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  • 2021-05-13 发布

浙江高考数学理科试卷带详解

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‎2015年全国高考数学 浙江卷 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(15浙江高考)已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【参考答案】C ‎【测量目标】集合的运算.‎ ‎【试题分析】由题意得,,,故选C.‎ ‎2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )‎ A.8 B‎.12‎ C. D. ‎ 第2题图 ‎ ‎【参考答案】C ‎【测量目标】三视图.‎ ‎【试题分析】由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合,体积,故选C.‎ ‎3. (15浙江高考)已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【参考答案】B ‎【测量目标】等差数列的通项公式及前项和,等比数列的概念. ‎ ‎【试题分析】等差数列,成等比数列,‎ ‎,‎ ‎,,故选B.‎ ‎4. (15浙江高考)命题“且”的否定形式是( )‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎【参考答案】D ‎【测量目标】命题的否定.‎ ‎【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选D.‎ ‎5. (15浙江高考)如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在抛物线上,点在轴上,则△与△的面积之比是( )‎ 第5题图 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【参考答案】A ‎【测量目标】抛物线的标准方程及其性质.‎ ‎【试题分析】,故选A.‎ ‎6. (15浙江高考)设是有限集,定义,其中表示有限集中的元素个数,‎ 命题①:对任意有限集,“”是“”的充要条件;‎ 命题②:对任意有限集,,‎ A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 ‎【参考答案】A ‎【测量目标】集合的性质.‎ ‎【试题分析】命题①显然正确,通过下面文氏图亦可知表示的区域不大于的区域,故命题②也正确,故选A.‎ 第6题图 ‎ ‎7. (15浙江高考)存在函数满足,对任意都有( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【参考答案】D ‎【测量目标】函数的概念.‎ ‎【试题分析】A:取,可知,即,再取,可知,即,矛盾,A错误;同理可知B错误,C:取,可知,再取,可知,矛盾,C错误,D:令,符合题意,故选D.‎ ‎8. (15浙江高考)如图,已知△,是的中点,沿直线将△折成△,所成二面角的平面角,则( )‎ 第8题图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【参考答案】B ‎【测量目标】立体几何中的动态问题.‎ ‎【试题分析】根据折叠过程可知与的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义易得,当且仅当时,等号成立,故选B.‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.‎ ‎9. (15浙江高考)双曲线的焦距是_________,渐近线方程是__________.‎ ‎【参考答案】,.‎ ‎【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎【试题分析】由题意得:,焦距为,渐近线方程.‎ ‎10. (15浙江高考)已知函数,则_________,的最小值是___________.‎ ‎【参考答案】0,.‎ ‎【测量目标】分段函数.‎ ‎【试题分析】,当时,,当且仅当时,等号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为.‎ ‎11. (15浙江高考)函数的最小正周期是__________,单调递减区间是_________.‎ ‎【参考答案】.‎ ‎【测量目标】三角恒等变形,三角函数的性质.‎ ‎【试题分析】,故最小正周期为,单调递减区间为 ‎.‎ ‎12. (15浙江高考)若,则________.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【测量目标】对数的计算.‎ ‎【试题分析】.‎ ‎13. (15浙江高考)如图,三棱锥中,,点分别是的中点,则异面直线所成的角的余弦值是____________.‎ 第13题图 ‎ ‎【参考答案】‎ ‎【测量目标】异面直线的夹角.‎ ‎【试题分析】如下图,连结,取中点,连结,则可知即为异面直线所成角(或其补角)易得:,,,‎ ‎,即异面直线所成角的余弦值为.‎ 第13题图 ‎ ‎14. (15浙江高考)若实数满足,则的最小值是_________.‎ ‎【参考答案】3‎ ‎【测量目标】线性规划的运用,分类讨论的数学思想,直线与圆的位置关系.‎ ‎【试题分析】表示圆及其内部,易得直线与圆相离,故,当时,‎ ‎,如下图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数,则可知当时,,当时,,可行域为大的弓形内部,目标函数,同理可知当时,,综上所述,的最小值为3.‎ 第14题图 ‎ ‎15. (15浙江高考)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则______,_______,_________.‎ ‎【参考答案】,,‎ ‎【测量目标】平面向量的模长,函数值的最值.‎ ‎【试题分析】问题等价于当且仅当时,取得最小值1,两边平方即在时,取得最小值1,‎ ‎, .‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (15浙江高考)(本小题满分14分)‎ 在△中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若△的面积为7,求的值.‎ ‎【测量目标】三角恒等变形,正弦定理.‎ ‎【试题分析】(1)由及正弦定理得,,又由,即,得,解得;(2)由,得,又,,由正弦定理得,又,故.‎ ‎17. (15浙江高考)(本题满分15分)如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求二面角的平面角的余弦值.‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】线面垂直的判定与性质,二面角的求解.‎ ‎【试题分析】(1)设为中点,由题意得平面,,,故平面,由分别为的中点,得且,从而,所以四边形为平行四边形,故,又平面,平面;(2)作,且 ‎,连结,由,,得,由,得,由,得,因此为二面角的平面角,由,且由余弦定理得,.‎ 第17题图 ‎ ‎18. (15浙江高考)(本题满分15分)已知函数,记是在区间上的最大值.‎ ‎(1)证明:当时,;‎ ‎(2)当满足时,求的最大值.‎ ‎【测量目标】二次函数的性质,分类讨论的思想.‎ ‎【试题分析】(1)由,得对称轴为直线,由得,故在上单调,,当时,由,得,即;当时,由,得,即,综上,当时,;(2)由得,故,由,得,当时,,且在上的最大值为,即,所以的最大值为.‎ ‎19. (15浙江高考)(本题满分15分)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)求△的面积最大值(为坐标原点).‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离公式,求函数最值.‎ ‎【试题分析】(1)由题知,可设直线的方程为,由消去,得,直线与椭圆有两个不同的交点, ①‎ 将中点代入直线方程解得 ②‎ 由①②得或;(2)令,则,且到直线的距离为,设△的面积为,,当且仅当时,等号成立,故△面积的最大值为.‎ ‎20. (15浙江高考)(本题满分15分)已知数列满足且 ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设数列的前项和为,证明.‎ ‎【测量目标】数列与不等式结合综合题.‎ ‎【试题分析】(1)由题意得,,即,由得,由得 ‎,即;(2)由题意得,①,由和得,,因此②,由①②得.‎