高考复习讲解专题之不等式 28页

第七编 不等式 ‎§7.1 不等关系与不等式 ‎1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是 .‎ 答案 -a＞a2＞-a3‎ ‎2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则-n，-m，m，n的大小关系是 .‎ 答案 m＜-n＜n＜-m ‎3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么a,ab,ab2的大小关系是 .‎ 答案 ab＞ab2＞a ‎4.设a=2-,b=-2,c=5-2,则a,b,c的大小关系为 .‎ 答案 a＜b＜c ‎5.设甲：m、n满足乙：m、n满足那么甲是乙的 条件.‎ 答案 必要不充分 例1 （1）设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；‎ ‎（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.‎ 解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)‎ ‎=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),‎ ‎∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,‎ ‎∴-2xy(x-y)＞0,‎ ‎∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).‎ 方法二 ∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.‎ ‎∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,‎ ‎∴0＜=＜1,‎ ‎∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).‎ ‎(2)∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,‎ 而=+.‎ ‎∵a2+b2=c2,则+=1,‎ ‎∴0＜＜1,0＜＜1.‎ ‎∵n∈N,n＞2,‎ ‎∴＜,＜,‎ ‎∴=+＜=1,‎ ‎∴an+bn＜cn.‎ 例2 已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的是 .‎ ‎①(a+c)4＞(b+c)4 ②ac2＞bc2‎ ‎③lg|b+c|＜lg|a+c| ④(a+c)＞(b+c) ‎ 答案 ④‎ 例3 （14分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求‎2a+3b的取值范围.‎ 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),‎ ‎∴, 4分 ‎∴m=,n=-. 6分 ‎∴2a+3b=(a+b)-(a-b). 7分 ‎∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,‎ ‎∴-＜(a+b)＜,-2＜-(a-b)＜-1, 10分 ‎∴-＜(a+b)- (a-b)＜, 12分 即-＜2a+3b＜. 14分 ‎1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;‎ ‎(2)设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小.‎ 解 （1）（x6+1）-（x4+x2）‎ ‎=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)‎ ‎=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)‎ ‎=(x2-1)2(x2+1).‎ 当x=±1时，x6+1=x4+x2;‎ 当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.‎ ‎（2）a-==‎ 当-1＜a＜0或a＞1时,a＞；‎ 当a＜-1或0＜a＜1时,a＜；‎ 当a=±1时,a=.‎ ‎2.适当增加不等式条件使下列命题成立：‎ ‎（1）若a＞b,则ac≤bc;‎ ‎(2)若ac2＞bc2,则a2＞b2;‎ ‎(3)若a＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1);‎ ‎(4)若a＞b,c＞d,则＞;‎ ‎(5)若a＞b,则＜.‎ 解 （1）原命题改为：若a＞b且c≤0，则ac≤bc,即增加条件“c≤0”.‎ ‎(2)由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b≥‎0”‎.‎ ‎(3)由a＞b可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b＞‎-1”‎.‎ ‎（4）＞成立的条件有多种，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加条件“b＞0,d＞0”.还可增加条件为“a＜0,c＞0,d＜0”.‎ ‎(5) ＜成立的条件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,‎ 故增加条件为“ab＞0”.‎ ‎3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.‎ 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数),‎ 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),‎ 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,‎ 于是得,解得,‎ ‎∴f(-2)=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,‎ 故5≤f(-2)≤10.‎ 方法二 由,‎ 得,‎ ‎∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.‎ 方法三 由确定的平面区域如图.‎ 当f(-2)=4a-2b过点A时,‎ 取得最小值4×-2×=5,‎ 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,‎ 取得最大值4×3-2×1=10,‎ ‎∴5≤f(-2)≤10.‎ 一、填空题 ‎1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）.