2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章9-2两条直线的位置关系 17页

第2讲　两条直线的位置关系 最新考纲　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ 知 识 梳 理 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．‎ ‎(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．‎ ‎2．两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；‎ 重合⇔方程组有无数个解．‎ ‎3．距离公式 ‎(1)两点间的距离公式 平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|＝.‎ 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.‎ ‎(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)‎ ‎　(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)‎ 解析　(1)两直线l1，l2有可能重合．‎ ‎(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D．2 解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y＝x＋3得x－y ‎＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.‎ 答案　C ‎3．(2017·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)‎ A．2 B．－3‎ C．2或－3 D．－2或－3‎ 解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.‎ 答案　C ‎4．(必修2P76练习2(2)改编)直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．‎ 解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，‎ 则两平行线间的距离为d＝＝.‎ 答案　 ‎5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.‎ 解析　由题意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.‎ 答案　1‎ 考点一　两直线的平行与垂直　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A．－1 B．2 ‎ C．0或－2 D．－1或2‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ 解析　(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.‎ ‎(2)因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.‎ 即(－1)·＝－1，解得a＝－2.‎ 答案　(1)D　(2)－2‎ 规律方法　(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ ‎【训练1】 (1)(2017·安康检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·西安模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．‎ 解析　(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.‎ ‎(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.‎ 答案　(1)D　(2)25‎ 考点二　两直线的交点与距离问题 ‎【例2】 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ 解析　(1)法一　由方程组 解得 ‎(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.又∵交点位于第一象限，‎ ‎∴解得－＜k＜.‎ 法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．‎ 而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．‎ ‎∵两直线的交点在第一象限，‎ ‎∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，‎ ‎∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.‎ ‎∵kPA＝－，kPB＝.‎ ‎∴－＜k＜.‎ ‎(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 规律方法　(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎【训练2】 (1)曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)曲线y＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3,2)到直线l的距离为＝.‎ ‎(2)因为l1∥l2，所以＝≠，所以解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.‎ 答案　(1)A　(2)B 考点三　对称问题 ‎【例3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．‎ 解　(1)设A′(x，y)，再由已知 解得∴A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．‎ 设对称点为M′(a，b)，‎ 则解得M′.‎ 设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．‎ 又∵m′经过点N(4,3)，‎ ‎∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如M(1,1)，N(4,3)，‎ 则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．‎ 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.‎ 法二　设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)，‎ ‎∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ 规律方法　(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．‎ ‎(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题．‎ ‎(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．‎ ‎【训练3】 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．‎ 解　‎ 法一　由 得 ‎∴反射点M的坐标为(－1,2)．‎ 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，‎ 由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.‎ 而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，‎ ‎∴3·－2·＋7＝0.‎ 由得 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.‎ 法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，‎ 又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由 可得P点的横、纵坐标分别为 x0＝，y0＝，‎ 代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，‎ ‎∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法解决问题．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．‎ ‎2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.‎ 答案　C ‎2．(2017·上饶模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，因此选C.‎ 答案　C ‎3．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)‎ A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0‎ C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0‎ 解析　法一　由得 则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.‎ 法二　设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，‎ 即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，‎ 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，‎ 解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.‎ 答案　D ‎4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y＋3＝0 D．x＋2y－3＝0‎ 解析　设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.‎ 答案　D ‎5．(2017·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)‎ A．7 B. C．14 D．17‎ 解析　直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝，故选B.‎ 答案　B ‎6．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是(　　)‎ A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1‎ C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3‎ 解析　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝‎ ，即y＝2x－3，故选D.‎ 答案　D ‎7．(2017·成都调研)已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)‎ A．(3，) B．(2，)‎ C．(1，) D. 解析　直线l1的斜率为k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)．两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．故选C.‎ 答案　C ‎8．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0‎ 解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ 答案　A 二、填空题 ‎9．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．‎ 解析　设对称点为(x0，y0)，则 解得故所求对称点为(0,3)．‎ 答案　(0,3)‎ ‎10．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．‎ 解析　由得 ‎∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，‎ 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.‎ 答案　－9‎ ‎11．(2017·沈阳检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ 解析　显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；‎ 设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋4－3k＝0，‎ 由已知，得＝，‎ ‎∴k＝2或k＝－.‎ ‎∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.‎ 答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ ‎12．(2016·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．‎ 解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b ‎)，则反射光线所在直线过点M′，‎ 所以解得a＝1，b＝0.‎ 又反射光线经过点N(2,6)，‎ 所以所求直线的方程为＝，‎ 即6x－y－6＝0.‎ 答案　6x－y－6＝0‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)‎ A. B. C．5 D．10‎ 解析　由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，‎ ‎∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，‎ ‎∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.‎ 答案　D ‎14.如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2 B．6‎ C．3 D．2 解析　易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离．‎ 于是|A1A2|＝＝2.‎ 答案　A ‎15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ 解析　易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，‎ 即△APB为直角三角形，‎ ‎∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5.‎ 当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立．‎ 答案　5‎ ‎16．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ 解析　设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．∵kAC＝＝2，‎ ‎∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即2x－y＝0.①‎ 又∵kBD＝＝－1，‎ ‎∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，‎ 即x＋y－6＝0.②‎ 由①②得解得所以M(2,4)．‎ 答案　(2,4)‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