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- 2021-05-13 发布
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“一线三等角”基本图形解决问题
三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位,在学习三角形相似形时,我们从复杂图形中分离出基本数学模型,对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中,经常可以看到“一线三等角”的数学模型,所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以,只要见到一条直线上出现了三个等角,往往都存在这样的模型,也会存在相似三角形,当出现了有相等边的条件之后,相似就转化为全等了,综合性题目往往就会把相似和全等的转化,作为出题的一种形式,需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解,打破同学们对综合题的畏惧心理,让同学们加深对于题目条件的使用:条件用完,即使题目没有求解完毕,也得到相应的分数,提高问题解决的能力,在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题,并加强题后反思,培养他们解题的能力。
一、知识梳理:
(1)四边形ABCD是矩形,三角板的直角顶点M在BC边上运动,直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F,在运动过程中,△EBM∽△MCF.
(2)如图1:已知三角形ABC中,AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有
△ABD∽△DEC.
如图2:已知三角形ABC中,AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF.
(图1) (图2)
二、【例题解析】
【例1】(2014四川自贡)阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD
的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.
【练习】
1、 已知矩形ABCD中, AB=3,AD=2=,点P是AB上的一个动点,且和点A,B 不重合,过点P作PE垂直DP,交边BC于点E,设,PA=x,BE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围 .
2、如图,已知正方形ABCD,将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合,并将三角尺绕点旋转,当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时,连接ON,若ON=8,求MQ的长.
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与BC重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,
(1)求y关于x的函数关系式
(2)若m=8,求x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
【例2】等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,∠MPN=60°,且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.
(1)如图1,当点P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;
(2)如图2,若点P在BC边上运动,且保持PE⊥AB,设BP=x,四边形AEPF面积的y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如图3,若点P在BC边上运动,且∠MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长.
图1 图2 图3
分析过程:(1)△EPF为等边三角形.
(2)设BP=x,则CP=6-x.
由题意可 △BEP的面积为. △CFP的面积为.△ABC的面积为.
设四边形AEPF的面积为y.
∴ =.
自变量x的取值范围为3<x<6.
(3)可证△EBP∽△PCF.∴ .设BP=x,
则 . 解得 .∴ PE的长为4或.
【练习】.如图,在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8,点P为BC边上一动点(不与点B、C重合),过点P作射线PM交AC于点M,使∠APM=∠B;
(1)求证:△ABP∽△PCM;
(2)设BP=x,CM=y.求 y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(3)当△APM为等腰三角形时,求PB的长.
A
B
P
C
M
(4) 当点是的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.
【例3】在中,是AB上的一点,且,点P是AC上的一个动点,交线段BC于点Q,(不与点B,C重合),已知AP=2,求CQ
【练习】在直角三角形ABC中,是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C不重合),与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时,求证:
(2)、当,求的值
【例4】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:(1)y=x2+2x﹣3;(2)S有最大值,点P的坐标为(,);
(3)M的坐标为(0,)或(0,)或(0,﹣1)或(0,﹣3).
课后作业:
A
B
C
D
E
F
1. 已知:如图,在△ABC中,,,点D在边AB上,,点E在边BC上.又点F在边AC上,且.
(1) 求证:△FCE∽△EBD;
(2) 当点D在线段AB上运动时,是否有可能使.
如果有可能,那么求出BD的长.如果不可能请说明理由.
C
P
E
A
B
D
2. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上一点,且BP=2,将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点为D、E。
(1)求证△BPD∽△CEP
(2)是否存在这样的位置,△PDE为直角三角形?若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由。
C
P
E
A
B
F
3. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,记PE=,PF=
(1)分别求、关于x的函数关系式
(2)△PEF能为直角三角形吗?若能,求出CP的长,若不能,请说明理由。
C
P
E
A
B
F
4. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C不重合),PE⊥AB与E,PF⊥BC交AC与F,设PC=x,△PEF的面积为y
(1)写出图中的相似三角形不必证明;
(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)若△PEF为等腰三角形,求PC的长。
1. 已知在等腰三角形中,,是的中点, 是上的动点(不与、重合),连结,过点作射线,使,射线交射线于点,交射线于点.
(1)求证:∽;
(2)设.
①用含的代数式表示;
②求关于的函数解析式,并写出的定义域.
2. 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
①求证;△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).
C
D
A
B
P
答案:
1. 解:(1)∵AB=AC∴∠B=∠C
∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵∴∠BED=∠EFC
∴△FCE∽△EBD
(2)∵BD=x,BE=,
∵△FCE∽△EBD∴若∴∴
∴∴BD不存在
2. 解:(1)∵AB=AC∴∠B=∠C
C
P
E
A
B
D
H
∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD∽△DCE
(2)∵∠DPE=∠B90°
若∠PDE=90°,在Rt△ABH和Rt△PDE中
∴cos∠ABH=cos∠DPE=∴
C
P
E
A
B
D
H
∵PC=4 ∴
若∠PED=90°在Rt△ABH和Rt△PDE中
∴cos∠ABH=cos∠PED=∴
∵PC=4 ∴(舍去)
C
P
E
A
B
F
H
综上所述,BD的长为
3. 解:(1)、
(2)∵∠FPE=∠B90°
若∠PFE=90°,在Rt△ABH和Rt△PFE中
C
P
E
A
B
F
H
∴cos∠ABH=cos∠FPE=∴∴∴
若∠PEF=90°,在Rt△ABH和Rt△PFE中
∴cos∠ABH=cos∠FPE=
∴∴∴
4. 解:(1)△PEB∽△EPC
C
P
E
A
B
F
G
H
M
(2)∵PC=x∴,,
∴
即
(3)当PE=PF时,△EPC≌△PEB,PC=BE=x,∴
当PE=EF时,,cos∠EPH=cosB,∴
当FE=PF时,, cos∠FPM=cosB,∴
综上所述,PC的长分别为、、
1. 解:(1)∵,∴∵
又,∴∽
(2)①∵∽,∴
∵是的中点,,∴,又 ∵
∴当点在线段的延长线上时,,∴
当点在线段上时,,∴
②过点作DG∥AB,交于点
∴,∴
∴当点在线段的延长线上时,∴,∴∴
当点在线段上时,∴,∴ ∴