• 454.50 KB
  • 2021-05-13 发布

郴州市中考数学试题及答案word含解析

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2015年湖南省郴州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.(3分)(2015•郴州)2的相反数是(  )‎ ‎  A. B. C. ﹣2 D. 2‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•郴州)计算(﹣3)2的结果是(  )‎ ‎  A. ﹣6 B. 6 C. ﹣9 D. 9‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•郴州)下列计算正确的是(  )‎ ‎  A. x3+x=x4 B. x2•x3=x5 C. (x2)3=x5 D. x9÷x3=x3‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•郴州)下列图案是轴对称图形的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是92,100,96,93,96,98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是(  )‎ ‎  A. 93,96 B. 96,96 C. 96,100 D. 93,100‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•郴州)如图为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则下列正确的是(  )‎ ‎  A. k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=(  )‎ ‎  A. B. 2 C. 3 D. 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎9.(3分)(2015•郴州)2015年5月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为      .‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为      cm2.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2015•郴州)分解因式:2a2﹣2=      .‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是      .‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•郴州)如图,已知直线m∥m,∠1=100°,则∠2的度数为      .‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•郴州)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为      .‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号,所得的代数式为完全平方式的概率为      .‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•郴州)请观察下列等式的规律:‎ ‎=(1﹣),=(﹣),‎ ‎=(﹣),=(﹣),‎ ‎…‎ 则+++…+=      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,26题12分,共82分)‎ ‎17.(6分)(2015•郴州)计算:()﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)(2015•郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎ ‎ ‎19.(6分)(2015•郴州)如图,已知点A(1,2)是正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的一个交点.‎ ‎(1)求正比例函数及反比例函数的表达式;‎ ‎(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1<y2?‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•郴州)郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.‎ ‎(1)这次统计共抽取了      本书籍,扇形统计图中的m=      ,∠α的度数是      ;‎ ‎(2)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•郴州)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2015•郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:≈1.41,≈1.73)‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2015•郴州)如图,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.‎ ‎(1)求证:△AOE≌△COF;‎ ‎(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2015•郴州)阅读下面的材料:‎ 如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,‎ ‎(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;‎ ‎(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是增函数.‎ 例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.‎ 证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0‎ f(x1)﹣f(x2)=﹣==‎ ‎∵x1<x2,且x1>0,x2>0‎ ‎∴x2﹣x1>0,x1x2>0‎ ‎∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0‎ ‎∴f(x1)>f(x2)‎ ‎∴函数f(x)=(x>0)是减函数.‎ 根据以上材料,解答下面的问题:‎ ‎(1)函数f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==.‎ 计算:f(3)=      ,f(4)=      ,猜想f(x)=(x>0)是      函数(填“增”或“减”);‎ ‎(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2015•郴州)如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6).‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;‎ ‎(3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG?(顶点D,E,F,G分别在线段AO,OB,BC,CA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出▱DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2015•郴州)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?‎ ‎(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;‎ ‎(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2015年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.(3分)(2015•郴州)2的相反数是(  )‎ ‎  A. B. C. ﹣2 D. 2‎ 考点: 相反数. ‎ 分析: 根据相反数的概念解答即可.‎ 解答: 解:2的相反数是﹣2,‎ 故选:C.‎ 点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•郴州)计算(﹣3)2的结果是(  )‎ ‎  A. ﹣6 B. 6 C. ﹣9 D. 9‎ 考点: 有理数的乘方. ‎ 分析: 根据有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.‎ 解答: 解:(﹣3)2=(﹣3)×(﹣3)=9.‎ 故选D.