‎ ‎①＞ ②＞0 ③＞ ④＜0‎ 答案 ①②④‎ ‎2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a满足ab2＞a＞ab,则实数b的取值范围为 .‎ 答案 （-∞，-1）‎ ‎3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab＞0，bc-ad＞0, -＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个.‎ 答案 3‎ ‎4.已知函数f(x)=log2(x+1),设a＞b＞c＞0,则,,的大小关系为 .‎ 答案 ＜＜‎ ‎5.若x＞y＞1,且0＜a＜1,则①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.‎ 其中不成立的有 个.‎ 答案 3‎ ‎6.已知a+b＞0，则+与+的大小关系是 .‎ 答案 +≥+‎ ‎7.给出下列四个命题：‎ ‎①若a＞b＞0,则＞;‎ ‎②若a＞b＞0,则a-＞b-;‎ ‎③若a＞b＞0,则＞;‎ ‎④设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+≥2.‎ 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 答案 ②‎ 二、解答题 ‎8.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.‎ 解 =aa-bbb-a=,‎ 当a＞b＞0时，＞1,a-b＞0,∴＞1；‎ 当0＜a＜b时，＜1,a-b＜0,∴＞1.‎ 综上所述，总有aabb＞abba.‎ ‎9.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数, ,,∈R且+＞0, +＞0, +＞0.‎ 试说明f()+f()+f()的值与0的关系.‎ 解 由+＞0,得＞-.‎ ‎∵f(x)在R上是单调减函数,∴f()＜f(-).‎ 又∵f(x)为奇函数,∴f()＜-f(),∴f()+f()＜0,‎ 同理f()+f()＜0,f()+f()＜0,‎ ‎∴f()+f()+f()＜0.‎ ‎10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.‎ 解 设买软件x片、磁盘y盒,‎ N+‎ N+‎ 则x、y满足关系：.‎ ‎11.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.试比较a,b,c的大小.‎ 解 ∵bc＞a2＞0,∴b,c同号.‎ 又a2+c2＞0,a＞0,∴b=＞0,∴c＞0,‎ 由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.‎ 当b-c＞0,即b＞c时,‎ 由得·c＞a2‎ 即(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.‎ ‎∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,‎ ‎∴a-c＜0,即a＜c,则a＜c＜b；‎ 当b-c=0,即b=c时,‎ ‎∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.‎ 又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b与a≠b矛盾,‎ ‎∴b-c≠0.‎ 综上可知:a＜c＜b.‎ ‎§7.2 一元二次不等式及其解法 ‎1.下列结论正确的是 .‎ ‎①不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}‎ ‎②不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}‎ ‎③不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}‎ ‎④设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}‎ 答案 ③‎ ‎2.（2007·湖南理）不等式≤0的解集是 .‎ 答案 （-1，2］‎ ‎3.（2008·天津理）已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 .‎ 答案 {x|x≤-1}‎ ‎4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1对任意实数x成立,则a的取值范围是 .‎ 答案 -＜a＜‎ ‎5.(2008·江苏，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为 .‎ 答案 0‎ 例1 解不等式≥(x2-9)-3x.‎ 解 原不等式可化为-x2+≥x2--3x,‎ 即2x2-3x-7≤0.‎ 解方程2x2-3x-7=0,得x=.‎ 所以原不等式的解集为 ‎.‎ 例2 已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.‎ 解 方法一 由已知不等式的解集为(，)可得a＜0,‎ ‎∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎∴由根与系数的关系可得 ‎∵a＜0,∴由②得c＜0,‎ 则cx2+bx+a＜0可化为x2++＞0,‎ ‎①÷②得==-＜0,‎ 由②得==·＞0,‎ ‎∴、为方程x2+x+=0的两根.‎ ‎∵0＜＜,‎ ‎∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为 ‎.‎ 方法二 由已知不等式解集为(,),得a＜0,‎ 且，是ax2+bx+c=0的两根，‎ ‎∴+=-,=,‎ ‎∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0‎ ‎()x2-(+)x+1＞0(x-1)(x-1)＞0‎ ‎＞0.‎ ‎∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,‎ ‎∴cx2+bx+a＜0的解集为.‎ 例3 已知不等式＞0 (a∈R).‎ ‎(1)解这个关于x的不等式;‎ ‎(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0.‎ ‎①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x＜-1;‎ ‎②当a＞0时,不等式化为(x+1)＞0,‎ 解得x＜-1或x＞;‎ ‎③当a＜0时,不等式化为(x+1)＜0;‎ 若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;‎ 若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;‎ 若＞-1,即a＜-1,则-1＜x＜.