中考数学一轮复习 图形的性质二 多边形与平行四边形 29页

多边形与平行四边形 第二十一讲 第五章　图形的性质 ( 二 ) 知识盘点 1 ．多边形的定义及对角线计算公式 2 ．多边形的内角和与外角和 3 ．正多边形的概念及性质 4 ．平行四边形的性质 5 ．平行四边形的判定 1 ． 利用平行四 边 形性 质进 行有关 计 算的一般思路 为 ： (1) 运用平行四 边 形的性 质转 化角度或 线 段之 间 的等量关系： ① 对边 平行可得相等的角 ， 进 而可得相似三角形； ② 对边 相等、 对 角 线 互相平分可得相等的 线 段； ③ 当有角平分 线 的条件 时 ， 可利用 “ 平行＋角平分 线 可得等腰三角形 ” 的 结论 得到等角、等 边． (2) 找到所求 线 段或角所在的三角形 ， 若三角形 为 特殊三角形 ， 则 注意运用特殊三角形的性 质 求解；若三角形 为 任意三角形 ， 可以利用某两个三角形全等或相似的性 质进 行求解 ， 有 时还 可利用三角形的中位 线 等知 识 求解． 难点与易错点 2 ． 在判定四 边 形 为 平行四 边 形 时 ， 关 键 是 选择 判定的方 法．可以从 边 、角、 对 角 线 三个方面加以分析： (1) 若已知一 组对边 相等 ， 则 需 证这组对边 平行或者另外一 组对边 相等；若已知一 组对边 平行 ， 则 需 证 明 这组对边 相等或者另外一 组对边 平行； (2) 若已知一 组对 角相等 ， 则 需 证 另一 组对 角相等； (3) 若已知一条 对 角 线 平分另一条 对 角 线 ， 则 需 证对 角 线 互相平分． 3 ． 四种常用的 辅 助 线 (1) 常用 连对 角 线 的方法把四 边 形 问题转 化 为 三角形的 问题 ； (2) 有平行 线时 ， 常作平行 线 构造平行四 边 形； (3) 有中 线时 ， 常作加倍中 线 构造平行四 边 形； (4) 图 形具有等 邻边 特征 时 ( 如 ：等腰三角形、等 边 三角形、菱形、正方形等 ) ， 可以通 过 引 辅 助 线 把 图 形的某一部分 绕 等 邻边 的公共端点旋 转 到另一位置． 1 ． ( 2015 · 重庆 ) 已知一个多边形的内角和是 900° ， 则这个多边形是 ( ) A ． 五边形 B ．六边形 C ． 七边形 D ．八边形 2 ． ( 2015 · 本溪 ) 如图 ， ▱ ABCD 的周长为 20 cm ， AE 平分∠ BAD ， 若 CE ＝ 2 cm ， 则 AB 的长度是 ( ) A ． 10 cm B ． 8 cm C ． 6 cm D ． 4 cm C D 夯实基础 3 ． ( 2015 · 常州 ) 如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 则下列说法一定正确的是 ( ) A ． AO ＝ OD B ． AO ⊥ OD C ． AO ＝ OC D ． AO ⊥ AB 4 ． ( 2015 · 连云港 ) 已知四边形 ABCD ， 下列说法正确的是 ( ) A ． 当 AD ＝ BC ， AB ∥ DC 时 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 B ． 当 AD ＝ BC ， AB ＝ DC 时 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 C ． 当 AC ＝ BD ， AC 平分 BD 时 ， 四边形 ABCD 是矩形 D ． 当 AC ＝ BD ， AC ⊥ BD 时 ， 四边形 ABCD 是正方形 C B 5 ． ( 2015 · 山西 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， 点 D ， E 分别是边 AB ， BC 的中点．若△ DBE 的周长是 6 ， 则△ ABC 的周长是 ( ) A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 14 C 类型一：多边形及其性质 C D 典例探究 [ 对应训练 ] 1 ． (1) ( 2015 · 娄底 ) 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍 ， 则这个多边形的边数为 _________ ． (2) ( 2015 · 巴彦淖尔 ) 如图 ， 小明从 A 点出发 ， 沿直线前进 12 米后向左转 36° ， 再沿直线前进 12 米 ， 又向左转 36° … 照这样走下去 ， 他第一次回到出发地 A 点时 ， 一共走了 ________ 米． 6 120 【 例 2 】 　 ( 2014 · 怀化 ) 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， ∠ B ＝∠ AFE ， EA 是∠ BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE≌△AFE ； (2)∠FAD ＝∠ CDE. 类型二：平行四边形的性质 【 点评 】 　平行四 边 形 对边 相等 ， 对边 平行 ， 对 角相等 ， 邻 角互 补 ， 对 角 线 互相平分 ， 利用 这 些性 质 可以解决与平行四 边 形相关的 问题 ， 也可将四 边 形的 问题转 化 为 三角形的 问题． C 【 例 3 】 　 ( 2015 · 河北 ) 嘉淇同学要证明命题 “ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ” 是正确的 ， 她先用尺规作出了如图 ① 的四边形 ABCD ， 并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图 ① ， 在四边形 ABCD 中 ， BC ＝ AD ， AB ＝ _______ ； 求证：四边形 ABCD 是 _________ 四边形． (1) 补全已知和求证； (2) 按嘉淇的想法写出证明； 类型三：平行四边形的判定 CD 平行 (3) 用文字叙述所证命题的逆命题为 _______________________________ ． 