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- 2021-05-13 发布
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2018年高考数学导数小题练习集(一)
1.已知f′(x)是函数f(x),(x∈R)的导数,满足f′(x)=﹣f(x),且f(0)=2,设函数g(x)=f(x)﹣lnf3(x)的一个零点为x0,则以下正确的是( )
A.x0∈(﹣4,﹣3) B.x0∈(﹣3,﹣2) C.x0∈(﹣2,﹣1) D.x0∈(﹣1,0)
2.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则 的最小值为( ).
A. B. C. D.
3.函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式(k+1)g(x1)≤kf(x2)(k>0)恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.[1,+∞] B.[2,+∞] C.(0,2) D.(0,1]
4.已知函数f(x)的定义域为R,且x3f(x)+x3f(﹣x)=0,若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,则不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4的解集为( )
A.(﹣2,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
C.(﹣4,4) D.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
5.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2] B. C.[2,+∞) D.
6.已知函数f(x)=ex﹣ln(x+a)(a∈R)有唯一的零点x0,则( )
A.﹣1<x0<﹣ B.﹣<x0<﹣ C.﹣<x0<0 D.0<x0<
7.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+3)为偶函数,f(6)=1,则不等式f(x)>ex的解集为( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
8.已知定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)为其导函数,且f(x)<f′(x)•tanx恒成立,则( )
A. f()>f() B. f()<f()
C. f()>f() D.f(1)<2f()•sin1
9.函数在区间上的最小值( ).
A. B. C. D.
10.已知,则f'(2)=( )
A. B. C.2 D.﹣2
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( )
A.11或18 B.11 C.18 D.17或18
12.已知f(x)=cosx,则f(π)+f′()=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
13.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( )
A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立
C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定
14.函数存在极值点,则实数的取值范围是( ).
A. B. C.或 D.或
15.如果函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤
1恒成立,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
16.函数的定义域为开区间,导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内有极小值点( ).
A. 个 B.个 C.个 D.个
17.已知函数f(x)=x3﹣2x2+ax+3在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.a>﹣4 B.a≥﹣4 C.a>1 D.a≥1
18.若函数f(x)=x3﹣3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣2,2) B.[﹣2,2] C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)
19.若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) B.
C. D.
20.函数y=cos2x的导数是( )
A.﹣sin2x B.sin2x C.﹣2sin2x D.2sin2x
21.设函数,则( )
A. 为 f(x)的极大值点 B.为f(x)的极小值点
C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点
22.已知f(x)为定义域为R的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且f(1)=e,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
23.设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f′(x),如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈D,都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2﹣ax+1),则称函数f(x)具有性质ω(a),给出下列四个函数:
①f(x)=x3﹣x2+x+1; ②f(x)=lnx+;
③f(x)=(x2﹣4x+5)ex; ④f(x)=
其中具有性质ω(2)的函数为( )
A. ①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
24.若,则方程在上恰好有( ).
A.个根 B.个根 C.个根 D.个根
25.设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0的解集( )
A.(﹣2018,﹣2015) B.(﹣∞,﹣2016)
C.(﹣2016,﹣2015) D.(﹣∞,﹣2012)
26.已知函数f(x)的导函数图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则一定成立的是( )
A. f(cosA)<f(cosB) B.f(sinA)<f(cosB)
B. f(sinA)>f(sinB) D.f(sinA)>f(cosB)
C.
27.若f(x)=xex,则f′(1)=( )
A.0 B.e C.2e D.e2
28.设函数f(x)=ex(sinx﹣cosx)(0≤x≤2016π
),则函数f(x)的各极大值之和为( )
A. B.
C. D.
29.设函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式恒成立,则正数k的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C. D.
30.已知f(x)=,若f′(x0)=0,则x0=( )
A.e2 B.e C.1 D.ln2
31.设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,f(0)=1,且3f(x)=f′(x)﹣3,则4f(x)>f′(x)( )
A.(,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞)
32.已知函数g(x)满足g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+,且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g(x0)成立,则m的取值范围为( )
A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,3] C.[1,+∞) D.[0,+∞)
33.函数在处有极值,在的值为( ).
