2020-2021学年高考数学（理）考点：复数 25页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：复数 ‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 概念方法微思考 ‎1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？‎ 提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．‎ ‎2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？‎ 提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．‎ ‎1．（2020•海南）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 故选B．‎ ‎2．（2020•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数对应的点的坐标是，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选B．‎ ‎3．（2020•山东）（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 故选D．‎ ‎4．（2020•新课标Ⅰ）若，则（　　）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎5．（2020•新课标Ⅲ）复数的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 复数的虚部是．‎ 故选D．‎ ‎6．（2020•新课标Ⅰ）若，则（　　）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】若，则，‎ 则，‎ 故选D．‎ ‎7．（2020•新课标Ⅲ）若，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎8．（2020•浙江）已知，若为虚数单位）是实数，则（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，若为虚数单位）是实数，‎ 可得，解得．‎ 故选C．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅱ）（　　）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】．‎ 故选A．‎ ‎10．（2019•全国）复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 在复平面内对应的点的坐标为，，在第三象限．‎ 故选C．‎ ‎11．（2019•新课标Ⅱ）设，则在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 在复平面内对应的点为，在第三象限．‎ 故选C．‎ ‎12．（2019•新课标Ⅲ）若，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得 ‎．‎ 故选D．‎ ‎13．（2019•新课标Ⅱ）设，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎14．（2019•北京）已知复数，则（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎15．（2019•新课标Ⅰ）设，则（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得．‎ 故选C．‎ ‎16．（2018•全国）设，则（　　）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，‎ 得．‎ 故选A．‎ ‎17．（2018•新课标Ⅰ）设，则（　　）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎18．（2018•北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】复数，‎ 共轭复数对应点的坐标，在第四象限．‎ 故选D．‎ ‎19．（2018•新课标Ⅲ）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 故选D．‎ ‎20．（2018•新课标Ⅱ）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 故选D．‎ ‎21．（2018•新课标Ⅱ）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 故选D．‎ ‎22．（2018•浙江）复数为虚数单位）的共轭复数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简可得 ‎，‎ 的共轭复数 故选B．‎ ‎23．（2017•全国）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 故选D．‎ ‎24．（2017•山东）已知，是虚数单位，若，，则（　　）‎ A．1或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，则的共轭复数，‎ 由，则，解得：，‎ 的值为1或，‎ 故选A．‎ ‎25．（2017•山东）已知是虚数单位，若复数满足，则（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选A．‎ ‎26．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】．，是实数．‎ ‎．，不是纯虚数．‎ ‎．为纯虚数．‎ ‎．不是纯虚数．‎ 故选C．‎ ‎27．（2017•新课标Ⅲ）设复数满足，则（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，．‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎28．（2017•北京）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限，‎ ‎，解得．‎ 则实数的取值范围是．‎ 故选B．‎ ‎29．（2017•新课标Ⅱ）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】原式．‎ 故选B．‎ ‎30．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】对应的点位于第三象限．‎ 故选C．‎ ‎31．（2017•新课标Ⅱ）（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 故选D．‎ ‎32．（2020•天津）是虚数单位，复数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是虚数单位，复数，‎ 故答案为：．‎ ‎33．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得．‎ 故答案为：．‎ ‎34．（2020•江苏）已知是虚数单位，则复数的实部是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】复数，‎ 所以复数的实部是：3．‎ 故答案为：3．‎ ‎35．（2020•新课标Ⅱ）设复数，满足，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数，满足，，所以，‎ ‎，‎ ‎．得．‎ ‎．‎ 又，故．‎ 故答案为：．‎ ‎36．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设，．‎ 复数满足，‎ ‎，‎ 可得：，，解得，．‎ 则的实部为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎37．（2019•上海）已知，且满足，求__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，即．‎ 故答案为：．‎ ‎38．（2019•天津）是虚数单位，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可知：‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎39．（2019•江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是 ‎__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】的实部为0，‎ ‎，即．‎ 故答案为：2．‎ ‎40．（2019•上海）设为虚数单位，，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，即，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎41．（2019•浙江）复数为虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎42．（2018•天津）是虚数单位，复数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 故答案为：．‎ ‎43．（2018•江苏）若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由，‎ 得，‎ 的实部为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎44．（2018•上海）已知复数满足是虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由，‎ 得，‎ 则．‎ 故答案为：5．‎ ‎45．（2018•上海）若复数是虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故答案为：2．‎ ‎46．（2017•上海）已知复数满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，‎ 得，‎ 设，‎ 由，得，‎ 即，解得：．‎ ‎．‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎47．（2017•天津）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，为虚数单位，‎ 由为实数，‎ 可得，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎48．（2017•江苏）已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎49．（2017•浙江）已知、，是虚数单位），则__________，__________．‎ ‎【答案】5，2‎ ‎【解析】、，是虚数单位），‎ ‎，‎ ‎，，‎ 解得，，．‎ 则，‎ 故答案为：5，2．‎ ‎50．（2017•上海）若复数满足是虚数单位），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，则，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 强化训练 ‎1．（2020•道里区校级一模）已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（　　）‎ A． B． C．5 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎．‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎2．（2020•江西模拟）若，其中，，为虚数单位，则复数的虚部为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ 则，．‎ 复数的虚部为．‎ 故选C．‎ ‎3．（2020•东湖区校级模拟）已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】．‎ 在复平面内对应点的坐标为，在第四象限．‎ 故选D．‎ ‎4．（2020•龙凤区校级模拟）已知是虚数单位，复数，则的虚部为（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则的虚部为．‎ 故选A．‎ ‎5．（2020•二模拟）在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，‎ 又将向量按逆时针方向旋转得到，‎ 对应的复数．‎ 故选A．‎ ‎6．（2020•滨州三模）已知，当复数的模长最小时，的虚部为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，此时．‎ 的虚部为．‎ 故选C．‎ ‎7．（2020•龙潭区校级模拟）复数是虚数单位）的虚部是（　　）‎ A． B． C．3 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 复数的虚部是3．‎ 故选C．‎ ‎8．（2020•马鞍山三模）已知复数满足是虚数单位），则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，‎ 得，‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎9．（2020•宝鸡三模）已知复数在复平面上对应的点为，若iz为纯虚数，则实数的值为（　　）‎ A． B．0 C．1 D．1或 ‎【答案】B ‎【解析】复数在复平面上对应的点为，，‎ 为实数，．‎ 故选B．‎ ‎10．（2020•镜湖区校级模拟）复数为虚数单位），则等于（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎11．（2020•内江三模）复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎12．（2020•南岗区校级模拟）复数，则复数（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎13．（2020•香坊区校级一模）已知复数，则值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎14．（2020•湖北模拟）已知是虚数单位，则（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选A．‎ ‎15．（2020•安徽模拟）复数满足，则的共轭复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则的共轭复数为．‎ 故选C．‎ ‎16．（2020•靖远县模拟）已知为虚数单位，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若，则 ‎ B．的虚部是 ‎ C．若，且，则 ‎ D．实数集在复数集中的补集是虚数集 ‎【答案】D ‎【解析】令，则，故不正确；‎ 的虚部是2，故不正确；‎ 与 都是虚数，不能比较大小，故不正确；‎ 由实数集与虚数集可组成复数集知正确．‎ 故选D．‎ ‎17．（2020•南岗区校级四模）已知是虚数单位，，则（　　）‎ A．10 B． C．5 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】；‎ ‎；‎ 故选C．‎ ‎18．（2020•雁峰区校级模拟）若为虚数单位，复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则．‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限．‎ 故选C．‎ ‎19．（2020•汉阳区校级模拟）在复平面内，复数2i，3对应的点分别为，．若为线段AB上的点，且，则点对应的复数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，，‎ 又，可知为的中点，则，，‎ 点对应的复数是．‎ 故选B．‎ ‎20．（2020•广东四模）若复数是纯虚数为虚数单位），则实数的值是（　　）‎ A． B． C．1 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】是纯虚数，‎ ‎，即．‎ 故选C．‎ ‎21．（2020•九龙坡区模拟）已知复数满足为虚数单位），则复数的虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，‎ 的虚部为．‎ 故选C．‎ ‎22．（2020•衡水模拟）已知复数满足，则（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ 解得，‎ 所以．‎ 故选B．‎ ‎23．（2020•西安三模）若复数满足．其中为虚数单位，为共轭复数，则的虚部为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得．‎ ‎．‎ 的虚部为．‎ 故选A．‎ ‎24．（2020•原州区校级模拟）已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，则，‎ ‎，即．‎ 故选A．‎ ‎25．（2020•新华区校级模拟）满足条件的复数对应点的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 可知复数对应点的轨迹是以和为端点的线段的垂直平分线．‎ 故选A．‎ ‎26．（2020•碑林区校级模拟）若复数是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ 则，‎ 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．‎ 故选A．‎ ‎27．（2020•运城模拟）已知为虚数单位，若，则（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 由复数相等的充要条件得，即，，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎28．（2020•黄州区校级三模）复数（其中为虚数单位），则（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设复数，‎ 则 ‎．‎ 故选C．‎ ‎29．（2020•新乡三模）已知复数，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎30．（2020•桃城区校级模拟）若，为实数，且，则（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，，即，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎31．（2020•黄州区校级二模）已知为虚数单位，复数满足，则下列判断正确的是（　　）‎ A．的虚部为 ‎ B． ‎ C．的实部为 ‎ D．在复平面内所对应的点在第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】由，‎ 得，其实部为1，虚部为1，故错、错；‎ ‎，故错；‎ 在复平面内所对应的点的坐标为，在第一象限，故正确．‎ 故选D．‎ ‎32．（2020•新华区校级模拟）已知复数虚数单位），则（　　）‎ A． B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，‎ 利用性质，得，‎ 故选B．‎ ‎33．（2020•河南模拟）已知为虚数单位，则（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】．‎ 故选B．‎ ‎34．（2020•杭州模拟）已知复数（其中是虚数单位，．‎ ‎（1）若复数是纯虚数，求的值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【解析】．‎ ‎（1）复数是纯虚数，，即；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 的取值范围是．‎ ‎35．（2019•嘉定区一模）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，复数，（其中是虚数单位），且．‎ ‎（1）求证：，并求边长的值；‎ ‎（2）判断的形状，并求当时，角的大小．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由式得，，①‎ 由正弦定理得，，②‎ 得，，‎ 得，，或 为等腰三角形或直角三角形，‎ 若为等腰三角形，当时，，‎ ‎．‎ 若为直角三角形，当时，，‎ ‎．‎