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2015年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.(3分)(2015•郴州)2的相反数是( )
A. B. C. ﹣2 D. 2
2.(3分)(2015•郴州)计算(﹣3)2的结果是( )
A. ﹣6 B. 6 C. ﹣9 D. 9
3.(3分)(2015•郴州)下列计算正确的是( )
A. x3+x=x4 B. x2•x3=x5 C. (x2)3=x5 D. x9÷x3=x3
4.(3分)(2015•郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)(2015•郴州)下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)(2015•郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是92,100,96,93,96,98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是( )
A. 93,96 B. 96,96 C. 96,100 D. 93,100
7.(3分)(2015•郴州)如图为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则下列正确的是( )
A. k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
8.(3分)(2015•郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )
A. B. 2 C. 3 D. 3
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
9.(3分)(2015•郴州)2015年5月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为 .
10.(3分)(2015•郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.
11.(3分)(2015•郴州)分解因式:2a2﹣2= .
12.(3分)(2015•郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是 .
13.(3分)(2015•郴州)如图,已知直线m∥m,∠1=100°,则∠2的度数为 .
14.(3分)(2015•郴州)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为 .
15.(3分)(2015•郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号,所得的代数式为完全平方式的概率为 .
16.(3分)(2015•郴州)请观察下列等式的规律:
=(1﹣),=(﹣),
=(﹣),=(﹣),
…
则+++…+= .
三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,26题12分,共82分)
17.(6分)(2015•郴州)计算:()﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°.
18.(6分)(2015•郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.
19.(6分)(2015•郴州)如图,已知点A(1,2)是正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的一个交点.
(1)求正比例函数及反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1<y2?
20.(8分)(2015•郴州)郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)这次统计共抽取了 本书籍,扇形统计图中的m= ,∠α的度数是 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.
21.(8分)(2015•郴州)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.
22.(8分)(2015•郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
23.(8分)(2015•郴州)如图,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.
24.(10分)(2015•郴州)阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,
(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;
(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是增函数.
例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.
证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)=﹣==
∵x1<x2,且x1>0,x2>0
∴x2﹣x1>0,x1x2>0
∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=(x>0)是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
(1)函数f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==.
计算:f(3)= ,f(4)= ,猜想f(x)=(x>0)是 函数(填“增”或“减”);
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.
25.(10分)(2015•郴州)如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6).
(1)求抛物线的表达式;
(2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;
(3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG?(顶点D,E,F,G分别在线段AO,OB,BC,CA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出▱DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
26.(12分)(2015•郴州)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?
(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;
(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.
2015年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.(3分)(2015•郴州)2的相反数是( )
A. B. C. ﹣2 D. 2
考点: 相反数.
分析: 根据相反数的概念解答即可.
解答: 解:2的相反数是﹣2,
故选:C.
点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
2.(3分)(2015•郴州)计算(﹣3)2的结果是( )
A. ﹣6 B. 6 C. ﹣9 D. 9
考点: 有理数的乘方.
分析: 根据有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.
解答: 解:(﹣3)2=(﹣3)×(﹣3)=9.
故选D.
点评: 本题考查有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.
3.(3分)(2015•郴州)下列计算正确的是( )
A. x3+x=x4 B. x2•x3=x5 C. (x2)3=x5 D. x9÷x3=x3
考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
分析: 根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项计算后利用排除法求解.
解答: 解:A、x3•x=x4,故错误;
B、正确;
C、(x2)3=x6,故错误;
D、x9÷x3=x6,故错误;
故选:B.
点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则才能做题.
4.(3分)(2015•郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是( )
A. B. C. D.
考点: 简单几何体的三视图.
分析: 分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图,从而得出都是正方体的几何体.
解答: 解:A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形,符合题意;
B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆,不符合题意;
C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆中间一点,不符合题意;
D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆,不符合题意.
故选A.
点评: 本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力,关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力.
5.(3分)(2015•郴州)下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点: 轴对称图形.
分析: 根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解.
