2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第五章5-4课时1平面向量在几何中的应用 21页

‎1．向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ ‎2．平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．‎ ‎3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.‎ ‎2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)‎ ‎(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)‎ ‎(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)‎ ‎(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)‎ ‎(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)‎ ‎1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，‎ ‎∴||＝＝2，||＝＝4，‎ ‎||＝＝6，‎ ‎∴||2＋||2＝||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎2．已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ 答案　D 解析　在△ABC中，由余弦定理可得AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.‎ ‎3．(2017·浙江名校协作体联考)若向量a，b满足|a|＝|2a＋b|＝2，则a在b方向上投影的最大值是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由题意得|2a＋b|2＝4|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝16＋8|b|cos〈a，b〉＋|b|2＝4，则cos〈a，b〉＝＝－(＋)≤－2 ＝－，当且仅当|b|＝2时等号成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cos〈a，b〉＝－.‎ ‎4．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．‎ 答案　x＋2y－4＝0‎ 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，‎ 即x＋2y＝4.‎ 第1课时　平面向量在几何中的应用 题型一　向量在平面几何中的应用 命题点1　向量和平面几何知识的综合 例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.‎ ‎(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．‎ 答案　(1)　(2)5‎ 解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝2－·＋·－2‎ ‎＝||2＋||||cos 60°－||2‎ ‎＝1＋×||－||2＝1.‎ ‎∴||＝0，又||≠0，∴||＝.‎ ‎(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.‎ 则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，‎ ＝(2，－y)，＝(1，a－y)，‎ 则＋3＝(5,3a－4y)，‎ 即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，‎ 由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.‎ 因此当y＝a时，|＋3|2取最小值25.‎ 故|＋3|的最小值为5.‎ 命题点2　三角形的“四心”‎ 例2　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　C 解析　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ 引申探究 ‎1．在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？‎ 答案　A 解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．‎ ‎2．在本例中，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？‎ 答案　D 解析　由条件，得＝λ(＋)，从而·＝λ(＋)‎ ‎＝λ·＋λ·＝0，‎ 所以 ⊥，‎ 则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ 命题点3　平面向量数量积与余弦定理 例3　(2016·杭州二模)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若·＝6，则BC等于(　　)‎ A．2 B．10‎ C．2 D．14‎ 答案　A 解析　由题意，知DE＝AE，DF＝AF，‎ ‎∵·＝||·||·cos∠EDF ‎＝||·||· ‎＝＝＝6，‎ ‎∴||＝，∴BC＝2.‎ 思维升华　向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．‎ ‎　(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 ‎(2)(2016·宁波八校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．‎ 答案　(1)A　(2)1－ 解析　(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC 的角平分线．因为(＋)·＝0，所以∠BAC的角平分线垂直于BC，所以AB＝AC.‎ 又·＝··cos∠BAC＝，‎ 所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，‎ 故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．‎ ‎(2)cos∠BAC＝＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝，‎ ‎∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝1－.‎ 题型二　向量在解析几何中的应用 命题点1　向量与解析几何知识的综合 例4　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．‎ ‎(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝___________.‎ 答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)± 解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，且∥，‎ ‎∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，‎ 解得k＝－2或k＝11.‎ 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.‎ ‎(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，‎ ‎∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，‎ 由＝，得k＝±，即＝±.‎ 命题点2　轨迹问题 例5　已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．‎ 解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．