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)。‎ ‎5、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,∠AOB画在方格纸上,请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。‎ ‎6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案,图中AB为直径,O为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。‎ ‎7、已知线段AB和CD,如下图,求作一线段,使它的长度等于AB+2CD.‎ ‎8、如图,已知∠A、∠B,求作一个角,使它等于∠A-∠B.‎ ‎9、如图,画一个等腰△ABC,使得底边BC=,它的高AD=‎ ‎10、如图,有A,B,C三个村庄,现要修建一所希望小学,使三个村庄到学校的距离相等,学校的地址应选在什么地方?请你在图中画出学校的位置并说明理由(保留作图痕迹).‎ ‎11、如图,A、B两村在一条小河的的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水.‎ ‎(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置?‎ ‎(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置?‎ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹. ‎ ‎.B ‎ ‎ ‎ A .‎ ‎12、如图,A为∠MON内一点,试在OM、ON边上分别作出一点B、C,使△ABC的周长最小.‎ ‎13、如图,已知两点P、Q在锐角∠AOB内,分别在OA、OB上求点M、N,使PM+PN+NQ最短.‎ 尺规作图练习参考答案 ‎【真题实训】参考答案 1、 作图原理:作已知角的的角平分线.图略.‎ ‎2、作图原理:作已知角的角平分线 ‎3、作图原理:作已知线段的垂直平分线.‎ ‎4、作图原理:作已知线段的垂直平分线.‎ ‎ 第2题图 ‎ ‎ 第3题图 第4题图 ‎ ‎5、作图原理:作已知线段的垂直平分线. 图略.‎ ‎6、作图原理:作已知线段的垂直平分线. ‎ ‎7、作图原理:作一条线段等于已知线段 ‎8、作图原理:过直线外一点作已知直线的垂线.,图略 ‎9、作图原理:作已知线段的垂直平分线.、过直线外一点作已知直线的垂线.‎ 第6题图 第7题图 第9题图 ‎10、作图原理:作已知线段的垂直平分线.图略 ‎11、本题有两种解答方法 方法一:作图原理:作一个角等于已知角;‎ 作法:①作∠A′BD=∠ABD,‎ ‎②以B为圆心,AB长为半径画弧,交BA′于点A′,‎ ‎③连接BA′,DA′,‎ 则△A′BD即为所求;‎ 方法二:作图原理:过直线外一点作已知直线的垂线(以BD为对称轴作A点的对称点E),作法与图略.‎ ‎12、作图原理:作已知角的角平分线 作法:①以点B为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角ABC两边于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧,两弧交于一点;③作射线BE交AC与E,交⊙ O于点D,则线段BD为△ ABC的角平分线;‎ ‎13、作图原理:作一个角等于已知角;作一条线段等于已知线段 ‎14、作图原理:作已知线段的垂直平分线,图略 作法:作AB的垂直平分线交AB于O,以O为圆心,OA为半径作圆,⊙O即为所求;‎ ‎15、作图原理:作一条线段等于已知线段 ‎【拓展练习】参考答案 ‎1. 使P到OA、OB的距离相等,P在角AOB的平分线上,且PC=PD,则P又在CD的垂直平分线上;作CD垂直平分线交角AOB平分线P点 作法:分别以C、D为圆心,大于CD/2半径在CD两侧做圆弧,连接圆弧交点并延长,以O为圆心任意半径 长做圆弧交OA、OB于2点,再分别以这两点为圆心,相同半径(大于两点连线长度的一半)做圆弧,连接O到交点并适当延长,和CD垂直平分线的交点即P点 ‎2. 如图所示: (1)作出△ABC两内角的平分线,其交点为O1; (2)分别作出△ABC两外角平分线,其交点分别为O2,O3,O4, 故满足条件的修建点有四处,即O1,O2,O3,O4.‎ ‎3. 过C点作AB的垂线l,再过C点作l的垂线即可 ‎4. 解:(1)如图所示, ①以点E为圆心,分别以AE、BE长为半径化弧; ②以点F为圆心,分别以BF、BE为半径化弧,与前两弧分别相交于A′,B′两点,连接A′B′,A′E,B′F即可;‎ ‎5.略 ‎6. 作法:分别以A、B为圆心,以AO(或BO)的长为半径画弧,分别交半圆于点M、N;连接OM、ON即可.‎ ‎7. 作直线l,在直线上任取一点e,顺次截取线段,分别等于AB、CD、CD即可.‎ ‎8. 如图所示,上面两角为已知角,AB=A'B'=A''B'',BC=B'C',CD=C'D', 则∠CAB=∠a,∠CAD=∠b, ∴∠BAD=∠a-∠b,就是所画的角 ‎9. 设A,B,C为顶点构建三角形,作任意两边的中垂线,交于点O,O点即是学校的位置.‎ 理由:线段垂直平分线上的点到两顶点的距离相等,由作图可知,OA=OB,OB=OC,∴OA=OC,则学校建在O处,三个村庄到学校的距离相等.‎ ‎10.(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知, 作出AB的中垂线与河岸交于点P,则点P满足到AB的距离相等.‎ ‎(2)作出点A关于河岸的对称点C,连接CB,交于河岸于点P,连接AP,则点P能满足AP+PB最小, 理由:AP=PC,三角形的任意两边之和大于第三边,当点P在CB的连线上时,CP+BP是最小的.‎ ‎ ‎ ‎ 第 (1)小题 第(2)小题 ‎11. ①分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;②连接A′、A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求 ‎12. 作点Q'与点Q关于线OB对称,连接点P、Q‘交OB于点N;再作PM垂直于OA于点M,此时的PM+PN+NQ最小.‎