高考数学复习—立体几何二空间直线平面关系的判断与证明—2平行与垂直关系的证明试题版 5页

‎【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】‎ 题型1：直线、平面平行的判断及性质 ‎【典型例题】‎ ‎[例1]►(1)如图,在四面体PABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.‎ ‎►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,‎ AB＝6,DC＝3,若M为PA的中点,求证：DM∥平面PBC.‎ ‎►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF.‎ ‎[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：‎ ①B,C,H,G四点共面；‎ ②平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：‎ ①EG∥平面BB1D1D；‎ ②平面BDF∥平面B1D1H.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.‎ ‎2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.‎ 求证：AP∥GH.‎ ‎3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.‎ ‎4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.‎ ‎(1)求证：E,B,F,D1四点共面；‎ ‎(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.‎ 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 ‎【典型例题】‎ ‎[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,‎ AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA＝AB＝BC,E是PC中点.‎ 证明：①CD⊥AE； ②PD⊥平面ABE.‎ ‎►(2)如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且 DF＝AB,PH为△PAD中AD边上的高.‎ ‎①证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎②证明：EF⊥平面PAB.‎ ‎[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.‎ ‎(I)求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎(II)求三棱锥D BCG的体积.‎ ‎►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝AA1,D是棱AA1的中点.‎ ‎(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ ‎►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.‎ ‎①求证：PC⊥BC；‎ ‎②求点A到平面PBC的距离.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.‎ ‎(1)求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A MBC的体积.‎ ‎3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥PABC中,PA＝PB＝AB＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.‎ ‎(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；‎ ‎(2)如果三棱锥PBCD的体积为3,求PA.‎ ‎4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.‎ ‎(1)证明：B1C⊥AB；‎ ‎(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC A1B1C1的高.‎ ‎☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合 ‎【典型例题】‎ ‎[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是 (写出序号).‎ ‎①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；‎ ‎②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；‎ ‎③若α∥β,l∥α,则l∥β；‎ ‎④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.‎ ‎►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是(　　)‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α ‎►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A.相交或平行 B.相交或异面 ‎ C.平行或异面 D.相交、平行或异面 ‎►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(　　)‎ A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l ‎►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)‎ ‎[例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.‎ ‎(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(II)求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎(III)求三棱锥EABC的体积.‎ ‎►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.‎ 求证：(I)直线PA∥平面DEF；‎ ‎(II)平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.‎ ‎(I)求四面体ABCD的体积；‎ ‎(II)证明：四边形EFGH是矩形.‎ ‎ ‎ ‎►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.‎ ‎(I)求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎(II)求证：A1F⊥BE；‎ ‎(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：‎ ‎①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；‎ ‎②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；‎ ‎③若a∥b,则必有a∥c； ④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.(2012·四川)下列命题正确的是(　　)‎ A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行 C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.(　　)‎ A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α ‎5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是(　　)‎ A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a∥α,b⊥a,则b⊥α C.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α D.若a⊥α,a∥β,则α⊥β ‎6.(2015·山东二模)设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是(　　)‎ A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 ‎7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎8.(2013北京)如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,‎ CD＝2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD；‎ ‎(2)BE∥平面PAD；‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ ‎9.[2014·山东文]如图,四棱锥PABCD中,AP⊥平面PCD,‎ AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：BE⊥平面PAC.‎ ‎10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.‎ ‎11.(2013·辽宁)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.‎ ‎12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设AP＝1,AD＝,三棱锥P ABD的体积V＝,求A到平面PBC的距离.‎ ‎13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎14.(2015广东文)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC＝4,AB＝6,BC＝3.‎ ‎(1)证明：BC∥平面PDA；‎ ‎(2)证明：BC⊥PD；‎ ‎(3)求点C到平面PDA的距离.‎ ‎15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB＝16,‎ BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ ‎16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,‎ AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎(Ⅰ)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1﹣BCDE的体积为36,求a的值．‎ ‎17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积．‎ ‎18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎19.[2017全国I文]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,∠ADP＝90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.‎ ‎20.[2017全国II文]如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD;‎ ‎(2)若△PCD面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎21.[2017全国III文]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )‎ A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC ‎ ‎22.[2017全国III文]如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.‎ ‎(1)证明：AC⊥BD；‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.‎