‎ 点评: 本题考查有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•郴州)下列计算正确的是(  )‎ ‎  A. x3+x=x4 B. x2•x3=x5 C. (x2)3=x5 D. x9÷x3=x3‎ 考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.‎ 分析: 根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项计算后利用排除法求解.‎ 解答: 解:A、x3•x=x4,故错误;‎ B、正确;‎ C、(x2)3=x6,故错误;‎ D、x9÷x3=x6,故错误;‎ 故选:B.‎ 点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则才能做题.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点: 简单几何体的三视图.‎ 分析: 分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图,从而得出都是正方体的几何体.‎ 解答: 解:A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形,符合题意;‎ B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆,不符合题意;‎ C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆中间一点,不符合题意;‎ D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆,不符合题意.‎ 故选A.‎ 点评: 本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力,关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•郴州)下列图案是轴对称图形的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点: 轴对称图形.‎ 分析: 根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解.‎ 解答: 解:A、是轴对称图形,‎ B、不是轴对称图形,‎ C、不是轴对称图形,‎ D、不是轴对称图形,‎ 故选:A.‎ 点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是92,100,96,93,96,98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是(  )‎ ‎  A. 93,96 B. 96,96 C. 96,100 D. 93,100‎ 考点: 众数;中位数.‎ 分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.‎ 解答: 解:把数据从小到大排列:92,93,95,96,96,98,100,‎ 位置处于中间的数是:96,故中位数是96;‎ 次数最多的数是96,故众数是96,‎ 故选:B.‎ 点评: 此题主要考查了中位数和众数.一些学生往往对概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•郴州)如图为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则下列正确的是(  )‎ ‎  A. k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0‎ 考点: 一次函数图象与系数的关系.‎ 专题: 数形结合.‎ 分析: 根据一次函数经过的象限可得k和b的取值.‎ 解答: 解:∵一次函数经过二、四象限,‎ ‎∴k<0,‎ ‎∵一次函数与y轴的交于正半轴,‎ ‎∴b>0.‎ 故选C.‎ 点评: 考查一次函数的图象与系数的关系的知识;用到的知识点为:一次函数经过一三象限或二四象限,k>0或<0;与y轴交于正半轴,b>0,交于负半轴,b<0.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=(  )‎ ‎  A. B. 2 C. 3 D. 3‎ 考点: 翻折变换(折叠问题).‎ 分析: 利用翻折变换的性质得出:∠1=∠2=30°,进而结合锐角三角函数关系求出FE的长.‎ 解答: 解:如图所示:由题意可得:∠1=∠2=30°,则∠3=30°,‎ 可得∠4=∠5=60°,‎ ‎∵AB=DC=BE=3,‎ ‎∴tan60°===,‎ 解得:EF=.‎ 故选:A.‎ 点评: 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系,得出∠4=∠5=60°是解题关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎9.(3分)(2015•郴州)2015年5月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为 3.2×109 .‎ 考点: 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析: 用科学记数法表示,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答: 解:3200000000=3.2×109,‎ 故答案为:3.2×109‎ 点评: 此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为 3π cm2.‎ 考点: 圆锥的计算.‎ 分析: 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.‎ 解答: 解:圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π.‎ 故答案为:3π.‎ 点评: 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2015•郴州)分解因式:2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1) .‎ 考点: 提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析: 先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ 解答: 解:2a2﹣2,‎ ‎=2(a2﹣1),‎ ‎=2(a+1)(a﹣1).‎ 点评: 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠2 .‎ 考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0.‎ 解答: 解:要使分式有意义,即:x﹣2≠0,‎ 解得:x≠2.‎ 故答案为:x≠2.‎ 点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:分式有意义,分母不为0.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•郴州)如图,已知直线m∥m,∠1=100°,则∠2的度数为 80° .‎ 考点: 平行线的性质.‎ 分析: 根据邻补角定义求出∠3的度数,再根据平行线的性质求出∠2的度数即可.‎ 解答: 解:如图,‎ ‎∵∠1=100°,‎ ‎∴∠3=180°﹣100°=80°,‎ ‎∵m∥n,‎ ‎∴∠2=∠3=80°.‎ 故答案为80°.‎ 点评: 本题考查了平行线的性质,找到相应的同位角是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•郴州)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为 50° .‎ 考点: 圆周角定理.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 根据圆周角定理得到∠ACB=90°,然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数.‎ 解答: 解:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°.‎ 故答案为50°.‎ 点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号,所得的代数式为完全平方式的概率为  .‎ 考点: 列表法与树状图法;完全平方式.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 先画树状图展示所有四种等可能的结果数,再根据完全平方式的定义得到“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式,然后根据概率公式求解.‎ 解答: 解:画树状图为:‎ 共有四种等可能的结果数,其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式,‎ 所以所得的代数式为完全平方式的概率==.‎ 故答案为.