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- 2021-05-13 发布
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2015年全国高考数学 浙江卷
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.(15浙江高考)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【参考答案】C
【测量目标】集合的运算.
【试题分析】由题意得,,,故选C.
2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A.8 B.12 C. D.
第2题图
【参考答案】C
【测量目标】三视图.
【试题分析】由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合,体积,故选C.
3. (15浙江高考)已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,则( )
A. B.
C. D.
【参考答案】B
【测量目标】等差数列的通项公式及前项和,等比数列的概念.
【试题分析】等差数列,成等比数列,
,
,,故选B.
4. (15浙江高考)命题“且”的否定形式是( )
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
【参考答案】D
【测量目标】命题的否定.
【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选D.
5. (15浙江高考)如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在抛物线上,点在轴上,则△与△的面积之比是( )
第5题图
A. B. C. D.
【参考答案】A
【测量目标】抛物线的标准方程及其性质.
【试题分析】,故选A.
6. (15浙江高考)设是有限集,定义,其中表示有限集中的元素个数,
命题①:对任意有限集,“”是“”的充要条件;
命题②:对任意有限集,,
A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立
【参考答案】A
【测量目标】集合的性质.
【试题分析】命题①显然正确,通过下面文氏图亦可知表示的区域不大于的区域,故命题②也正确,故选A.
第6题图
7. (15浙江高考)存在函数满足,对任意都有( )
A. B.
C. D.
【参考答案】D
【测量目标】函数的概念.
【试题分析】A:取,可知,即,再取,可知,即,矛盾,A错误;同理可知B错误,C:取,可知,再取,可知,矛盾,C错误,D:令,符合题意,故选D.
8. (15浙江高考)如图,已知△,是的中点,沿直线将△折成△,所成二面角的平面角,则( )
第8题图
A. B. C. D.
【参考答案】B
【测量目标】立体几何中的动态问题.
【试题分析】根据折叠过程可知与的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义易得,当且仅当时,等号成立,故选B.
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9. (15浙江高考)双曲线的焦距是_________,渐近线方程是__________.
【参考答案】,.
【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.
【试题分析】由题意得:,焦距为,渐近线方程.
10. (15浙江高考)已知函数,则_________,的最小值是___________.
【参考答案】0,.
【测量目标】分段函数.
【试题分析】,当时,,当且仅当时,等号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为.
11. (15浙江高考)函数的最小正周期是__________,单调递减区间是_________.
【参考答案】.
【测量目标】三角恒等变形,三角函数的性质.
【试题分析】,故最小正周期为,单调递减区间为
.
12. (15浙江高考)若,则________.
【参考答案】
【测量目标】对数的计算.
【试题分析】.
13. (15浙江高考)如图,三棱锥中,,点分别是的中点,则异面直线所成的角的余弦值是____________.
第13题图
【参考答案】
【测量目标】异面直线的夹角.
【试题分析】如下图,连结,取中点,连结,则可知即为异面直线所成角(或其补角)易得:,,,
,即异面直线所成角的余弦值为.
第13题图
14. (15浙江高考)若实数满足,则的最小值是_________.
【参考答案】3
【测量目标】线性规划的运用,分类讨论的数学思想,直线与圆的位置关系.
【试题分析】表示圆及其内部,易得直线与圆相离,故,当时,
,如下图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数,则可知当时,,当时,,可行域为大的弓形内部,目标函数,同理可知当时,,综上所述,的最小值为3.
第14题图
15. (15浙江高考)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则______,_______,_________.
【参考答案】,,
【测量目标】平面向量的模长,函数值的最值.
【试题分析】问题等价于当且仅当时,取得最小值1,两边平方即在时,取得最小值1,
, .
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (15浙江高考)(本小题满分14分)
在△中,内角所对的边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)若△的面积为7,求的值.
【测量目标】三角恒等变形,正弦定理.
【试题分析】(1)由及正弦定理得,,又由,即,得,解得;(2)由,得,又,,由正弦定理得,又,故.
17. (15浙江高考)(本题满分15分)如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
第17题图
【测量目标】线面垂直的判定与性质,二面角的求解.
【试题分析】(1)设为中点,由题意得平面,,,故平面,由分别为的中点,得且,从而,所以四边形为平行四边形,故,又平面,平面;(2)作,且
,连结,由,,得,由,得,由,得,因此为二面角的平面角,由,且由余弦定理得,.
第17题图
18. (15浙江高考)(本题满分15分)已知函数,记是在区间上的最大值.
(1)证明:当时,;
(2)当满足时,求的最大值.
【测量目标】二次函数的性质,分类讨论的思想.
【试题分析】(1)由,得对称轴为直线,由得,故在上单调,,当时,由,得,即;当时,由,得,即,综上,当时,;(2)由得,故,由,得,当时,,且在上的最大值为,即,所以的最大值为.
19. (15浙江高考)(本题满分15分)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.
(1)求实数的取值范围;
(2)求△的面积最大值(为坐标原点).
第17题图
【测量目标】直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离公式,求函数最值.
【试题分析】(1)由题知,可设直线的方程为,由消去,得,直线与椭圆有两个不同的交点, ①
将中点代入直线方程解得 ②
由①②得或;(2)令,则,且到直线的距离为,设△的面积为,,当且仅当时,等号成立,故△面积的最大值为.
20. (15浙江高考)(本题满分15分)已知数列满足且
(1)证明:;
(2)设数列的前项和为,证明.
【测量目标】数列与不等式结合综合题.
【试题分析】(1)由题意得,,即,由得,由得
,即;(2)由题意得,①,由和得,,因此②,由①②得.