2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-2同角三角函数基本关系及诱导公式 17页

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 2.各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 图示 与角 α 终边的关系 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 角 π－α π 2－α π 2＋α 图示 与角 α 终边的关系 关于 y 轴对称 关于直线 y＝x 对称 3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2－α π 2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看 象限 【知识拓展】 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (2)若 α∈R，则 tan α＝sin α cos α恒成立.(　×　) (3)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角.(　×　) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数 倍，变与不变指函数名称的变化.(　√　) 1.(2015·福建改编)若 sin α＝－ 5 13，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值为 . 答案　－ 5 12 解析　∵sin α＝－ 5 13，且 α 为第四象限角，∴cos α＝12 13， ∴tan α＝sin α cos α＝－ 5 12. 2.(教材改编)已知 cos θ＝3 5，且3π 2 ＜θ＜2π，那么 tan θ 的值为 . 答案　－4 3 解析　因为 θ 为第四象限角，所以 tan θ＜0，sin θ＜0， sin θ＝－ 1－cos2θ＝－4 5，所以 tan θ＝sin θ cos θ＝－4 3. 3.(2016·连云港模拟)计算：sin 11 6 π＋cos 10 3 π＝ . 答案　－1 解析　∵sin 11 6 π＝sin(π＋5 6π)＝－sin 5π 6 ＝－1 2， cos 10 3 π＝cos(2π＋4π 3 )＝cos 4π 3 ＝－1 2， ∴sin 11 6 π＋cos 10 3 π＝－1. 4.(教材改编)已知 tan α＝1，则2sin α－cos α sin α＋cos α ＝ . 答案　1 2 解析　原式＝2tan α－1 tan α＋1 ＝2－1 1＋1＝1 2. 5.(教材改编)化简： tan(3π－α) sin(π－α)sin(3π 2 －α) ＋ sin(2π－α)cos(α－7π 2 ) sin(3π 2 ＋α)cos(2π＋α) ＝ . 答案　1 解析　因为 tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin(3π 2 －α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos(α－7π 2 )＝cos(α＋π 2)＝－sin α， sin(3π 2 ＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， 所以原式＝ －tan α sin α(－cos α)＋ －sin α(－sin α) －cos αcos α ＝ 1 cos2α－sin2α cos2α ＝1－sin2α cos2α ＝cos2α cos2α＝1. 题型一　同角三角函数关系式的应用 例 1　(1)已知 sin αcos α＝1 8，且5π 4 <α<3π 2 ，则 cos α－sin α 的值为 . (2)(2016·苏州期末)已知 θ 是第三象限角，且 sin θ－2cos θ＝－2 5，则 sin θ＋cos θ＝ . 答案　(1) 3 2 　(2)－31 25 解析　(1)∵5π 4 ＜α＜3π 2 ， ∴cos α＜0，sin α＜0 且 cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1 8＝3 4， ∴cos α－sin α＝ 3 2 . (2)由Error!得 5cos2θ－8 5cos θ－21 25＝0，解得 cos θ＝3 5或－ 7 25. 因为 θ 是第三象限角，所以 cos θ＝－ 7 25， 从而 sin θ＝－24 25，所以 sin θ＋cos θ＝－31 25. 思维升华　(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用sin α cos α＝tan α 可 以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子， 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α＝ . 答案　－1 解析　由Error! 消去 sin α 得 2cos2α＋2 2cos α＋1＝0， 即( 2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－ 2 2 . 又 α∈(0，π)， ∴α＝3π 4 ， ∴tan α＝tan3π 4 ＝－1. 题型二　诱导公式的应用 例 2　(1)(2016·宿迁模拟)已知 f(x)＝ sin(2π－x)·cos(3 2π＋x) cos(3π－x)·sin(11 2 π－x) ，则 f(－21π 4 )＝ . (2)已知 A＝sin(kπ＋α) sin α ＋cos(kπ＋α) cos α (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 . 答案　(1)－1　(2){2，－2} 解析　(1)f(x)＝ －sin x·sin x －cos x·(－cos x)＝－tan2x， f(－21π 4 )＝－tan2(－21π 4 )＝－tan23 4π＝－1. (2)当 k 为偶数时，A＝sin α sin α＋cos α cos α＝2； 当 k 为奇数时，A＝ －sin α sin α －cos α cos α＝－2. ∴A 的值构成的集合是{2，－2}. 