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- 2022-03-30 发布
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高考数学考点归纳之指数函数一、基础知识1．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>100时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与00，且a≠1)的图象关于y轴对称．(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当00的解集为________．[解析] ∵f(x)为偶函数，当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．[答案] {x|x>4或x<0}[解题技法]简单的指数方程或不等式问题的求解策略(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当01，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；(2)若01，所以b1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是( )A．M＝NB．M≤NC．MN解析：选D 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝0.1<1，所以M>N.4．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．解析：当a<1时，41－a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为.答案：A级1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )解析：选A 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．2．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5)D．(5,0)解析：选A 由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.4．(2019·南宁调研)函数f(x)＝的单调递增区间是( )A.B.C.D.解析：选D 令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间，故选D.5.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．00D．00时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·深圳摸底)已知a＝3.3，b＝3.9，则a________b．(填“<”或“>”)解析：因为函数y＝x为减函数，所以3.3>3.9，即a>b.答案：>8．函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________．解析：令t＝x，由x∈[－3,2]，得t∈.则y＝t2－t＋1＝2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域是.答案：9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当00，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，故满足条件的x的值为－1.12．已知函数f(x)＝|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值是，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝t在R上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.B级1．(2019·郴州质检)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )A.∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D．(－∞，2)解析：选B 函数f(x)＝ex－的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．解析：①当01时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是.答案：3．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，则x3＞0，
即＋＞0，即＞0，则ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
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