‎ 综上所述,‎ a＜-1时,解集为;‎ a=-1时,原不等式无解;‎ ‎-1＜a＜0时,解集为;‎ a=0时,解集为{x|x＜-1};‎ a＞0时,解集为.‎ ‎(2)∵x=-a时不等式成立,‎ ‎∴＞0,即-a+1＜0,‎ ‎∴a＞1,即a的取值范围为a＞1.‎ 例4 （14分）已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1，+∞）时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.‎ 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,‎ 此二次函数图象的对称轴为x=a, 2分 ‎①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知,f（x)在［-1，+∞）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 4分 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,‎ 即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1; 6分 ‎②当a∈［-1，+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 8分 由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,‎ ‎∴-1≤a≤1. 12分 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1. 14分 方法二 由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分 即Δ=4a2-4（2-a）≤0或, 10分 解得-3≤a≤1. 14分 ‎1.解下列不等式：‎ ‎（1）-x2+2x-＞0;(2)9x2-6x+1≥0.‎ 解 （1）-x2+2x-＞0‎ x2-2x+＜0‎ 3x2-6x+2＜0‎ Δ=12＞0,且方程3x2-6x+2=0的两根为 x1=1-,x2=1+,‎ ‎∴原不等式解集为.‎ ‎(2)9x2-6x+1≥0(3x-1)2≥0.‎ ‎∴x∈R,∴不等式解集为R.‎ ‎2.已知关于x的不等式（a+b）x+(‎2a-3b)＜0的解集为，求关于x的不等式(a-3b)x+(b‎-2a)＞0的解集.‎ 解 ∵（a+b）x+(2a-3b)＜0的解集是,‎ ‎∴‎ 于是a=2b＞0,b＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,‎ 即为-bx-3b＞0,亦即-bx＞3b,∴x＜-3.‎ 故所求不等式的解集为{x|x＜-3}.‎ ‎3.解关于x的不等式＜0 （a∈R）.‎ 解 ＜0(x-a)(x-a2)＜0,‎ ‎①当a=0或a=1时，原不等式的解集为；‎ ‎②当a＜0或a＞1时，a＜a2，此时a＜x＜a2;‎ ‎③当0＜a＜1时，a＞a2，此时a2＜x＜a.‎ 综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；‎ 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a};‎ 当a=0或a=1时，原不等式的解集为.‎ ‎4.函数f（x）=x2+ax+3.‎ ‎(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.‎ ‎(2)当x∈［-2,2］时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)∵x∈R时,有x2+ax+3-a≥0恒成立,‎ 须Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.‎ ‎(2)当x∈［-2,2］时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):‎ ‎①如图(1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.‎ ‎②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,‎ 但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,‎ 即 即 解之得a∈.‎ ‎③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,‎ 但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,‎ 即 即 ‎-7≤a≤-6‎ 综合①②③得a∈［-7，2］.‎ 一、填空题 ‎1.函数y=的定义域是 .‎ 答案 ［-,-1）∪（1，］‎ ‎2.不等式＞0的解集是 .‎ 答案 (-2,1)∪(2,+∞)‎ ‎3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是 .‎ 答案 m＜-‎ ‎4.若关于x的不等式：x2-ax‎-6a＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a的取值范围是 .‎ 答案 -25≤a＜-24或0＜a≤1‎ ‎5.(2009·启东质检)已知函数f(x）的定义域为（-∞，+∞），‎ f′(x)为f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如右图所示，‎ 且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)＞1的解集为 .‎ 答案 (2,3)∪(-3,-2)‎ ‎6.不等式组的解集为 .‎ 答案 {x|0＜x＜1}‎ ‎7.若不等式2x＞x2+a对于任意的x∈［-2，3］恒成立，则实数a的取值范围为 .‎ 答案 (-∞,-8)‎ ‎8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=,则实数a的取值范围为 .‎ 答案 0≤a≤4‎ 二、解答题 ‎9.解关于x的不等式56x2+ax-a2＜0.‎ 解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,‎ 即＜0.‎ ‎①当-＜,即a＞0时,-＜x＜;‎ ‎②当-=,即a=0时,原不等式解集为;‎ ‎③当-＞,即a＜0时, ＜x＜-.‎ 综上知:当a＞0时,原不等式的解集为 ‎;‎ 当a=0时,原不等式的解集为;‎ 当a＜0时,原不等式的解集为.