2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-2空间几何体的表面积与体积 21页

‎1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 ‎　名称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．与体积有关的几个结论 ‎(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．‎ ‎(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．‎ ‎2．几个与球有关的切、接常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　√　)‎ ‎(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　)‎ ‎(3)球的体积之比等于半径比的平方．(　×　)‎ ‎(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　√　)‎ ‎(5)长方体既有外接球又有内切球．(　×　)‎ ‎(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)‎ ‎1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)‎ A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm 答案　B 解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，‎ ‎∴r2＝4，∴r＝2 cm.‎ ‎2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　)‎ A．12π B.π C．8π D．4π 答案　A 解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.‎ ‎3．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.‎ 答案　80　40‎ 解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，‎ 其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．‎ ‎4. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为______．‎ 答案　 解析　设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为h＝h1＋h2，又记S＝S△ABC＝，则三棱柱的体积为V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P－ACC1A1的剩余体积为V′＝VP－ABC＋＝Sh1＋Sh2＝S(h1＋h2)＝，从而＝V－V′＝1－ ‎＝.‎ 题型一　求空间几何体的表面积 例1　(1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ ‎(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ 答案　(1)A　(2)12‎ 解析　(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 ‎6×(4－)＋2××()2＝21＋.故选A.‎ ‎ (2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，‎ ‎∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12.‎ 思维升华　空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎　(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____．‎ 答案　26‎ 解析　该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.‎ 题型二　求空间几何体的体积 命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积 例2　(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 答案　C 解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.‎ 命题点2　求简单几何体的体积 例3　(2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积为________m3.‎ 答案　312‎ 解析　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1‎ 的体积 V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；‎ 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．‎ 所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．‎ 思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎　(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)　(2)A 解析　(1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝×(×2×1)×1＝.‎ ‎(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，‎ 容易求得EG＝HF＝，‎ AG＝GD＝BH＝HC＝，‎ ‎∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，‎ ‎∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.‎ 题型三　与球有关的切、接问题 例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 答案　C 解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，‎ 则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，‎ OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ 引申探究 ‎1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？‎ 解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.‎ 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，‎ 从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，‎ V内切球＝πr3＝π×23＝.‎ ‎2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？‎ 解　正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎3．已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？‎ 解　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，‎ 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.‎ 思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎　(1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. C．6π D. ‎(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.‎ ‎(2) 如图，设球心为O，半径为r，‎ 则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，‎ 解得r＝，‎ ‎∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.‎ ‎17．巧用补形法解决立体几何问题 典例　(2016·青岛模拟) 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．‎ 思想方法指导　解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等．‎ 解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.‎ 答案　96‎ ‎1．(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 答案　D 解析　由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故选D.‎ ‎2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．(4＋π) 答案　B 解析　由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为.则V＝··＝.故选B.‎ ‎3．(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．2π 答案　C 解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.‎ ‎4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 答案　B 解析　由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选B.‎ ‎5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是(　　)‎ A.π B．6π C.π D.π 答案　C 解析　该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π.故选C.‎ ‎6．(2016·福建三明一中第二次月考) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A. B. C．2 D．1‎ 答案　A 解析　由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为×1＝.故选A.‎ ‎7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．‎ 答案　 解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱，‎ 底面积S＝＝，高h＝1，‎ 所以四棱柱体积V＝S·h＝×1＝.‎ ‎8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．‎ 答案　7π 解析　(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴‎ 该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π.‎ ‎9．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 答案　3π 解析　方法一　由三视图可知，‎ 此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.‎ 方法二　由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V＝×π×12×6＝3π.‎ ‎　　‎ ‎10．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．‎ 答案　 解析　设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，‎ 则V圆锥＝·πa2·a＝πa3.‎ 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，‎ 故V球＝·(a)3＝a3，‎ 则其体积比为.‎ ‎11．已知一个几何体的三视图如图所示．‎ ‎(1)求此几何体的表面积；‎ ‎(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．‎ 解　(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．‎ S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，‎ S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，‎ S圆柱底＝πa2，‎ 所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.‎ ‎(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．‎ 则PQ＝＝＝a，‎ 所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为a.‎ ‎12．(2016·全国丙卷) 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.‎ 如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC的中点E，连接AE.‎ 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，‎ 故S△BCM＝×4×＝2.‎ 所以四面体NBCM的体积VN-BCM＝×S△BCM×＝.‎ ‎*13.(2017·浙江七校联考)如图所示，在空间几何体ADE－BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是线段AE上的动点．‎ ‎(1)试确定点M 的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；‎ ‎(2)在(1)的条件下，平面MDF将几何体ADE－BCF分成两部分，求空间几何体M－DEF与空间几何体ADM－BCF的体积之比．‎ 解　(1) 当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.‎ 理由如下：‎ 连接CE交DF于点N，连接MN.因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC.又因为MN ‎⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.‎ ‎(2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF，如图所示，‎ 三棱柱ADE－B′CF的体积为V＝S△ADE·CD＝×2×2×4＝8，则几何体ADE－BCF的体积VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C＝8－××2＝.‎ 因为三棱锥M－DEF的体积 VM－DEF＝××1＝，‎ 所以VADM－BCF＝－＝，‎ 所以两几何体的体积之比为∶＝1∶4.‎