高考专题复习思想方法数形结合精华版 10页

数形结合思想 ‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.‎ ‎【以形助数】‎ 例1、（集合中的数形结合）‎ 已知集合，当，求实数的取值范围.‎ 参考解答：画数轴分析可得.‎ 例2、（函数中的数形结合）‎ 设，当时，恒成立，求的取值范围。‎ 参考解答：‎ 解法一：由，在上恒成立在上恒成立.‎ 考查函数的图像在时位于轴上方，如下图 不等式的成立条件是：‎ ‎1）；‎ ‎2）；‎ 综上所述 解法二：由，令，‎ 在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于之间，而直线 对应的的值分别为，故直线对应的.‎ 例3、（方程中的数形结合）‎ 若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.‎ 参考解答：‎ 原方程变形为，即，‎ 作出曲线，和直线的图象，由图可知：‎ ‎①当时，有唯一解；‎ ‎②当时，即时，方程有唯一解.‎ 综上可知，或时，方程有唯一解.‎ 例4、（不等式中数形结合）‎ 不等式在时恒成立，求的取值范围.‎ 参考解答：‎ 例5、（解析几何中的数形结合）‎ 已知满足，求的最大值与最小值.‎ 参考解答：‎ 对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 来求之.令，则，原问题转化为：在椭圆上求一点，‎ 使过该点的直线斜率为，且在轴上截距最大或最小，由图可知，当直线与 椭圆相切时，有最大截距与最小截距.由 可得，得，故的最大值为，最小值为.‎ 例6、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为（）‎ ‎ ‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎ ‎ 例7、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点，‎ 求的取值范围.‎ 参考解答：‎ 不论取何值，直线恒过定点，斜率为，由图与线段有公共点，‎ 需要由直线的位置（绕点）逆时针转动到的位置.在这一转动过程中，‎ 的倾斜角先逐渐增大到（从而的斜率逐渐增大到），绕过轴后，倾斜角 依然逐渐增大，因此其正切值（的斜率）逐渐增大到的斜率，又，‎ 故，即.‎ 例8、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点，‎ 求的最大值和最小值.‎ 参考解答：‎ 由椭圆的定义知，‎ 即，‎ ‎【配套练习】‎ ‎1、方程的解的个数为（）‎ ‎ ‎ ‎2、如果实数满足，则的最大值为（）‎ ‎ ‎ 参考解答：‎ 等式有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，‎ 如图，表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率. 如此以来，该问题 可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线 的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，‎ 经简单计算得最大值为.‎ ‎3、已知函数，若，则的大小关系为.‎ ‎4、设函数，若，，‎ 则关于的方程的解的个数为（）‎ ‎ ‎ ‎5、函数的最小值为（）‎ ‎ ‎ ‎6、已知函数在区间内递减，则实数的取值范围为.‎ 参考解答：如图所示，可知对称轴 ‎7、设、分别是方程的根，‎ 则＝.‎ ‎8、如果关于的方程有两个实数根，‎ 并且，‎ 求实数的取值范围.‎ 参考解答：‎ 令，由题.‎ ‎9、求函数的值域.‎ 参考解答：‎ 的形式类似于斜率公式，表示过两点，‎ 的直线的斜率，由于点在单位圆上，显然 ‎，设过的圆的切线方程为，则有 ‎，解得，即，，‎ 所以，所以函数值域为.‎ ‎10、已知集合，‎ 求满足下列条件时实数的取值范围.‎ ‎⑴；‎ ‎⑵Ü；‎ 参考解答：画区域分析问题，⑴，⑵‎ ‎【高考真题】‎ ‎1、若集合，集合，且，‎ 则实数的取值范围为.‎ 参考解答：‎ 集合，显然，表示以为圆心，以为半径 的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易 知，欲使，即直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，‎ 最大值为即.‎ ‎2、已知（其中），且是方程的两根（），‎ 则实数，且.‎ ‎3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，‎ 表示原点，则（）‎ ‎ ‎ 参考解答：‎ 设椭圆另一焦点为，（如下图），则，而，因为，‎ 所以，又注意到各为的中点，所以是的中位 线，因此.‎ ‎4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.‎ 参考解答：‎ 设，可作图得.‎ ‎（数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，‎ 应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则）‎ ‎5、已知函数，若且，则的取值范围是.‎ ‎6、已知，若中仅含有两个元素时，‎ 则实数的取值范围.‎ 参考解答：‎ ‎ ‎ 已知当时与在轴左侧必有一个交点，故要在轴右侧有一个交点只需，‎ 同理当时与在轴右侧必有一个交点，故要在轴左侧有一个交点只需.‎ ‎7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程、、、的对应关系中，有可能正确的一组是——————()‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、已知函数的图像如图所示，则（）‎ ‎ ‎ ‎0‎ y ‎1‎ ‎2‎ x 参考解答：‎ 本题可将图形转化为具体数值，由图像过个特殊点及与轴的相对位置特征，可得到以下等式：‎ ‎⑴，即；‎ ‎⑵，即；‎ ‎⑶，即；‎ ‎⑷；‎ ‎⑸当时，，由得，‎ ‎⑹当时，，，可推得.‎ 巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：‎ 方法一：⑵⑶得，再由⑹推得，选；‎ 方法二：⑵⑸推得；‎ 方法三：由⑷比较同次项系数得，再由⑹得.‎ 数学思想方法：数形结合 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.‎ ‎【以形助数】‎ 例1、（集合中的数形结合）‎ 已知集合，当，求实数的取值范围.‎ 例2、（函数中的数形结合）‎ 设，当时，恒成立，求的取值范围.‎ 例3、（方程中的数形结合）‎ 若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.‎ 例4、（不等式中数形结合）‎ 不等式在时恒成立，求的取值范围.‎ 例5、（解析几何中的数形结合）‎ 已知满足，求的最大值与最小值.‎ 例6、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎ ‎ 例7、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点，求的取值范围.‎ 例8、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点，‎ 求的最大值和最小值.‎ ‎【配套练习】‎ ‎1、方程的解的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、如果实数满足，则的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3、已知函数，若，则的大小关系为 .‎ ‎4、设函数，若，，‎ 则关于的方程的解的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5、函数的最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6、已知函数在区间内递减，则实数的取值范围为 .‎ ‎7、设、分别是方程的根，则＝ .‎ ‎8、如果关于的方程有两个实数根，并且，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎9、求函数的值域.‎ ‎10、已知集合，‎ 求满足下列条件时实数的取值范围.⑴；⑵Ü.‎ ‎【高考真题】‎ ‎1、若集合，集合，且，‎ 则实数的取值范围为 .‎ ‎2、已知（其中），且是方程的两根（），‎ 则实数，且 .‎ ‎3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，表示原点，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎5、已知函数，若且，则的取值范围是 .‎ ‎6、已知，若中仅含有两个元素时，则实数的取值范围 .‎ ‎7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程、、、的对应关系中，有可能正确的一组是—( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ y ‎1‎ ‎2‎ x ‎8、已知函数的图像如图所示，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