‎ 点评: 本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了完全平方式.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•郴州)请观察下列等式的规律:‎ ‎=(1﹣),=(﹣),‎ ‎=(﹣),=(﹣),‎ ‎…‎ 则+++…+=  .‎ 考点: 规律型:数字的变化类.‎ 分析: 观察算式可知=(﹣)(n为非0自然数),把算式拆分再抵消即可求解.‎ 解答: 解:+++…+‎ ‎=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)‎ ‎=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=(1﹣)‎ ‎=×‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ 点评: 考查了规律型:数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.本题的关键规律为=(﹣)(n为非0自然数).‎ ‎ ‎ 三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,26题12分,共82分)‎ ‎17.(6分)(2015•郴州)计算:()﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°.‎ 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.‎ 解答: 解:原式=2﹣1+﹣2×=1.‎ 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)(2015•郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.‎ 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.‎ 分析: 先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.‎ 解答: 解:∵解不等式①得:x≤,‎ 解不等式②得:x>﹣1,‎ ‎∴不等式组的解集为﹣1<x,‎ 在数轴上表示不等式组的解集为:.‎ 点评: 本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎19.(6分)(2015•郴州)如图,已知点A(1,2)是正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的一个交点.‎ ‎(1)求正比例函数及反比例函数的表达式;‎ ‎(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1<y2?‎ 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 分析: (1)利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可;‎ ‎(2)利用函数图象,结合交点左侧时y1<y2.‎ 解答: 解:(1)将点A(1,2)代入正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)得,‎ ‎2=k,m=1×2=2,‎ 故y1=2x(k≠0),反比例函数y2=;‎ ‎(2)如图所示:当0<x<1时,y1<y2.‎ 点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数交点,利用数形结合得出是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•郴州)郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.‎ ‎(1)这次统计共抽取了 200 本书籍,扇形统计图中的m= 40 ,∠α的度数是 36° ;‎ ‎(2)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.‎ 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.‎ 分析: (1)用A的本数÷A所占的百分比,即可得到抽取的本数;用C的本数÷总本数,即可求得m;计算出D的百分比乘以360°,即可得到圆心角的度数;‎ ‎(2)计算出B的本数,即可补全条形统计图;‎ ‎(3)根据文学类书籍的百分比,即可解答.‎ 解答: 解:(1)40÷20%=200(本),80÷200=40%,×360°=36°,‎ 故答案为:200,40,36°;‎ ‎(2)B的本数为:200﹣40﹣80﹣20=60(本),‎ 如图所示:‎ ‎(3)3000×=900(本).‎ 答:估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍.‎ 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•郴州)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.‎ 考点: 分式方程的应用.‎ 分析: 设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%)x元,根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可.‎ 解答: 解:设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%)x元,由题意得 ‎+=30‎ 解得:x=200‎ 经检验x=200是原方程的解.‎ 则(1+50%)x=300‎ ‎=20(棵)‎ 答:樱花树的单价为200元,有20棵.‎ 点评: 此题考查分式方程的应用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2015•郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:≈1.41,≈1.73)‎ 考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 分析: 过点A作AD⊥BC于点D,设AD=xm.用含x的代数式分别表示BD,CD.再根据BD+CD=BC,列出方程x+x=150,解方程即可.‎ 解答: 解:过点A作AD⊥BC于点D,设AD=xm.‎ 在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,‎ ‎∴BD=AD•tan30°=x.‎ 在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=45°,‎ ‎∴CD=AD=x.‎ ‎∵BD+CD=BC,‎ ‎∴x+x=150,‎ ‎∴x=75(3﹣)≈95.‎ 即A点到河岸BC的距离约为95m.‎ 点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2015•郴州)如图,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.‎ ‎(1)求证:△AOE≌△COF;‎ ‎(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.‎ 考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.‎ 分析: (1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠EAO=∠FCO,由ASA即可得出结论;‎ ‎(2)由△AOE≌△COF,得出对应边相等AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线EF⊥AC,即可得出四边形AFCE是菱形.‎ 解答: (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠EAO=∠FCO,‎ ‎∵O是OA的中点,‎ ‎∴OA=OC,‎ 在△AOE和△COF中,,‎ ‎∴△AOE≌△COF(ASA);‎ ‎(2)解:EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形;理由如下:‎ ‎∵△AOE≌△COF,‎ ‎∴AE=CF,‎ ‎∵AE∥CF,‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形,‎ ‎∵EF⊥AC,‎ ‎∴四边形AFCE是菱形.‎ 点评: 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2015•郴州)阅读下面的材料:‎ 如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,‎ ‎(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;‎ ‎(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是增函数.