思维升华　(1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍 去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 　(1)化简： tan(π＋α)cos(2π＋α)sin(α－3π 2 ) cos(－α－3π)sin(－3π－α) ＝ . (2)(2016·南京模拟)已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，则 cos(π 2＋α)·sin(－π－α) cos(11π 2 －α)·sin(9π 2 ＋α) 的值为 . 答案　(1)－1　(2)－3 4 解析　(1)原式＝ tan αcos αsin[－2π＋(α＋π 2 )] cos(3π＋α)[－sin(3π＋α)] ＝ tan αcos αsin(π 2＋α) (－cos α)sin α ＝tan αcos αcos α (－cos α)sin α ＝－tan αcos α sin α ＝－sin α cos α·cos α sin α＝－1. (2)原式＝ (－sin α)sin α (－sin α)cos α ＝tan α， 根据三角函数的定义得 tan α＝－3 4. 题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3　(1)已知 α 为锐角，且有 2tan(π－α)－3cos(π 2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0， 则 sin α 的值是 . 答案　3 10 10 解析　2tan(π－α)－3cos(π 2＋β)＋5＝0 化简为 －2tan α＋3sin β＋5＝0， ① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0 化简为 tan α－6sin β－1＝0. ② 由①②消去 sin β，解得 tan α＝3. 又 α 为锐角，根据 sin2α＋cos2α＝1， 解得 sin α＝3 10 10 . (2)已知－π0， ∴cos x>0，sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－7 5. ②sin 2x＋2sin2x 1－tan x ＝2sin x(cos x＋sin x) 1－sin x cos x ＝2sin xcos x(cos x＋sin x) cos x－sin x ＝ －24 25 × 1 5 7 5 ＝－ 24 175. 引申探究 本题(2)中，若将条件“－π0，cos x<0， ∴sin x－cos x>0，又(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝49 25， 故 sin x－cos x＝7 5. 思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 　已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根， 求 sin(α＋3π 2 )sin(3π 2 －α)tan2(2π－α)tan(π－α) cos(π 2－α)cos(π 2＋α) 的值. 解　由于方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 2 和－3 5， 所以 sin α＝－3 5， 再由 sin2α＋cos2α＝1，得 cos α＝± 1－sin2α＝±4 5， 所以 tan α＝±3 4， 所以原式＝ －cos α(－cos α)·tan2α(－tan α) sin α·(－sin α) ＝tan α＝±3 4. 7.分类讨论思想在三角函数中的应用 典例　(1)已知 sin α＝2 5 5 ，则 tan(α＋π)＋ sin(5π 2 ＋α) cos(5π 2 －α) ＝ . (2)已知 k∈Z，化简：sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α] sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α)＝ . 思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方 结果进行讨论. (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论. 解析　(1)∵sin α＝2 5 5 ＞0， ∴α 为第一或第二象限角. tan(α＋π)＋ sin(5π 2 ＋α) cos(5π 2 －α) ＝tan α＋cos α sin α ＝sin α cos α＋cos α sin α＝ 1 sin αcos α. ①当 α 是第一象限角时，cos α＝ 1－sin2 α＝ 5 5 ， 原式＝ 1 sin αcos α＝5 2. ②当 α 是第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－ 5 5 ， 原式＝ 1 sin αcos α＝－5 2. 综合①②知，原式＝5 2或－5 2. (2)当 k＝2n(n∈Z)时， 原式＝sin(2nπ－α)cos[(2n－1)π－α] sin[(2n＋1)π＋α]cos(2nπ＋α) ＝sin(－α)·cos(－π－α) sin(π＋α)·cos α ＝ －sin α(－cos α) －sin α·cos α ＝－1； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1－1)π－α] sin[(2n＋1＋1)π＋α]·cos[(2n＋1)π＋α] ＝sin(π－α)·cos α sin α·cos(π＋α) ＝ sin α·cos α sin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1. 答案　(1)5 2或－5 2　(2)－1 1.(2016·盐城模拟)已知 cos α＝4 5，α∈(0，π)，则 tan α 的值为 . 答案　3 4 解析　∵α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1－cos2α＝ 1－(4 5 )2＝3 5， 由 tan α＝sin α cos α，得 tan α＝3 4. 