高考全国卷数学理科试卷含答案 10页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎（1）是第四象限角，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）设是实数，且是实数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）已知向量，，则与（　　）‎ A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 ‎（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（5）设，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎（10）的展开式中，常数项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（12）函数的一个单调增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共10题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．‎ ‎（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）‎ ‎（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ．‎ ‎（15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．‎ ‎（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 设锐角三角形的内角的对边分别为，．‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列及期望．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：的导数；‎ ‎（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．‎ ‎（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列中，，，‎ 证明：，．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题：‎ ‎（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C ‎（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题：‎ ‎（13） （14） （15） （16）‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，‎ 由为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ 由为锐角三角形知，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 所以．‎ 由此有，‎ 所以，的取值范围为．‎ ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎（元）．‎ ‎（19）解法一：‎ ‎（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．‎ 因为，所以，‎ 又，故为等腰直角三角形，，‎ 由三垂线定理，得．‎ D B C A S ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，‎ 故，由，，，得 ‎，．‎ 的面积．‎ 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得 ‎，‎ 解得．‎ 设与平面所成角为，则．‎ 所以，直线与平面所成的我为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．‎ 因为，所以．‎ 又，为等腰直角三角形，．‎ D B C A S 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，所以．‎ ‎（Ⅱ）取中点，，‎ 连结，取中点，连结，．‎ ‎，，．‎ ‎，，与平面内两条相交直线，垂直．‎ 所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 所以，直线与平面所成的角为．‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）的导数．‎ 由于，故．‎ ‎（当且仅当时，等号成立）．‎ ‎（Ⅱ）令，则 ‎，‎ ‎（ⅰ）若，当时，，‎ 故在上为增函数，‎ 所以，时，，即．‎ ‎（ⅱ）若，方程的正根为，‎ 此时，若，则，故在该区间为减函数．‎ 所以，时，，即，与题设相矛盾．‎ 综上，满足条件的的取值范围是．‎ ‎（21）证明：‎ ‎（Ⅰ）椭圆的半焦距，‎ 由知点在以线段为直径的圆上，故，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则 ‎，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为，‎ 所以，．‎ 四边形的面积 ‎．‎ 当时，上式取等号．‎ ‎（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．‎ 综上，四边形的面积的最小值为．‎ ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由题设：‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ 即的通项公式为，．‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明．‎ ‎（ⅰ）当时，因，，所以 ‎，结论成立．‎ ‎（ⅱ）假设当时，结论成立，即，‎ 也即．‎ 当时，‎ ‎，‎ 又，‎ 所以　　‎ ‎．‎ 也就是说，当时，结论成立．‎ 根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．‎