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- 2021-05-13 发布
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第7讲 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
知 识 梳 理
1．双曲线的定义
我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若ac时，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
续表
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线．
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y
轴上的双曲线．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析
由双曲线－＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±x，
又圆的方程为x2＋y2＝4，①
不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝x代入方程①式，
可得点B.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
答案 D
[思想方法]
1．与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t (t≠0)．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．
[易错防范]
1．双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．
2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案 B
2．(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2
－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
答案 C
3．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.
答案 B
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
答案 C
5．(2017·成都诊断)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
解析 由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案 D
二、填空题
6．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
解析 由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案 2
7．(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析
取B为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 2
8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案 2
三、解答题
9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3,0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可得点A的坐标为(a，b)．
设右焦点为F(c,0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案 A
12．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
答案 C
13．(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析
如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，
又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
∴2＜2m＋2＜8.
答案 (2，8)
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A＝P，求△AOB的面积．
解 (1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由A＝P得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，
∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
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