辽宁省东北育才学校高考数学模拟最后一卷试题 文 新人教A版 10页

‎2012届东北育才学校科学高中部模拟考试数学试卷（文）‎ 命题：吴成波 校对：数学组 满分：150分 考试时间：120分钟　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,5}，∁UB＝{4,5,6}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1,2} B．{5} C．{1,2,3} D．{3,4,6}‎ ‎2．若＝b＋2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a－b的值为(　　)‎ A．－1 B．－‎3 ‎‎ C．3 D．1‎ ‎3．已知命题p、q，“非p为假命题”是“p或q是真命题”的(　　)‎ A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为(　　)‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D. 64.5‎ ‎6．已知tanα＝2，则＝(　　)‎ A. B．－ C. D. ‎7．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32,1) D．(1，log34)‎ ‎8．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　　)‎ A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0‎ C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0‎ ‎9．函数对任意的都有成立，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．‎ ‎|x3-x1|<|x3-x2|‎ ‎10．右图中，x1、x2、x3为某次考试三个评阅人对同一 道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，‎ x2=9， p=8.5时，x3等于（ ）‎ A．11 B．‎10 ‎ C．8 D．7‎ ‎11．已知是上一点，为抛物线焦点，‎ 在上，则的最小值 （ ）‎ A．2 B．‎4 C．8 D．10 ‎ ‎12．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面积的和之比为4∶1，且正四棱柱的体积是4，则这个球的体积是(　　)‎ A.π B．2π C．3π D．4π ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎14．设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包括边界）为D，P为D内的一个动点，则目标函数的最小值为 .‎ ‎15．过点与曲线相切的直线方程是 ．‎ ‎16. 在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为 ‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的各项均为正数，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式．‎ ‎（II）设，求数列的前n项和．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，已知直三棱柱ABC—A1B‎1C1，， ， ，E、F分别是棱CC1、AB中点．‎ ‎ （1）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，‎ 并加以证明；‎ ‎ （2）求四棱锥A—ECBB1的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 口袋里装有4个大小相同的小球, 其中两个标有数字1, 两个标有数字2.‎ ‎(Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球, 记第一次与第二次取到小球上的数字之和为. 当为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由; ‎ ‎(Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与第二次取到小球上的数字之和为. 求大于的概率.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.‎ ‎(1)若函数y＝f(x)和函数y＝g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，求实数m的值．‎ ‎21．( 本小题满分12分)‎ 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．‎ 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，‎ 与的延长线交于点，点在 的延长线上．‎ ‎ （Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），‎ 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．‎ ‎（I）求曲线，的方程；‎ ‎（II）若点，在曲线上，求的值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数 ‎ （1）当a=4时，求不等式的解集 ‎ （2）若对恒成立，求a的取值范围。‎ ‎2012届东北育才学校科学高中部模拟考试 数学试卷（文）参考答案 一、选择题：AAACB DCDDC BD 二、填空题：13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎ 17.解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．‎ 由条件可知c>0，故．…… 2分 由得，所以．…… 4分 故数列{an}的通项式为an=．…… 6分 ‎（Ⅱ ）‎ ‎…… 10分 故 所以数列的前n项和为…… 12分 ‎18． （1）解：CF//平面AEB1，…… 2分 证明如下：‎ ‎ 取AB1的中点G，联结EG，FG ‎ 分别是棱AB、AB1中点 …… 4分 ‎ 又 ‎ ‎ 四边形FGEC是平行四边形 ‎ ‎ 又平面AEB，平面AEB1， 平面AEB1。 …… 6分 ‎ （2）解：三棱柱ABC—A1B‎1C1是直棱柱，‎ ‎ 平面ABC， 又平面ABC ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 平面ECBB1 ‎ ‎ 是棱CC1的中点，‎ ‎ …… 12分 ‎19. (Ⅰ) 设标号为1的球为,,标号为2的球为,‎ ‎ 所有基本事件包括: (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(),(,),(,),(,),(,),(,),(,)共16种.‎ 设事件表示数字和为2,包括: (,),(,)(,),(,)共4种, ……………… 2分 设事件表示数字和为3,包括: (,),(,),(,),(,),(,),(,)‎ ‎,),(,)共8种, ……………… 4分 设事件表示数字和为4,包括: (,),(,),(),(,)共4种, 数字和为3时概率最大. ……………………………… 6分 ‎(Ⅱ) 所有基本事件包括: (,),(,),(,),(,),(,),()共6种.‎ 设事件表示数字和为3, 包括: (,),(,),(,),(,),……………… 8分 ‎ 设事件表示数字和为4, 包括: (), …………10分 数字和大于2的概率为 ‎ 答:数字和为3时概率最大,数字和大于2的概率为 ……… 12分 ‎20． (1)f′(x)＝2x－＝(x>0)，…………… 2分 当02时，f′(x)>0，‎ 要使f(x)在(a，a＋1)上递增，必须a≥2，…………… 4分 g(x)＝－x2＋14x＝－(x－7)2＋49，‎ 若使g(x)在(a，a＋1)上递增，必须a＋1≤7，即a≤6，‎ 综上，当2≤a≤6时，f(x)，g(x)在(a，a＋1)上均为增函数．……6分 ‎ (2)方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解⇔有唯一解，‎ 设h(x)＝2x2－8lnx－14x，‎ h′(x)＝4x－－14＝(2x＋1)(x－4)(x>0)，…………… 8分 h′(x)，h(x)随x变化如下表：‎ x ‎(0,4)‎ ‎4‎ ‎(4，＋∞)‎ h′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎  极小值－24－16ln2‎  由于在(0，＋∞)上，h(x)只有一个极小值，∴h(x)的最小值为－24－16ln2，‎ 故当m＝－24－16ln2时，方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解．… 1 2分 ‎21.‎ ‎（Ⅰ）， ，………………2分 ‎∴，， ‎ ‎∴椭圆方程为．……………5分 ‎（Ⅱ）设直线BD的方程为 ‎∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ………………………①‎ ‎ ②………………8分，‎ 设为点到直线BD：的距离，‎ ‎ ∴………10分 ‎∴ ，当且仅当时，的面积最大，最大值为．………………………………………………………12分 ‎22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．‎ 证明：（1）四点共圆，‎ ‎，‎ ‎ 又，‎ ‎ ∽，‎ ‎ ，……………… 2分 ‎，……………… 4分 ‎．……………… 6分 ‎（2），‎ ‎ ，‎ ‎ 又，‎ ‎ ∽，‎ ‎ ，‎ ‎ 又四点共圆，……………… 8分 ‎，‎ ‎，‎ ‎ .……………… 10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．‎ 解：（I）将及对应的参数，代入，得，‎ 即，……………… 2分 所以曲线的方程为（为参数），或.……………… 4分 ‎ 设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).‎ 将点代入,‎ 得,即.‎ ‎(或由,得,代入,得),‎ 所以曲线的方程为,或.……………… 6分 ‎（II）因为点， 在在曲线上,‎ ‎ 所以,,……………… 8分 ‎ 所以.……………… 10分