高考试题解析数学 圆锥曲线专题 31页

高考链接 2011 高考试题圆锥曲线 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ 答案：B 解析：由题意知，为双曲线的通径，所以，，‎ 又，故选B.‎ 点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键的值，从而的离心率。‎ ‎4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 C ‎【解析】由恰好将线段AB三等分得，由 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎，故选C ‎5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.‎ ‎【解析】可变形为，则，，.故选C.‎ ‎6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ‎ A.4 B. 3 C. 2 D. 1‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是 ‎9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：，准线方程为，由 则，由抛物线的定义得 由余弦定理得 故选D ‎11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 ‎ A． B．或2 C．2 D．‎ ‎【答案】A 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C：‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为_____________.‎ ‎3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为一条切线为x=1,且直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即,设点P（1，）,连结OP,则OP⊥AB,因为,所以,又因为直线AB过点(1,0),所以直线AB的方程为,因为点在直线AB上,所以,又因为,所以,故椭圆方程是.‎ ‎4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系中，椭圆 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。‎ 答案:‎ 解析：由椭圆的的定义知，，又因为离心率，因此，所求椭圆方程为：；‎ 点评：本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 ‎ 解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：‎ ‎6. (2011年高考四川卷理科14)双曲线 P到左准线的距离是 . ‎ 答案：16‎ 解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.‎ ‎7. (2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】：，由角平分线的性质得 又 ‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎8．(2011年高考北京卷理科14)曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：‎ ‎ ① 曲线C过坐标原点；‎ ‎ ② 曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎ ③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。‎ 其中，所有正确结论的序号是 。‎ ‎【答案】②③‎ ‎9．(2011年高考上海卷理科3)设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 。‎ ‎【答案】16‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）‎ 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）证明和均为定值;‎ ‎（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎ （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得 ‎，‎ 其中 即 …………（*）‎ 又[来源:学#科#网]‎ 所以 因为点O到直线的距离为 所以 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 又 整理得且符合（*）式，‎ 此时 综上所述，结论成立。‎ ‎ （II）解法一：‎ ‎ （1）当直线的斜率存在时，‎ 由（I）知 因此 ‎ （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 ‎ ‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二：‎ 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点，‎ 与矛盾，‎ 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.‎ ‎2.(2011年高考辽宁卷理科20)（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎ （I）设，求与的比值；‎ ‎ （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 解得.‎ 因为，又，所以，解得.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN.‎ ‎2.(2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）‎ 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。‎ ‎ [来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。‎ ‎【解析】：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，，，则，即 ‎ ①[来源:学|科|网]‎ 再设,由，即，解得 ‎ ②‎ 将①代入②式，消去得 ‎ ③‎ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入得 ‎ ，即 ‎，即 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎，因为，等式两边同时约去得 ‎ 这就是所求的点的轨迹方程。‎ ‎【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。‎ ‎3. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ 点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。‎ ‎4. (2011年高考天津卷理科18)（本小题满分13分）‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ ‎（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为.直线方程为 ‎,A,B两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得[来源:学科网ZXXK]‎ ‎,得方程组的解,,不妨设,,‎ 设点的坐标为,则,.由得 ‎,于是,由，即 ‎,化简得,将代入 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎,得,所以,‎ 因此,点的轨迹方程是.‎ ‎5.(2011年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 ‎【解析】（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为 ‎（Ⅱ）设点 ，， 由题意得设过点的圆的切线方程为即① 则 即设，的斜率为（）则是上述方 程的两个不相等的根，将代入①得 由于是方程的根故，所以，‎ ‎，由得 解得点的坐标为 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 直线的方程为.‎ ‎6. (2011年高考江西卷理科20)（本小题满分13分）‎ 是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值．‎ 所以,又A、B两点在双曲线上，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，所以，所以或.‎ ‎7. (2011年高考湖南卷理科21) （本小题满分13分）如图7，椭圆 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.‎ 求，的方程；‎ 设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交于点，.‎ ‎(ⅰ)证明： ;‎ ‎(ⅱ)记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由.‎ 解：由题意知，从而，又，解得，故，的方程分别为，‎ ‎（ⅰ）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为 由得 设，，则是上述方程的两个实根，于是 又点，所以 故即 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 因此 由题意知，，解得或 又由点的坐标可知，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.‎ ‎8. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ [来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎9. (2011年高考湖北卷理科20)（本小题满分13分）‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；‎ ‎(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，‎ 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，C1的方程为；‎ 当时，‎ C2的两个焦点分别为，.‎ 对于给定的，C1上存在点使得 的充要条件是 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 由①得，由②得，‎ 当，即，或时，‎ 存在点N，使：‎ 当，即，或时，‎ 不存大满足条件的点N.‎ 当时，‎ 由，，‎ 可得 令，,‎ 则由，可得，‎ 从而，于是由，‎ 可得，即，‎ 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且;‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎;‎ 当时，在C1上，不存在满足条件的点N.‎ ‎10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）‎ 如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且 ‎（Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为，的坐标为 ‎ 由已知得在圆上，即C的方程为 ‎（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为，设直线与C的交点为 ‎，将直线方程代入C的方程，得，‎ 即。‎ 线段AB的长度为 注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。‎ ‎11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）‎ 如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。‎ ‎（Ⅱ）设动点P满足,其 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。‎ 解析：（Ⅰ）由，解得，‎ 故椭圆的标准方程为 ‎ （Ⅱ）设，,则由得 ‎，即，‎ 因为点M,N在椭圆上，所以 故 ‎ ‎ ‎ ，‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，‎ ‎，因此，‎ 所以，‎ 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为 ‎12．(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)‎ ‎ 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎ (I)当|CD | = 时，求直线l的方程；‎ ‎ (II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎ ‎ 解析：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率.‎ 则 ‎，‎ 的方程为.‎ ‎13.(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，‎ 证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【解析】： (Ⅰ)证明：由，，‎ 由 设 ‎，，‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎，‎ ‎，故点P在C上 ‎（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，‎ ‎，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ 法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为 ‎∴‎ ‎∴则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为∴‎ 到直线的距离为 ‎∴即 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ N M P A x y B C ‎14. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎【解析】（1）因为、,‎ 所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN，‎ 所以k的值为 ‎(2)因为k=2,所以直线AP的方程为,由得交点P()、A(),‎ 因为PC⊥x轴，所以C（)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为，所以 点P到直线AB的距离d==.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎15．(2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎ （II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎16．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）‎ 已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。‎ 解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，点P的坐标为（0，m）‎ 因为，所以，‎ 解得m=2，即点P的坐标为（0，2）‎ 从而圆的半径 故所求圆的方程为 ‎（II）因为直线的方程为 ‎（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），‎ 则 - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 解得 所以所求圆的方程为 ‎（II）同解法一。‎ 解：⑴ 设是线段上一点，则 ‎，当时，。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，‎ 则，点集由如下曲线围成 ‎，‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择，‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎ - 31 -‎ www.ks5u.com 版权所有@高考资源网