A. B. C. D.
34.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx,对定义域内任意x都有f(x)≥kx﹣2,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,1﹣] B.(﹣∞,﹣] C.[﹣,+∞) D.[1﹣,+∞)
35.若函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)
36.若函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(﹣2),无极小值
B.函数f(x)有极大值f(1),无极小值
C.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)
D.函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(﹣2).
37.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x1+x2=( )
A. B. C. D.
38.设a∈R,若函数y=eax+2x,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a<﹣2 B.a>﹣2 C.a>﹣ D.a<﹣
39.如图,一个正六角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,直到全部露出水面为止,记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( )
A. B. C. D.
40.已知函数f (x)=x3﹣12x+8在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M﹣m的值为( )
A.16 B.12 C.32 D.6
41.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
42.下列求导运算正确的是( )
A.(x)′=1 B.(x2cosx)′=﹣2xsinx
C.(3x)′=3xlog3e D.(log2x)′=
43.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( ).
A. B. C. D.
44.函数的单调增区间是( )
A.(0,e) B.(﹣∞,e) C.(e﹣1,+∞) D.(e,+∞)
45.在R上可导的函数f(x)的图形如图所示,则关于x的不等式x•f′(x)<0的解集为( )
A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
B. (﹣2,﹣1)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
46.若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f(x)的单调递增区间为( )
A.(﹣1,0) B.(﹣1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
47.若f(x)=x3﹣ax2+1在(1,3)内单调递减,则实数a的范围是( )
A.[,+∞) B.(﹣∞,3] C.(3,) D.(0,3)
48.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.f(0)>e2f(4)
49.若函数f(x)=ax3+x在区间[1,+∞)内是减函数,则( )
A.a≤0 B. C.a≥0 D.
50.已知是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
试卷答案
1.D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出f(x)的表达式,得到g(x)的表达式,设h(x)=f(x)﹣g(x),求出h(0)和h(﹣1)的值,从而求出x0的范围.
【解答】解:设f(x)=ke﹣x,
则f(x)满足f′(x)=﹣f(x),
而f(0)=2,∴k=2,
∴f(x)=2e﹣x,
∴g(x)=3lnf(x)=3(﹣x+ln2)=﹣3x+3ln2,
设h(x)=f(x)﹣g(x),
则h(x)=2e﹣x+3x﹣3ln2,
∴h(0)=2﹣3ln2<0,h(﹣1)=2e﹣3﹣3ln2>0,
即在(﹣1,0)上存在零点,
故选:D.
2.C
,.
由可知:,,
故,
故选.
3.A
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】利用基本不等式可求f(x)的最小值,对函数g(x)求导,利用导数研究函数的单调性,进而可求g(x)的最大值,f(x)的最小值,得到关于k的不等式,解出即可.
【解答】解:∵当x>0时,f(x)=e2x+≥2 =2e,
∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x2)有最小值2e,
∵g(x)=,∴g′(x)=,
当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,
当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减,
∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e,
则有x1、x2∈(0,+∞),f(x2)min=2e>g(x1)max=e
∵(k+1)g(x1)≤kf(x2)(k>0),
∴≤恒成立且k>0,≤,
∴k≥1
故选:A.
4.B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】构造函数h(x)=x3f(x)﹣2x,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可.
【解答】解:令h(x)=x3f(x)﹣2x,
则h′(x)=x[3xf(x)+x2f'(x)﹣2],
若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,
则h′(x)≤0在[0,+∞)恒成立,
故h(x)在[0,+∞)递减,
若x3f(x)+x3f(﹣x)=0,
则h(x)=h(﹣x),
则h(x)在R是偶函数,h(x)在(﹣∞,0)递增,
不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4,
即不等式x3f(x)﹣x2<8f(2)﹣4,
即h(x)<h(2),
故|x|>2,解得:x>2或x<﹣2,
故不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),
故选:B.