‎ ‎10.已知x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集.‎ 解 ∵x2+px+q＜0的解集为,‎ ‎∴-,是方程x2+px+q=0的两实数根，‎ 由根与系数的关系得,∴,‎ ‎∴不等式qx2+px+1＞0可化为-,‎ 即x2-x-6＜0,∴-2＜x＜3,‎ ‎∴不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}.‎ ‎11.若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.‎ 解 方法一 原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)＜0.‎ 令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).‎ 则 解得＜x＜.‎ 方法二 求已知不等式视为关于m的不等式，‎ ‎（1）若x2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x＞,∴x=1,此时原不等式恒成立.‎ ‎（2）当x2-1＞0时，使＞m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＞2,‎ ‎∴1＜x＜.‎ ‎(3)当x2-1＜0时，使＜m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＜-2.‎ ‎∴＜x＜1.‎ 由（1）（2）（3）知原不等式的解集为.‎ ‎12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时，其值为正，而当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.‎ ‎（1）求实数a,b的值及函数f(x)的表达式；‎ ‎（2）设F（x）=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？‎ 解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴f(x)=-4x2+16x+48.‎ ‎(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)‎ ‎=kx2+4x-2.‎ 当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；‎ 当k≠0时，若F(x)的值恒为负值，‎ 则有,解得k＜-2.‎ ‎§7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 ‎1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是 .‎ 答案 ‎ ‎2.（2008·天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为 .‎ 答案 5‎ ‎3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是 .‎ 答案 -5＜m＜10‎ ‎4.（2008·北京理）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是 .‎ 答案 1‎ ‎5.（2008·福建理）若实数x、y满足，则的取值范围是 .‎ 答案 （1，+∞）‎ 例1 画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:‎ ‎(1)指出x,y的取值范围;‎ ‎(2)平面区域内有多少个整点?‎ 解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及 右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及 右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方 的点的集合.‎ 所以,不等式组 表示的平面区域如图所示.‎ 结合图中可行域得x∈ ,y∈［-3,8］.‎ Z ‎(2)由图形及不等式组知 当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;‎ 当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;‎ 当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;‎ 当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；‎ 当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;‎ 当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;‎ ‎∴平面区域内的整点共有 ‎2+4+6+8+10+12=42(个).‎ 例2 （2008·湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 .‎ 答案 6‎ 例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？‎ 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元， 1分 则线性约束条件为， 4分 目标函数为z=7x+12y, 8分 作出可行域如图， 10分 作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时，‎ 利润最大. 12分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）.‎ 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 14分 ‎1.（2008·浙江理，17）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐 ‎ 标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 .‎ 答案 1‎ ‎2.（2008·全国Ⅰ理，13）若x，y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 .‎ 答案 9‎ ‎3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？‎ 解 依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，‎ 那么利润p=15x+20y.