平行四边形两组对边分别相等 【 点评 】 　探索平行四 边 形成立的条件 ， 有多种方法判定平行四 边 形： ①若条件中涉及角 ， 考 虑 用 “ 两 组对 角分 别 相等 ” 或 “ 两 组对边 分 别 平行 ” 来 证 明； ②若条件中涉及 对 角 线 ， 考 虑 用 “ 对 角 线 互相平分 ” 来 说 明； ③ 若条件中涉及 边 ， 考 虑 用 “ 两 组对边 分 别 平行 ” 或 “ 一 组对边 平行且相等 ” 来 证 明 ， 也可以巧添 辅 助 线 ， 构建平行四 边 形． [ 对应训练 ] 3 ． ( 2015 · 桂林 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， 点 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点． (1) 求证：四边形 EBFD 为平行四边形； (2) 对角线 AC 分别与 DE ， BF 交于点 M ， N ， 求证：△ ABN≌△CDM. 【 例 4 】 　已知如图：在△ ABC 中 ， AB ， BC ， CA 的中点分别是 E ， F ， G ， AD 是高．求证：∠ EDG ＝∠ EFG . 类型四：三角形中位线定理 【 点评 】 　当已知三角形一 边 中点 时 ， 可以 设 法找出另一 边 的中点 ， 构造三角形中位 线 ， 进 一步利用三角形的中位 线 定理 ， 证 明 线 段平行或倍分 问题． [ 对应训练 ] 4 ． (1) ( 2015 · 广州 ) 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， ∠ A ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 3 ， 点 M ， N 分别为线段 BC ， AB 上的动点 ( 含端点 ， 但点 M 不与点 B 重合 ) ， 点 E ， F 分别为 DM ， MN 的中点 ， 则 EF 长度的最大值为 ______ ． 3 (2) ( 2015 · 河北 ) 平面上 ， 将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起 ， 如图 ， 则∠ 3 ＋∠ 1 －∠ 2 ＝ ____________ ． 24 ° 试题 　如图 ， 已知六边形 ABCDEF 的六个内角均为 120° ， CD ＝ 10 cm ， BC ＝ 8 cm ， AB ＝ 8 cm ， AF ＝ 5 cm ， 求此六边形的周长． 注意：不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 错解 解：如图 ， 连接 EB ， DA ， FC ， 分别交于点 M ， N ， P.∵∠FED ＝∠ EDC ＝ 120° ， ∴∠ DEM ＝∠ EDM ＝ 60° ， ∴△ DEM 是等边三角形． 同理 ， △ MAB ， △ NFA 也是等边三角形．∴ FN ＝ AF ＝ 5 ， MA ＝ AB ＝ 8.∵∠EFA ＝ 120° ， ∴∠ EFC ＝ 60° ， ∴ ED∥FC ， 同理 ， EF∥DN.∴ 四边形 EDNF 是平行四边形．同理 ， 四边形 EMAF 也是平行四边形 ， ∴ ED ＝ FN ＝ 5 ， EF ＝ MA ＝ 8.∴ 六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA ＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 5 ＝ 44( cm ) ． 剖析 　上述解法最根本的 错误 在于多 边 形的 对 角 线 不是角平分 线 ， 从 证 明的一开始 ， 由∠ FED ＝∠ EDC ＝ 120° 得到∠ DEM ＝∠ EDM ＝ 60° 的 这 个 结论 就是 错误 的 ， 所以后面的推理就没有依据了 ， 请 注意 对 角 线 与角平分 线 的区 别 ， 只有菱形和正方形的 对 角 线 才有平分一 组对 角的特性 ， 其他的不具有 这 一性 质． 不可凭直 观 感 觉 就以 为对 角 线 AD ， BE 平分∠ CDE ， ∠ DEF. 切 记 ： 视觉 不可代替 论证 ， 直 观 判断不能代替 逻辑 推理． 解：如图 ， 分别延长 ED ， BC 交于点 M ， 延长 EF ， BA 交于点 N.∵∠EDC ＝ ∠ DCB ＝ 120 ° ， ∴∠ MDC ＝ ∠ MCD ＝ 60 ° ， ∴∠ M ＝ 60 ° ， ∴△ MDC 是等边三角形． ∵ CD ＝ 10 ， ∴ MC ＝ DM ＝ 10. 同理 ， △ ANF 也是等边三角形 ， AF ＝ AN ＝ NF ＝ 5.∵AB ＝ BC ＝ 8 ， ∴ NB ＝ 8 ＋ 5 ＝ 13 ， BM ＝ 8 ＋ 10 ＝ 18.∵∠E ＝ 120 ° ， ∠ E ＋ ∠ M ＝ 180 ° ， ∴ EN ∥ MB. ∴ 四边形 EMBN 是平行四边形 ， ∴ EN ＝ BM ＝ 18 ， EM ＝ NB ＝ 13 ， ∴ EF ＝ EN － NF ＝ 18 － 5 ＝ 13 ， ED ＝ EM － DM ＝ 13 － 10 ＝ 3 ， ∴六边形 ABCDEF 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DE ＋ EF ＋ FA ＝ 8 ＋ 8 ＋ 10 ＋ 3 ＋ 13 ＋ 5 ＝ 47 ( cm )