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查转化思想,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.
5.B
【分析】求出导函数f′(x),由于函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增,可得f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.解出即可.
【解答】解:f′(x)=k﹣,
∵函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增,
∴f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.
∴k≥,
而y=在区间(2,+∞)上单调递减,
∴k≥.
∴k的取值范围是:[,+∞).
故选:B.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题.
6.A
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
【分析】利用函数的零点以及方程的根的关系,通过函数的导数,二次导函数判断函数的单调性,利用函数的零点判定定理,推出结果即可.
【解答】解:函数f(x)=ex﹣ln(x+a)(a∈R),则x>﹣a,
可得f′(x)=ex﹣,f′′(x)=ex+恒大于0,
f′(x)是增函数,令f′(x0)=0,则,有唯一解时,
a=,代入f(x)可得:
f(x0)===,
由于f(x0)是增函数,
f(﹣1)≈﹣0.63,f()≈0.11
所以f(x0)=0时,﹣1.
故选:A.
7.A
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】令g(x)=
,利用导数和已知即可得出其单调性.再利用函数的对称性和已知可得g(0)=1,从而求得不等式f(x)>ex的解集.
【解答】解:设g(x)=,则g′(x)=.
∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0.∴函数g(x)是R上的减函数,
∵函数f(x+3)是偶函数,
∴函数f(﹣x+3)=f(x+3),∴函数关于x=3对称,∴f(0)=f(6)=1,
原不等式等价为g(x)>1,∴不等式f(x)<ex等价g(x)>1,即g(x)>g(0),
∵g(x)在R上单调递减,∴x<0.
∴不等式f(x)>ex的解集为(﹣∞,0).
故选:A
8.B
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】把给出的等式变形得到f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数g(x)=,由其导函数的符号得到其在(0,)上为增函数,则g()<g()<g(1)<g(),整理后即可得到答案.
【解答】解:解:因为x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0,
由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx,
即f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0.
令g(x)=,x∈(0,),则g′(x)=>0.
所以函数g(x)=在x∈(0,)上为增函数,
则g()<g()<g(1)<g(),即
,
对照选项,A.应为>,C.应为<f(),
D.应为f(1)2f()sin1,B正确.
故选B.
9.C
,
令,解得或.
再,解得,
所以,分别是函数的极大值点和极小值点,
所以,,
,,
所以最小值为,
故选.
10.A
【考点】导数的运算.
【分析】把给出的函数求导,在其导函数中取x=2,则f′(2)可求.
【解答】解:∵f′(x)=﹣+3f′(2),
∴f′(2)=﹣+3f′(2),
解得:f′(2)=,
故选:A.
11.C
【考点】函数在某点取得极值的条件.
【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0,又因为f(1)=10,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案.
【解答】解:f′(x)=3x2+2ax+b,
∴或
①当时,f′(x)=3(x﹣1)2≥0,∴在x=1处不存在极值;
②当时,f′(x)=3x2+8x﹣11=(3x+11)(x﹣1)
∴x∈(,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,符合题意.
∴,∴f(2)=8+16﹣22+16=18.
故选C.
12.D
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算法则,求导,然后导入值计算即可
【解答】解:f(x)=cosx,则f′(x)=﹣,
∴f(π)+f′()=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣,
故选:D
【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题
13.B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最大值小于0,从而证出结论
【解答】解:设g(x)=
∴g′(x)=,
∵对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立,
当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)递减
当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)递增,
∴g(x)<g(0)=0,
∴<0恒成立
∴f(x)<0恒成立,
故选:B
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.
14.C
∵,
恒有解,
∴,
,
,
∴或,
当时,(舍去),
∴或,
故选.