‎ N N 其中x,y满足限制条件.‎ 即点（x,y）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.‎ 对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y就是一个能获得p0元利润的生产方案.‎ 对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p的最大值，需把直线p=15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，‎ 当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值.‎ 由,得B（200，900），‎ 当x=200,y=900时，p取最大值，‎ 即pmax=15×200+20×900=21 000,‎ 即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.‎ 一、填空题 ‎1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x,y满足约束条件:‎ 则z=x-3y的最小值为 .‎ 答案 -8‎ ‎2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 .‎ 答案 0＜a≤1或a≥‎ ‎3.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m= .‎ 答案 1‎ ‎4.（2008·山东理）设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M,使函数y=ax ‎ ‎（a＞0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 .‎ 答案 ［2,9］‎ ‎5.如果实数x，y满足,目标函数z=kx+y的最大值为12， ‎ 答案 2‎ ‎6.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,‎ y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 .‎ 答案 1‎ ‎7.（2008·安徽理，15）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化 到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .‎ 答案 ‎ ‎8.设集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠.‎ ‎(1)b的取值范围是 ；‎ ‎（2）若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是 .‎ 答案 （1）［2,+∞)（2）‎ 二、解答题 ‎9.已知实数x、y满足，试求z=的最大值和最小值.‎ 解 由于z==，‎ 所以z的几何意义是点（x,y）与点M（-1，-1）连线的斜率，因此的最值就是点 ‎（x，y）与点M（-1，-1）连线的斜率的最值，‎ 结合图可知：直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2；‎ zmin=kMC=，此时x=1，y=0.‎ ‎10.已知变量x,y满足的约束条件为.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点 ‎（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.‎ 解 依据约束条件，画出可行域.‎ ‎∵直线x+2y-3=0的斜率k1=-,目标函数 z=ax+y(a＞0)对应直线的斜率k2=-a,若符 合题意，则须k1＞k2,即-＞-a,得a＞.‎ ‎11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品:‎ ‎ ‎ ‎ 某建筑工地需A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 ‎ 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.‎ 解 设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y ‎ 约束条件为：‎ 作出可行域如图所示：‎ ‎ 令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使 ‎ z取最小，由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点A不是最优解；‎ 通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和 C（4，8），它们都是最优解.‎ 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：‎ 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；‎ 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；‎ 两种方法都最少要截两种钢板共12张.‎ ‎12.在R上可导的函数f(x)= x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域 ‎ 的面积以及的取值范围.‎ ‎ 解 函数f(x)的导数为f′(x)=x2+ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到,‎ 在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为 ‎△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),‎ ‎△ABD的面积为 S△ABD=|BD|×h=(h为点A到a轴的距离).‎ 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,‎ 显然∈(kCA,kCB),即∈.‎ ‎§7.4 基本不等式:≤‎ ‎1.已知a＞0,b＞0，+=1，则a+2b的最小值为 .‎ 答案 7+2‎ ‎2.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x,y∈R+，且x+4y=1,则x·y的最大值是 .‎ 答案 ‎ ‎3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 .‎ 答案 4‎ ‎4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 .