解答: 解:A、是轴对称图形,
B、不是轴对称图形,
C、不是轴对称图形,
D、不是轴对称图形,
故选:A.
点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
6.(3分)(2015•郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是92,100,96,93,96,98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是( )
A. 93,96 B. 96,96 C. 96,100 D. 93,100
考点: 众数;中位数.
分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.
解答: 解:把数据从小到大排列:92,93,95,96,96,98,100,
位置处于中间的数是:96,故中位数是96;
次数最多的数是96,故众数是96,
故选:B.
点评: 此题主要考查了中位数和众数.一些学生往往对概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
7.(3分)(2015•郴州)如图为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则下列正确的是( )
A. k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
考点: 一次函数图象与系数的关系.
专题: 数形结合.
分析: 根据一次函数经过的象限可得k和b的取值.
解答: 解:∵一次函数经过二、四象限,
∴k<0,
∵一次函数与y轴的交于正半轴,
∴b>0.
故选C.
点评: 考查一次函数的图象与系数的关系的知识;用到的知识点为:一次函数经过一三象限或二四象限,k>0或<0;与y轴交于正半轴,b>0,交于负半轴,b<0.
8.(3分)(2015•郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD对折,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )
A. B. 2 C. 3 D. 3
考点: 翻折变换(折叠问题).
分析: 利用翻折变换的性质得出:∠1=∠2=30°,进而结合锐角三角函数关系求出FE的长.
解答: 解:如图所示:由题意可得:∠1=∠2=30°,则∠3=30°,
可得∠4=∠5=60°,
∵AB=DC=BE=3,
∴tan60°===,
解得:EF=.
故选:A.
点评: 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系,得出∠4=∠5=60°是解题关键.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
9.(3分)(2015•郴州)2015年5月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为 3.2×109 .
考点: 科学记数法—表示较大的数.
分析: 用科学记数法表示,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:3200000000=3.2×109,
故答案为:3.2×109
点评: 此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
10.(3分)(2015•郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为 3π cm2.
考点: 圆锥的计算.
分析: 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
解答: 解:圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π.
故答案为:3π.
点评: 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.
11.(3分)(2015•郴州)分解因式:2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1) .
考点: 提公因式法与公式法的综合运用.
分析: 先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答: 解:2a2﹣2,
=2(a2﹣1),
=2(a+1)(a﹣1).
点评: 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
12.(3分)(2015•郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠2 .
考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件.
专题: 计算题.
分析: 求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0.
解答: 解:要使分式有意义,即:x﹣2≠0,
解得:x≠2.
故答案为:x≠2.
点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:分式有意义,分母不为0.
13.(3分)(2015•郴州)如图,已知直线m∥m,∠1=100°,则∠2的度数为 80° .
考点: 平行线的性质.
分析: 根据邻补角定义求出∠3的度数,再根据平行线的性质求出∠2的度数即可.
解答: 解:如图,
∵∠1=100°,
∴∠3=180°﹣100°=80°,
∵m∥n,
∴∠2=∠3=80°.
故答案为80°.
点评: 本题考查了平行线的性质,找到相应的同位角是解题的关键.
14.(3分)(2015•郴州)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为 50° .
考点: 圆周角定理.
专题: 计算题.
分析: 根据圆周角定理得到∠ACB=90°,然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数.
解答: 解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°.
故答案为50°.
点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
15.(3分)(2015•郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号,所得的代数式为完全平方式的概率为 .
考点: 列表法与树状图法;完全平方式.
专题: 计算题.
分析: 先画树状图展示所有四种等可能的结果数,再根据完全平方式的定义得到“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式,然后根据概率公式求解.
解答: 解:画树状图为:
共有四种等可能的结果数,其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式,
所以所得的代数式为完全平方式的概率==.
故答案为.
点评: 本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了完全平方式.
16.(3分)(2015•郴州)请观察下列等式的规律:
=(1﹣),=(﹣),
=(﹣),=(﹣),
…
则+++…+= .
考点: 规律型:数字的变化类.
分析: 观察算式可知=(﹣)(n为非0自然数),把算式拆分再抵消即可求解.
