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- 2022-03-30 发布
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高考数学考点归纳之不等式的证明一、基础知识1.基本不等式(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)定理2:如果a,b>0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.(3)定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.2.比较法(1)作差法的依据是:a-b>0⇔a>b.(2)作商法:若B>0,欲证A≥B,只需证≥1.3.综合法与分析法(1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立.[典例] 已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.[解] (1)f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2,得-2x<2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2,得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.[题组训练]1.当p,q都是正数且p+q=1时,求证:(px+qy)2≤px2+qy2.解:(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.2.求证:当a>0,b>0时,aabb≥(ab).证明:∵=,
∴当a=b时,=1,当a>b>0时,>1,>0,∴>1,当b>a>0时,0<<1,<0,∴>1,∴aabb≥(ab).[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[证明] (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,∴(a+b)3≤8,因此a+b≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键;(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.[题组训练]
1.设a,b,c,d均为正数,若a+b=c+d,且ab>cd,求证:+>+.证明:因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2.由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.2.(2018·湖北八校联考)已知不等式|x|+|x-3|0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.解:(1)由|x|+|x-3|0,y>0,∴(9x+y)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即x=,y=时取等号,∴+≥16,即x+y≥16xy.[典例] (2019·长春质检)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1)求集合A;(2)若a,b,c∈A,求证:>1.[解] (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=由|f(x)|<2,得-11,只需证|1-abc|>|ab-c|,
即证1+a2b2c2>a2b2+c2,即证1-a2b2>c2(1-a2b2),即证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-10恒成立.综上,>1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.[题组训练]1.已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.要证0,即证(a-b)(2a+b)>0,即证(a-b)(a-c)>0.∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,∴(a-b)(a-c)>0显然成立,故原不等式成立.2.已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)设a,b∈M,求证:f(ab)>f(a)-f(-b).解:(1)由题意,|x+1|<|2x+1|-1,①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.综上,M={x|x<-1或x>1}.(2)证明:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.1.已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试用分析法证明:∠B为锐角.证明:要证∠B为锐角,只需证cosB>0,
所以只需证a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2,因为a2+c2≥2ac,所以只需证2ac>b2,由已知得2ac=b(a+c).所以只需证b(a+c)>b2,即a+c>b,显然成立.所以∠B为锐角.2.若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab≥2,仅当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,仅当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.3.(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x+1|+|x+3|<4;(2)若a,b满足(1)中不等式,求证:2|a-b|<|ab+2a+2b|.解:(1)当x<-3时,|x+1|+|x+3|=-x-1-x-3=-2x-4<4,解得x>-4,所以-42时,由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤,显然不成立.故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-2+.令g(x)=-2+,则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0.故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.5.(2019·西安质检)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)≤3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若t∈M,求证:t2+1≥+3t.
解:(1)依题意,得f(x)=∴f(x)≤3⇔或或解得-1≤x≤1,即不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}.(2)证明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0,即-1≤x≤时取等号,∴M=[3,+∞).t2+1-3t-==,∵t∈M,∴t-3≥0,t2+1>0,∴≥0,∴t2+1≥+3t.6.(2019·长春质检)已知函数f(x)=|2x-3|+|3x-6|.(1)求f(x)<2的解集;(2)若f(x)的最小值为T,正数a,b满足a+b=,求证:+≤T.解:(1)f(x)=|2x-3|+|3x-6|=作出函数f(x)的图象如图所示.由图象可知,f(x)<2的解集为.(2)证明:由图象可知f(x)的最小值为1,
由基本不等式可知≤==,当且仅当a=b时,“=”成立,即+≤1=T.7.已知函数f(x)=|2x-1|-.(1)求不等式f(x)<0的解集M;(2)当a,b∈M时,求证:3|a+b|<|ab+9|.解:(1)f(x)=当x<-时,f(x)<0,即-x<0,无解;当-≤x≤时,f(x)<0,即-3x-<0,得-时,f(x)<0,即x-<0,得0,所以3|a+b|<|ab+9|.8.已知函数f(x)=m-|x+4|(m>0),且f(x-2)≥0的解集为[-3,-1].
(1)求m的值;(2)若a,b,c都是正实数,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.解:(1)法一:依题意知f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m.由题意知不等式的解集为[-3,-1],所以解得m=1.法二:因为不等式f(x-2)≥0的解集为[-3,-1],所以-3,-1为方程f(x-2)=0的两根,即-3,-1为方程m-|x+2|=0的两根,所以解得m=1.(2)证明:由(1)可知++=1(a,b,c>0),所以a+2b+3c=(a+2b+3c)=3+++≥9,当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=,c=1时取等号.
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