‎ 答案 7‎ ‎5.（2008·江苏，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值是 .‎ 答案 3‎ 例1 已知x＞0,y＞0,z＞0.‎ 求证：≥8.‎ 证明 ∵x＞0,y＞0,z＞0,‎ ‎∴+≥＞0, +≥＞0.‎ ‎+≥＞0,‎ ‎∴ ‎ ‎≥=8.‎ ‎（当且仅当x=y=z时等号成立）‎ 例2 （1）已知x＞0,y＞0，且+=1,求x+y的最小值；‎ ‎（2）已知x＜,求函数y=4x-2+的最大值；‎ ‎（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.‎ 解（1）∵x＞0,y＞0,+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)‎ ‎=++10≥6+10=16.‎ 当且仅当=时，上式等号成立，‎ 又+=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.‎ ‎（2）∵x＜,∴5-4x＞0,‎ ‎∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，‎ 故当x=1时，ymax=1.‎ ‎(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)=10++‎ ‎=10+2≥10+2×2×=18,‎ 当且仅当=,即x=2y时取等号，‎ 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,‎ ‎∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.‎ 例3 （14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形 且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定 ‎（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为 ‎80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.‎ ‎（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；‎ ‎（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过‎16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.‎ 解 （1）设污水处理池的宽为x米，则长为米. 1分 则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162‎ ‎=1 296x++12 960‎ ‎=1 296+12 960 4分 ‎≥1 296×2+12 960=38 880（元），‎ 当且仅当x=(x＞0),‎ 即x=10时取等号. 6分 ‎∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 8分 ‎（2）由限制条件知,∴10≤x≤16. 10分 设g(x)=x+.‎ g（x）在上是增函数，‎ ‎∴当x=10时(此时=16),‎ g(x)有最小值， 12分 即f(x)有最小值.‎ ‎1 296×+12 960=38 882(元).‎ ‎∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元. 14分 ‎1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1.‎ 求证：++≥9.‎ 证明 ++= ++‎ ‎=3+++‎ ‎≥3+2+2+2=9.‎ 当且仅当a=b=c=时取等号.‎ ‎2.若-4＜x＜1,求的最大值.‎ 解 =·=‎ ‎=-‎ ‎∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,＞0.‎ 从而≥2‎ ‎-≤-1‎ 当且仅当-(x-1)= ，‎ 即x=2（舍）或x=0时取等号.‎ 即=-1.‎ ‎3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.‎ ‎（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ 解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2) =sb,v∈（0,c］.‎ ‎（2）依题意，有s,b,a,v都是正数.‎ 因此y=sb≥2s;‎ ‎①若≤c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值.‎ ‎②若≥c,则y在（0，c］上单调递减，‎ 所以当v=c时，y取到最小值.‎ 综上所述，为了使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度应该为v=；‎ 当≥c时，行驶速度应该为v=c.‎ 一、填空题 ‎1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围是 .‎ 答案 a≥-5‎ ‎2.（2008·江苏）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值为 .‎ 答案 3‎ ‎3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为 .‎ 答案 ‎ ‎4.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是 .‎ 答案 3+2‎ ‎5.函数y=log2x+logx(2x)的值域是 .‎ 答案 （-∞，-1］∪［3，+∞）‎ ‎6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.‎ 答案 20‎ ‎7.（2008·徐州调研）若实数a,b满足ab‎-4a-b+1=0 (a＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 .‎ 答案 27‎ ‎8.若a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞)，则+≥,当且仅当=时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=+ 的最小值为 ，取最小值时x的值为 .‎ 答案 25 ‎ 二、解答题 ‎9.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；‎ ‎（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.