‎ 例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.‎ 证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0‎ f(x1)﹣f(x2)=﹣==‎ ‎∵x1<x2,且x1>0,x2>0‎ ‎∴x2﹣x1>0,x1x2>0‎ ‎∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0‎ ‎∴f(x1)>f(x2)‎ ‎∴函数f(x)=(x>0)是减函数.‎ 根据以上材料,解答下面的问题:‎ ‎(1)函数f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==.‎ 计算:f(3)=  ,f(4)=  ,猜想f(x)=(x>0)是 减 函数(填“增”或“减”);‎ ‎(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.‎ 考点: 反比例函数综合题.‎ 专题: 阅读型.‎ 分析: (1)根据题意把x=3,x=4代入,再比较其大小即可;‎ ‎(2)假设x1<x2,且x1>0,x2>0,再作差比较即可.‎ 解答: (1)解:∵f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==,‎ ‎∴f(3)==,f(4)==,‎ ‎∵>,‎ ‎∴猜想f(x)=(x>0)是减函数.‎ 故答案为:,,减;‎ ‎(2)证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0‎ f(x1)﹣f(x2)=﹣==,‎ ‎∵x1<x2,且x1>0,x2>0‎ ‎∴x2﹣x1>0,x2+x1>0,x12•x22>0,‎ ‎∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0‎ ‎∴f(x1)>f(x2)‎ ‎∴函数f(x)=(x>0)是减函数.‎ 点评: 本题考查的是反比例函数综合题,根据题中所给出的材料假设出x1<x2,且x1>0,x2>0,再比较出其大小即可.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2015•郴州)如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6).‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;‎ ‎(3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG?(顶点D,E,F,G分别在线段AO,OB,BC,CA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出▱DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.‎ 考点: 二次函数综合题.‎ 专题: 综合题.‎ 分析: (1)根据抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6),利用待定系数法,求出抛物线的表达式即可;‎ ‎(2)利用两点间的距离公式分别计算出OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,则OA=OB,CA=CB,根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB,所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直;‎ ‎(3)如图2,利用两点间的距离公式分别计算出AB=4,OC=6,设D(t,0),根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG,EF=DG,再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称,则可判断EF和DG为对应线段,所以四边形DEFG为矩形,DG∥OC,则DE∥AB,于是可判断△ODE∽△OAB,利用相似比得DE=t,接着证明△ADG∽△AOC,利用相似比得DG=(4﹣t),所以矩形DEFG的面积=DE•DG=t•(4﹣t)=﹣3t2+12t,然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值,从而得到此时D点坐标.‎ 解答: 解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,‎ 根据题意得,解得,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4;‎ ‎(2)如图1,连结AB、OC,‎ ‎∵A(4,0),B(0,4),C(6,6),‎ ‎∴OA=4,OB=4,CB==2,CA==2,‎ ‎∴OA=OB,CA=CB,‎ ‎∴OC垂直平分AB,‎ 即四边形AOBC的两条对角线互相垂直;‎ ‎(3)能.‎ 如图2,AB==4,OC==6,设D(t,0),‎ ‎∵四边形DEFG为平行四边形,‎ ‎∴EF∥DG,EF=DG,‎ ‎∵OC垂直平分AB,‎ ‎∴△OBC与△OAC关于OC对称,‎ ‎∴EF和DG为对应线段,‎ ‎∴四边形DEFG为矩形,DG∥OC,‎ ‎∴DE∥AB,‎ ‎∴△ODE∽△OAB,‎ ‎∴=,即=,解得DE=t,‎ ‎∵DG∥OC,‎ ‎∴△ADG∽△AOC,‎ ‎∴=,即=,解得DG=(4﹣t),‎ ‎∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•(4﹣t)=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12,‎ 当t=2时,平行四边形DEFG的面积最大,最大值为12,此时D点坐标为(2,0).‎ 点评: 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质;理解坐标与图形性质,会利用两点间的距离公式计算线段的长;掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质;会利用相似比计算线段的长.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2015•郴州)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?‎ ‎(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;‎ ‎(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.‎ 考点: 四边形综合题 分析: (1)通过比较线段AB,BC的大小,找出较短的线段,根据速度公式可以直接求得;‎ ‎(2)由已知条件,把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来,三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来,代入三角形的面积公式可得到一个二次函数,即可求出S的最值;‎ ‎(3)通过作辅助线构造直角三角形,由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来,根据线段相等列出等式求解,即可求的结论.‎ 解答: 解:(1)作CE⊥AB于E,‎ ‎∵DC∥AB,DA⊥AB,‎ ‎∴四边形AFVE是矩形,‎ ‎∴AE=DE=5,CE=AD=4,‎ ‎∴BE=3,‎ ‎∴BC=,‎ ‎∴BC<AB,‎ ‎∴P到C时,P、Q同时停止运动,‎ ‎∴t=(秒),‎ 即t=5秒时,P,Q两点同时停止运动.‎ ‎(2)由题意知,AQ=BP=t,‎ ‎∴QB=8﹣t,‎ 作PF⊥QB于F,则△BPF~△BCE,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴BF=,‎ ‎∴S=QB•PF=×(8﹣t)==﹣(t﹣4)2+(0<t≤5),‎ ‎∵﹣<0,‎ ‎∴S有最大值,当t=4时,S的最大值是;‎ ‎(3)∵cos∠B=,‎ ‎∴BF=t•cos∠B=,‎ ‎∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣,‎ ‎∴QP===4‎ ‎①当PQ=PB时,即QP═4,解得t=(舍去负值)‎ ‎∵t=>5,不合题意,‎ ‎②当PQ=BQ时,即4=8﹣t,‎ 解得:t1=0(舍去),t2=,‎ ‎③当QB=BP,即8﹣t=t,‎ 解得:t=4.‎ 综上所述:当t=秒或t=4秒时,△PQB为等腰三角形.‎ 点评: 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值,综合性强,能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来,灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键,要注意分类思想、方程思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎ ‎