2.已知 cos α＝1 3，且－π 2＜α＜0， 则cos(－α－π)sin(2π＋α)tan(2π－α) sin(3π 2 －α)cos(π 2＋α) ＝ . 答案　－2 2 解析　原式＝ (－cos α)·sin α·(－tan α) (－cos α)·(－sin α) ＝tan α， ∵cos α＝1 3，－π 2<α<0， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－2 2 3 ， ∴tan α＝sin α cos α＝－2 2. 3.若角 α 的终边落在第三象限，则 cos α 1－sin2α ＋ 2sin α 1－cos2α 的值为 . 答案　－3 解析　由角 α 的终边落在第三象限， 得 sin α＜0，cos α＜0， 故原式＝ cos α |cos α|＋2sin α |sin α|＝ cos α －cos α＋ 2sin α －sin α＝－1－2 ＝－3. 4.若 sin(π－α)＝－2sin(π 2＋α)，则 sin α·cos α 的值为 . 答案　－2 5 解析　由 sin(π－α)＝－2sin( π 2＋α)，可得 sin α＝－2cos α，则 tan α＝－2，sin α·cos α＝ sin α·cos α sin2α＋cos2α＝ tan α 1＋tan2α＝－2 5. 5.已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 017)的值为 . 答案　－3 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β ＝－3. *6.(2016·扬州模拟)若 sin θ，cos θ 是方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两根，则 m 的值为 . 答案　1－ 5 解析　由题意知 sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m2 4 ＝1＋m 2， 解得 m＝1± 5，又 Δ＝4m2－16m≥0， ∴m≤0 或 m≥4，∴m＝1－ 5. 7.已知 α 为钝角，sin(π 4＋α)＝3 4，则 sin(π 4－α)＝ . 答案　－ 7 4 解析　因为 α 为钝角，所以 cos(π 4＋α)＝－ 7 4 ， 所以 sin(π 4－α)＝cos[π 2－(π 4－α)]＝cos(π 4＋α)＝－ 7 4 . 8.(2016·江苏如东高级中学期中)若 sin α＝2cos α，则 sin2α＋2cos2α 的值为 . 答案　6 5 解析　由 sin α＝2cos α，得 tan α＝2， 因此 sin2α＋2cos2α＝sin2α＋2cos2α sin2α＋cos2α ＝tan2α＋2 tan2α＋1＝4＋2 4＋1＝6 5. 9.已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2x－y＝0 上，则 sin(3π 2 ＋θ)＋cos(π－θ) sin(π 2－θ)－sin(π－θ) ＝ . 答案　2 解析　由题意可得 tan θ＝2， 原式＝ －cos θ－cos θ cos θ－sin θ ＝ －2 1－tan θ＝2. 10.(2016·无锡模拟)已知 α 为第二象限角，则 cos α 1＋tan2α＋sin α 1＋ 1 tan2α＝ . 答案　0 解析　原式＝cos α sin2α＋cos2α cos2α ＋sin α sin2α＋cos2α sin2α ＝cos α 1 |cos α|＋sin α 1 |sin α|， 因为 α 是第二象限角，所以 sin α>0，cos α<0， 所以 cos α 1 |cos α|＋sin α 1 |sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于 0. 11.已知 sin(3π＋α)＝2sin(3π 2 ＋α)，求下列各式的值： (1) sin α－4cos α 5sin α＋2cos α； (2)sin2α＋sin 2α. 解　由已知得 sin α＝2cos α. (1)原式＝ 2cos α－4cos α 5 × 2cos α＋2cos α＝－1 6. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ sin2α＋sin2α sin2α＋1 4sin2α ＝8 5. 12.已知在△ABC 中，sin A＋cos A＝1 5. (1)求 sin Acos A 的值； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值. 解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝ 1 25， ∴1＋2sin Acos A＝ 1 25， ∴sin Acos A＝－12 25. (2)∵sin Acos A<0， 又 00， ∴sin A－cos A＝7 5， ∴sin A＝4 5，cos A＝－3 5， 故 tan A＝－4 3. *13.已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根为 sin θ 和 cos θ，θ∈(0,2π). 求：(1) sin2θ sin θ－cos θ＋ cos θ 1－tan θ的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时 θ 的值. 解　(1)原式＝ sin2θ sin θ－cos θ＋ cos θ 1－sin θ cos θ ＝ sin2θ sin θ－cos θ＋ cos2θ cos θ－sin θ ＝sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知 sin θ＋cos θ＝ 3＋1 2 ， 故 sin2θ sin θ－cos θ＋ cos θ 1－tan θ＝ 3＋1 2 . (2)由 sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2， 得 m＝ 3 2 . (3)由Error! 知Error!或Error! 又 θ∈(0,2π)，故 θ＝π 3或 θ＝π 6.