‎ 解 （1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.‎ ‎∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤=‎ 当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.‎ ‎∴当x=时，x(4-3x）的最大值为.‎ ‎（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.‎ ‎∴2x+4y≥2=2=2=4.‎ 当且仅当，即x=,y=时“=”成立.‎ ‎∴当x=,y=时，2x+4y的最小值为4.‎ ‎10.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：‎ ‎(1)a2+b2≥;‎ ‎(2)+≥8;‎ ‎(3)+ ≥;‎ ‎(4) ≥.‎ 证明 由 a、b∈（0，+∞），‎ 得≤ab≤≥4.‎ ‎（当且仅当a=b=时取等号）‎ ‎(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，‎ ‎∴a2+b2≥.‎ ‎(2)∵+≥≥8,∴+≥8.‎ ‎(3)由(1)、(2)的结论，知 ‎+ =a2+b2+4++‎ ‎≥+4+8=,∴+ ≥.‎ ‎ (4) =++ab+‎ ‎=+++2≥2++2=.‎ ‎11.设a＞0,b＞0,a+b=1.‎ ‎（1）证明：ab+≥4;‎ ‎(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：‎ a2b2+≥（   ）；a3b3+≥（   ）；‎ ‎（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.‎ ‎（1）证明 方法一 ab+≥44a2b2-17ab+4≥0‎ (4ab-1)(ab-4)≥0.‎ ‎∵ab=()2≤=,‎ ‎∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,‎ 因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.‎ 方法二 ab+=ab++，‎ ‎∵ab≤=，∴≥4，∴≥.‎ 当且仅当a=b=时取等号.‎ 又ab+≥2=，‎ 当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.‎ 故ab+≥+=4‎ ‎（当且仅当a=b=时，等号成立）.‎ ‎（2）解 猜想：当a=b=时，‎ 不等式a2b2+≥( )与a3b3+≥( )取等号，故在括号内分别填16与64.‎ ‎（3）解 由此得到更一般性的结论：‎ anbn+≥4n+.‎ 证明如下：‎ ‎∵ab≤=,∴≥4.‎ ‎∴anbn+=anbn++‎ ‎≥2+×4n ‎=+=4n+，‎ 当且仅当ab=,即a=b=时取等号.‎ ‎12.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(单位：件，x∈N*，1≤x≤96)的关系如下：‎ ‎ 又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元，每生产一件次品就损失元.‎ ‎（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)‎ ‎（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x的函数；‎ ‎（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？‎ 解 （1）依题意可知：p=(1≤x≤96,x∈N*),‎ 日产量x件中次品有xp件，正品有x-px件，‎ 日盈利额T=a(x-px)-px=a.‎ ‎(2)∵T=a=a ‎=a=a ‎≤a(104-2)=64a，‎ 所以当100-x=20，即x=80时，T最大.‎ 因此日产量为80件时，日盈利额T取最大值.‎ 单元检测七 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1.已知集合M={x|x2＜4},N={x|x2-2x-3＜0},则集合M∩N= .‎ 答案 {x|-1＜x＜2}‎ ‎2.已知a＞0,b＞0,a,b的等差中项是，且m=a+,n=b+，则m+n的最小值是 .‎ 答案 5‎ 当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎3.已知x＞，则函数y=4x+的最小值为 .‎ ‎4.若x,y是正数，则+的最小值是 .‎ 答案 4‎ ‎5.（2009·东海高级中学高三调研）函数y=a1-x (a＞0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0 (mn＞0)上，则+ ‎ 的最小值为 .‎ 答案 4‎ ‎6.设函数f(x)=，若f(x0)＞1,则x0的取值范围是 .‎ 答案 (0,2)∪(3,+∞)‎ ‎7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 .‎ 答案 5≤a＜7‎ ‎8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达‎400 km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km,则这批物资全部运送到灾区最少需 h.‎ 答案 10‎ ‎9.函数f(x)=，则不等式xf(x)-x≤2的解集为 .‎ 答案 ［-1，2］‎ ‎10.（2008·江西文）已知函数f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 .‎ 答案 （-∞，4）‎ ‎11.若方程x2-2ax+4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数a的取值范围是 .‎ 答案 ‎ ‎12.（2008·苏中三市质检）若不等式x2-2ax+a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t+1＜a的解集为 .‎ 答案 (-2,2)‎ ‎13.已知，则(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是 .‎ 答案 13,41‎ ‎14.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m-3恒成立，则x的取值范围是 .‎ 答案 x＜-1或x＞3‎ 解析 ∵x2-4x+3+m(x-1)＞0,‎ 即(x-1)(x-3+m)＞0对0≤m≤4恒成立，‎ ‎∴或 ‎∴x＜-1或x＞3.