解答: 解:+++…+
=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)
=×
=.
故答案为:.
点评: 考查了规律型:数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.本题的关键规律为=(﹣)(n为非0自然数).
三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,26题12分,共82分)
17.(6分)(2015•郴州)计算:()﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°.
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
解答: 解:原式=2﹣1+﹣2×=1.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(6分)(2015•郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.
考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
分析: 先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.
解答: 解:∵解不等式①得:x≤,
解不等式②得:x>﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1<x,
在数轴上表示不等式组的解集为:.
点评: 本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集,难度适中.
19.(6分)(2015•郴州)如图,已知点A(1,2)是正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的一个交点.
(1)求正比例函数及反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1<y2?
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: (1)利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可;
(2)利用函数图象,结合交点左侧时y1<y2.
解答: 解:(1)将点A(1,2)代入正比例函数y1=kx(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)得,
2=k,m=1×2=2,
故y1=2x(k≠0),反比例函数y2=;
(2)如图所示:当0<x<1时,y1<y2.
点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数交点,利用数形结合得出是解题关键.
20.(8分)(2015•郴州)郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)这次统计共抽取了 200 本书籍,扇形统计图中的m= 40 ,∠α的度数是 36° ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.
考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
分析: (1)用A的本数÷A所占的百分比,即可得到抽取的本数;用C的本数÷总本数,即可求得m;计算出D的百分比乘以360°,即可得到圆心角的度数;
(2)计算出B的本数,即可补全条形统计图;
(3)根据文学类书籍的百分比,即可解答.
解答: 解:(1)40÷20%=200(本),80÷200=40%,×360°=36°,
故答案为:200,40,36°;
(2)B的本数为:200﹣40﹣80﹣20=60(本),
如图所示:
(3)3000×=900(本).
答:估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍.
点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
21.(8分)(2015•郴州)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.
考点: 分式方程的应用.
分析: 设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%)x元,根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可.
解答: 解:设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%)x元,由题意得
+=30
解得:x=200
经检验x=200是原方程的解.
则(1+50%)x=300
=20(棵)
答:樱花树的单价为200元,有20棵.
点评: 此题考查分式方程的应用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
22.(8分)(2015•郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.
分析: 过点A作AD⊥BC于点D,设AD=xm.用含x的代数式分别表示BD,CD.再根据BD+CD=BC,列出方程x+x=150,解方程即可.
解答: 解:过点A作AD⊥BC于点D,设AD=xm.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,
∴BD=AD•tan30°=x.
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=45°,
∴CD=AD=x.
∵BD+CD=BC,
∴x+x=150,
∴x=75(3﹣)≈95.
即A点到河岸BC的距离约为95m.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解.
23.(8分)(2015•郴州)如图,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.
考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
分析: (1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠EAO=∠FCO,由ASA即可得出结论;
(2)由△AOE≌△COF,得出对应边相等AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线EF⊥AC,即可得出四边形AFCE是菱形.
解答: (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵O是OA的中点,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA);
(2)解:EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形;理由如下:
∵△AOE≌△COF,
∴AE=CF,
∵AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
点评: 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
24.(10分)(2015•郴州)阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,
(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;
(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是增函数.
例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.
证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)=﹣==
∵x1<x2,且x1>0,x2>0
∴x2﹣x1>0,x1x2>0
∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=(x>0)是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
(1)函数f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==.
计算:f(3)= ,f(4)= ,猜想f(x)=(x>0)是 减 函数(填“增”或“减”);
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.
考点: 反比例函数综合题.
专题: 阅读型.
分析: (1)根据题意把x=3,x=4代入,再比较其大小即可;
(2)假设x1<x2,且x1>0,x2>0,再作差比较即可.
解答: (1)解:∵f(x)=(x>0),f(1)==1,f(2)==,
∴f(3)==,f(4)==,
∵>,
∴猜想f(x)=(x>0)是减函数.
