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- 2021-05-13 发布
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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))
tan(α-β)=,(T(α-β))
tan(α+β)=.(T(α+β))
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α,(S2α)
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)
tan 2α=.(T2α)
【知识拓展】
1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.
2.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )
(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × )
(3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ )
(4)对任意角α都有1+sin α=(sin +cos )2.( √ )
(5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C
=tan Atan Btan C.( √ )
1.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°= .
答案
解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,
∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
=-tan 20°tan 40°,
∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.
2.(2016·四川)cos2-sin2= .
答案
解析 由题意可知,cos2-sin2=cos=(二倍角公式).
3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ=-,则cos 2θ= .
答案
解析 tan θ=-,则cos 2θ=cos2θ-sin2θ
===.
4.(2015·江苏)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为 .
答案 3
解析 tan β=tan[(α+β)-α]
===3.
5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 .
答案 5
解析 由f(x)=cos 2x+6cos=1-2sin2x+6sin x=-22+,所以当sin x=1时函数的最大值为5.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角,cos(α+)=.
(1)求tan(α+)的值;
(2)求sin(2α+)的值.
解 (1)因为α∈(0,),所以α+∈(,),
所以sin(α+)= =,
所以tan(α+)==2.
(2)因为sin(2α+)=sin 2(α+)
=2sin(α+)cos(α+)=,
cos(2α+)=cos 2(α+)
=2cos2(α+)-1=-,
所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]
=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.
(1)(2016·全国丙卷改编)若tan α=,则cos2α+2sin 2α= .
(2)计算:的值为 .
答案 (1) (2)
解析 (1)tan α=,则cos2α+2sin 2α=
==.
(2)=
===.
题型二 和差公式的综合应用
命题点1 角的变换
例2 (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β= .
(2)(2016·镇江期末)由sin 36°=cos 54°,可求得cos 2 016°的值为 .
答案 (1) (2)-
解析 (1)依题意得sin α==,
cos(α+β)=±=±.
又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).
因为>>-,所以cos(α+β)=-.
于是cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
(2)由sin 36°=cos 54°,得sin 36°=2sin 18°cos 18°=cos(36°+18°)=cos 36°cos 18°-sin 36°sin
18°=(1-2sin218°)·cos 18°-2sin218°cos 18°=cos 18°-4sin218°·cos 18°,即4sin218°+2sin 18°-1=0,解得sin 18°==,cos 2 016°=cos(6×360°-144°)=cos 144°=-cos 36°=2sin218°-1=-.
命题点2 三角函数式的变形
例3 (1)(2016·无锡调研)若tan α=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)= .
答案 -
解析 方法一 因为tan α=,
所以tan 2α===.
又tan(α-β)===-,
故tan β=1.
所以tan(β-2α)===-.
方法二 tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan(α+α-β)
=-=-=-.
(2)求值:-sin 10°(-tan 5°).
解 原式=-sin 10°(-)
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
=
==.
引申探究
化简: (0<θ<π).
解 ∵0<<,∴=2sin ,
又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2
=2sin (sin +cos )
∴原式=
=-cos θ.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.
(1)(2016·泰州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)= .
(2)(2016·南京模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α= .
(3)计算:sin 50°(1+tan 10°)= .
答案 (1)- (2)-cos 2α (3)1
解析 (1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=,
∴cos(-2α)=cos 2(-α)=2×-1=-.
(2)原式=·sin 2α-2cos2α
=1-2cos2α=-cos 2α.
(3)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)
=sin 50°×
=sin 50°×
====1.
8.利用联系的观点进行角的变换
典例 (1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 .
(2)若tan α=2tan,则= .
思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=(α-)-(-β);α=(α-β)+β;α+=(α+)-;15°=45°-30°等.
解析 (1)∵α为锐角且cos(α+)=>0,
∴α+∈(,),∴sin(α+)=.
∴sin(2α+)=sin[2(α+)-]
=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)sin
=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]
=××-[2×()2-1]
=-=.
(2)=
==
=
=
==3.
答案 (1) (2)3
1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0,π),cos α=-,则tan(α+)= .
答案
解析 由α∈(0,π),cos α=-,得tan α=-,
则tan(α+)===.
2.(2016·盐城三模)若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan α的值为 .
答案 -
解析 若角α+的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=x上,则tan(α+)=,
又tan(α+)=,所以tan α=-.
3.(2015·重庆改编)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=________.
答案
解析 tan β=tan[(α+β)-α]===.
4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,则cos β= .
答案
解析 由于α、β都是锐角,所以α+β∈(0,π),
又cos α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=,sin(α+β)=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
5.的值是 .
答案
解析 原式=
=
==.
6.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是 .
答案 β<α
解析 ∵α为锐角,sin α-cos α=>0,∴α>.
又tan α+tan β+tan αtan β=,
∴tan(α+β)==,
∴α+β=,又α>,∴β<<α.
7.化简·= .
答案
解析 原式=tan(90°-2α)·
=··
=··=.
8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α-45°)=-且0°<α<90°,则cos 2α的值为 .
答案
解析 因为sin(α-45°)=-且0°<α<90°,
所以cos(α-45°)= =.
cos 2α=sin(90°-2α)=-sin(2α-90°)
=-sin[2(α-45°)]=-2sin(α-45°)cos(α-45°)
=-2×(-)×=.
*9.(2016·南京模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为 .
答案
解析 因为cos(+θ)cos(-θ)
=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)
=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.
所以cos 2θ=.
故sin4θ+cos4θ=()2+()2
=+=.
10.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值是 .
答案
解析 y=cos x+sin x=2sin(x+),
所以此函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y=2sin(x+m+)的图象,由题意得m+=+kπ(k∈Z),∵m>0,∴m=+kπ(k∈Z且k≥0),
∴m的最小值是.
11.已知α∈(,π),sin α=.
(1)求sin(+α)的值;
(2)求cos(-2α)的值.
解 (1)因为α∈(,π),sin α=,
所以cos α=-=-.
故sin(+α)=sin cos α+cos sin α
=×(-)+×=-.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α
=2××(-)=-,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=,
所以cos(-2α)=cos cos 2α+sin sin 2α
=(-)×+×(-)=-.
12.已知α∈(0,),tan α=,求tan 2α和sin(2α+)的值.
解 ∵tan α=,
∴tan 2α===,
且=,即cos α=2sin α,
又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,
而α∈(0,),∴sin α=,cos α=.
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=cos2α-sin2α=-=,
∴sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin
=×+×=.
*13.已知cos(+α)cos(-α)=-,α∈(,).
(1)求sin 2α的值;
(2)求tan α-的值.
解 (1)cos(+α)·cos(-α)
=cos(+α)·sin(+α)
=sin(2α+)=-,
即sin(2α+)=-.
∵α∈(,),∴2α+∈(π,),
∴cos(2α+)=-,
∴sin 2α=sin[(2α+)-]
=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.
(2)∵α∈(,),∴2α∈(,π),
又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.
∴tan α-=-=
==-2×=2.