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分）‎ ‎15.（2008·石家庄模拟）（14分）已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m为常数且m≤-2,求使不等式a·b+2＞m成立 的x的范围.‎ 解 ∵a=（1，x），b=（x2+x，-x），‎ ‎∴a·b=x2+x-x2=x.‎ 由a·b+2＞m x+2＞m(x+2)-m＞0‎ x(x+2)(x-m)＞0(m≤-2).‎ ‎①当m=-2时，原不等式x(x+2)2＞0x＞0;‎ ‎②当m＜-2时，原不等式m＜x＜-2或x＞0.‎ 综上，得m=-2时，x的取值范围是（0，+∞）；‎ m＜-2时，x的取值范围是（m，-2）∪（0，+∞）.‎ ‎16.(2008·苏南四市模拟)（14分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x≥0，当甲公司投入x万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.‎ ‎（1）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；‎ ‎（2）设f(x)= x+10,g(x)=+20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？‎ 解 （1）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.‎ ‎（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当 ‎①‎ ‎②‎ 时，‎ 双方均无失败的风险.‎ 由①②得y≥(+20)+10,即4y--60≥0,‎ 即(-4)(4+15)≥0.‎ ‎∵≥0,∴4+15＞0.‎ ‎∴≥4.∴y≥16.∴x≥+20≥4+20=24.‎ ‎∴xmin=24,ymin=16,‎ 即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.‎ ‎17.（14分）函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.‎ ‎（1）求f(0);‎ ‎(2)求f(x);‎ ‎(3)不等式f(x)＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围.‎ 解 （1）令x=1,y=0,‎ 得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,‎ ‎∴f(0)=f(1)-2=-2.‎ ‎(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,‎ ‎∴f(x)=x2+x-2.‎ ‎(3)f(x)＞ax-5化为x2+x-2＞ax-5,‎ ax＜x2+x+3,∵x∈(0,2),‎ ‎∴a＜=1+x+.‎ 当x∈(0,2)时，1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号，由∈(0,2)，得=1+2. ‎ ‎∴a＜1+2.‎ ‎18.（16分）设f(x)是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞,0）上为增函数.‎ ‎（1）若m·n＜0,m+n≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;‎ ‎(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-2)＞0.‎ ‎（1）证明 ∵m·n＜0,m+n≤0，∴m、n一正一负.‎ 不妨设m＞0,n＜0,则n≤-m＜0.取n=-m＜0,‎ ‎∵函数f(x)在（-∞,0）上为增函数，‎ 则f(n)=f(-m)；取n＜-m＜0，同理 f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f（-m）.‎ 又函数f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，‎ ‎∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.‎ ‎（2）解 ∵f（1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，‎ ‎∴原不等式可化为或. ‎ 易证：f(x)在（0,+∞）上为增函数.‎ ‎∴或.‎ ‎∴x2-2x-3＞0或.‎ 解得x＞3或x＜-1或.‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）.‎ ‎19.（16分）某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用 m万元（m≥0）满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).‎ ‎（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.‎ 解 （1）由题意可知当m=0时，x=1（万件）,‎ ‎∴1=3-kk=2.∴x=3-.‎ 每件产品的销售价格为1.5×(元)，‎ ‎∴2008年的利润y=x·-(8+16x+m)‎ ‎=4+8x-m=4+8-m ‎=-+29(m≥0).‎ ‎（2）∵m≥0时，+(m+1)≥2=8,‎ ‎∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1m=3(万元）时，ymax=21(万元）.‎ ‎20.（16分）已知点M（x1,f(x1)）是函数f(x)=,x∈(0,+∞)图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l.‎ ‎（1）求切线l的方程；‎ ‎（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值.‎ 解 （1）f′(x)=-,∴k=f′(x1)=-.‎ ‎∴切线方程为y-=-(x-x1),‎ 即y=-x+.‎ ‎(2)在y=-x+中，令y=0得x=2x1,‎ ‎∴A(2x1,0).令x=0，得y=,∴B.‎ ‎∴△AOB的周长m=2x1++.‎ ‎∴m=2,x1∈(0,+∞).‎ 令t=x1+,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2.‎ ‎∴当t=2，即x1=1时，m最小=2(2+).‎ 故△AOB周长的最小值是4+2.‎ 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)‎