故答案为:,,减;
(2)证明:假设x1<x2,且x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)=﹣==,
∵x1<x2,且x1>0,x2>0
∴x2﹣x1>0,x2+x1>0,x12•x22>0,
∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=(x>0)是减函数.
点评: 本题考查的是反比例函数综合题,根据题中所给出的材料假设出x1<x2,且x1>0,x2>0,再比较出其大小即可.
25.(10分)(2015•郴州)如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6).
(1)求抛物线的表达式;
(2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;
(3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG?(顶点D,E,F,G分别在线段AO,OB,BC,CA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出▱DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
考点: 二次函数综合题.
专题: 综合题.
分析: (1)根据抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6),利用待定系数法,求出抛物线的表达式即可;
(2)利用两点间的距离公式分别计算出OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,则OA=OB,CA=CB,根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB,所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直;
(3)如图2,利用两点间的距离公式分别计算出AB=4,OC=6,设D(t,0),根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG,EF=DG,再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称,则可判断EF和DG为对应线段,所以四边形DEFG为矩形,DG∥OC,则DE∥AB,于是可判断△ODE∽△OAB,利用相似比得DE=t,接着证明△ADG∽△AOC,利用相似比得DG=(4﹣t),所以矩形DEFG的面积=DE•DG=t•(4﹣t)=﹣3t2+12t,然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值,从而得到此时D点坐标.
解答: 解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意得,解得,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4;
(2)如图1,连结AB、OC,
∵A(4,0),B(0,4),C(6,6),
∴OA=4,OB=4,CB==2,CA==2,
∴OA=OB,CA=CB,
∴OC垂直平分AB,
即四边形AOBC的两条对角线互相垂直;
(3)能.
如图2,AB==4,OC==6,设D(t,0),
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴EF∥DG,EF=DG,
∵OC垂直平分AB,
∴△OBC与△OAC关于OC对称,
∴EF和DG为对应线段,
∴四边形DEFG为矩形,DG∥OC,
∴DE∥AB,
∴△ODE∽△OAB,
∴=,即=,解得DE=t,
∵DG∥OC,
∴△ADG∽△AOC,
∴=,即=,解得DG=(4﹣t),
∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•(4﹣t)=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12,
当t=2时,平行四边形DEFG的面积最大,最大值为12,此时D点坐标为(2,0).
点评: 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质;理解坐标与图形性质,会利用两点间的距离公式计算线段的长;掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质;会利用相似比计算线段的长.
26.(12分)(2015•郴州)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?
(2)设△PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;
(3)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.
考点: 四边形综合题
分析: (1)通过比较线段AB,BC的大小,找出较短的线段,根据速度公式可以直接求得;
(2)由已知条件,把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来,三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来,代入三角形的面积公式可得到一个二次函数,即可求出S的最值;
(3)通过作辅助线构造直角三角形,由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来,根据线段相等列出等式求解,即可求的结论.
解答: 解:(1)作CE⊥AB于E,
∵DC∥AB,DA⊥AB,
∴四边形AFVE是矩形,
∴AE=DE=5,CE=AD=4,
∴BE=3,
∴BC=,
∴BC<AB,
∴P到C时,P、Q同时停止运动,
∴t=(秒),
即t=5秒时,P,Q两点同时停止运动.
(2)由题意知,AQ=BP=t,
∴QB=8﹣t,
作PF⊥QB于F,则△BPF~△BCE,
∴,即,
∴BF=,
∴S=QB•PF=×(8﹣t)==﹣(t﹣4)2+(0<t≤5),
∵﹣<0,
∴S有最大值,当t=4时,S的最大值是;
(3)∵cos∠B=,
∴BF=t•cos∠B=,
∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣,
∴QP===4
①当PQ=PB时,即QP═4,解得t=(舍去负值)
∵t=>5,不合题意,
②当PQ=BQ时,即4=8﹣t,
解得:t1=0(舍去),t2=,
③当QB=BP,即8﹣t=t,
解得:t=4.
综上所述:当t=秒或t=4秒时,△PQB为等腰三角形.
点评: 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值,综合性强,能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来,灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键,要注意分类思想、方程思想的应用.