‎ 由(＋)·(－)＝0，‎ 得||2－||2＝0，‎ 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，‎ 化简得＋＝1.‎ ‎∴点P在椭圆上，其方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵＝＋，＝＋，‎ 又＋＝0.‎ ‎∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1‎ ‎＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16‎ ‎＝－(y＋3)2＋19.‎ ‎∵－2≤y≤2.‎ ‎∴当y＝－3时，·的最大值为19，‎ 当y＝2时，·的最小值为12－4.‎ 综上，·的最大值为19；‎ ·的最小值为12－4.‎ 思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．‎ ‎　(1)(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ ‎(2)(2016·温州一模)如图，已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在第一象限，且满足||＝a，(＋)·＝0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　(1)－　(2)B 解析　(1)∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵与共线且方向相反，‎ ‎∴当大小相等时，·最小．由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2××＝－.‎ ‎(2)由(＋)·＝0，可得||＝||＝2c，‎ 则点P(x，y)(x>0，y>0)满足 解得 又＝5，解得Q(c－，)，‎ 又Q在双曲线C上，代入双曲线方程化简得80c4－168a2c2＋85a4＝0，则(4c2－5a2)(20c2－17a2)＝0，又c>a，所以4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，则a＝2b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.‎ ‎11．函数与方程思想在向量中的应用 典例　(1)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于______．‎ ‎(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 思想方法指导　求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解．‎ 解析　(1)因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0或y≠0.‎ 当x＝0，y≠0时，＝0；‎ 当x≠0时，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，‎ ＝＝，‎ 不妨设＝t，则＝，‎ 当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，‎ 此时取得最大值4，‎ 所以的最大值为2.‎ 综上，的最大值为2.‎ ‎(2)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得(－1)＋＋(＋)＝0，得(－1)＋＋(＋)(＋)＝0，得(λ＋μ－1)＋(λ＋)＝0.‎ 又因为，不共线，‎ 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ＋μ＝.‎ 答案　(1)2　(2) ‎1．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 答案　D 解析　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.‎ 又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.‎ ‎2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0，‎ ‎2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎3. 如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，‎ 得CD∥AB且＝＝a，‎ 所以＝＋＝b＋a.‎ ‎4．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D 解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，‎ ‎∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．‎ ‎5．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C. D. 答案　B 解析　设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，直线AB的方程为x＝ty＋m，与抛物线y2＝x联立得y2－ty－m＝0，故ab＝－m，由·＝2得a2b2＋ab＝2，故ab＝－2或ab＝1(舍去)，所以m＝2，所以△ABO的面积等于m|a－b|＝|a－b|＝|a＋|，△AFO的面积等于×|a|＝，所以△ABO与△AFO的面积之和等于|a|＋||≥2 ＝3，当且仅当|a|＝，即|a ‎|＝时“＝”成立，故选B.‎ ‎6. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 答案　D 解析　分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D(，)，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC，AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心D(，)共线，所以＝，解得x＝.‎ ‎7．(2016·杭州模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______．‎ 答案　 解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b ‎＝4|a||b|cos ＝4>0，‎ ‎∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ ‎8．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．‎ 答案　4‎ 解析　由＝－，‎ 得5＝＋4，‎ 所以－＝4(－)，‎ 即＝4.‎ 所以点D在边BC上，且||＝4||，‎ 所以S△ABD＝4S△ACD＝4.‎ ‎9．已知直线2x＋y＋2＝0与x轴，y轴的交点分别为A，B，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1和上顶点D，若·＝0，则该椭圆的离心率e＝________.‎ 答案　 解析　因为直线2x＋y＋2＝0与x轴，y轴的交点分别为A，B，‎ 所以A(－1,0)，B(0，－2)，易知F1(－c,0)，D(0，b)，‎ 所以＝(－c,2)，＝(1，b)．‎ 因为·＝0，‎ 所以－c＋2b＝0，所以＝，‎ 即 ＝，‎ 所以＝，‎ 所以该椭圆的离心率e＝＝.‎ ‎10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．‎ 答案　[，]‎ 解析　如图，向量α与β在单位圆O内，因为|α|＝1，|β|≤1，‎ 且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，‎ 故以向量α，β为边的三角形的面积为，‎ 故β的终点在如图的线段AB上(α∥，且圆心O到线段AB的距离为)，‎ 因此夹角θ的取值范围为[，]．‎ ‎11．(2016·嘉兴第二次教学测试) 如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R(