15.A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】由题意函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1恒成立,必有函数满足其最大值与最小值的差小于等于1,由此不等式解出参数a的范围即可,故可先求出函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值的差,得到关于a的不等式,解出a的值
【解答】解:由题意f′(x)=x2﹣a2
当a2≥1时,在x∈[0,1],恒有导数为负,即函数在[0,1]上是减函数,故最大值为f(0)=0,最小值为f(1)=﹣a2,故有,解得|a|≤,故可得﹣≤a≤
当a2∈[0,1],由导数知函数在[0,a]上增,在[a,1]上减,故最大值为f(a)=又f(0)=0,矛盾,a∈[0,1]不成立,
故选A.
16.A
设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为,,,,
其中,
则由导函数的图像可得:
当时,,
时,且,
所以是函数的极大值点;
当时,,
时,且,
所以是函数的极小值点,
当或时,,
故不是函数的极值点;
当时,,
而当时,,且,
所以是函数的极大值点,
综上可知:在内有个极小值点,
故选.
17.D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出导函数f'(x)=3x2﹣4x+a,在区间内大于或等于零,根据二次函数的性质可知,导函数在区间内递增,故只需f'(1)≥0即可.
【解答】解:f(x)=x3﹣2x2+ax+3,
∴f'(x)=3x2﹣4x+a,
∵在[1,2]上单调递增,
∴f'(x)=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零,
∵二次函数的对称轴x=,
∴函数在区间内递增,
∴f'(1)≥0,
∴﹣1+a≥0,
∴a≥1,
故选D.
18.A
【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】由函数f(x)=x3﹣3x+a求导,求出函数的单调区间和极值,从而知道函数图象的变化趋势,要使函数f(x)=x3﹣3x+a有3个不同的零点,寻求实数a满足的条件,从而求得实数a的取值范围.
【解答】解∵f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1),
当x<﹣1时,f′(x)>0;
当﹣1<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0,
∴当x=﹣1时f(x)有极大值.
当x=1时,
f(x)有极小值,要使f(x)有3个不同的零点.
只需,解得﹣2<a<2.
故选A.
【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值,函数图象的变化趋势,体现了数形结合和运动的思想方法,属中档题.
19.D
【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.
【解答】解:由3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0得3x+2a(y﹣2ex)ln=0,
即3+2a(﹣2e)ln=0,
即设t=,则t>0,
则条件等价为3+2a(t﹣2e)lnt=0,
即(t﹣2e)lnt=﹣有解,
设g(t)=(t﹣2e)lnt,
g′(t)=lnt+1﹣为增函数,
∵g′(e)=lne+1﹣=1+1﹣2=0,
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值为:g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e,
即g(t)≥g(e)=﹣e,
若(t﹣2e)lnt=﹣有解,
则﹣≥﹣e,即≤e,
则a<0或a≥,
故选:D.
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,根据函数与方程的关系,转化为两个函数相交问题,利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键.综合性较强.
20.C
【考点】63:导数的运算.
【分析】根据题意,令t=2x,则y=cost,利用复合函数的导数计算法则计算可得答案.
【解答】解:根据题意,令t=2x,则y=cost,
其导数y′=(2x)′(cost)′=﹣2sin2x;
故选:C.
21.D
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值点即可.
【解答】解:f′(x)=﹣+=,(x>0),
令f′(x)>0,解得:x>2,
令f′(x)<0,解得:0<x<2,
故f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,
故x=2是函数的极小值点,
故选:D.
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道基础题.
22.
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】根据题意,令g(x)=
,结合题意对其求导分析可得g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,又由f(1)=e,可得g(e)==1,而不等式f(x)<ex可以转化为g(x)<g(1),结合函数g(x)的单调性分析可得答案.
【解答】解:根据题意,令g(x)=,其导数g′(x)==,
又由,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则有g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,
若f(1)=e,则g(e)==1,
f(x)<ex⇒<1⇒g(x)<g(1),
又由函数g(x)在R上为增函数,
则有x<1,即不等式f(x)<ex的解集为(﹣∞,1);
故选:A.
23.A
【考点】指数型复合函数的性质及应用.
【分析】因为a=2,所以先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后将其配凑成f′(x)=h(x)(x2﹣2x+1)这种形式,分别求出h(x),然后确定h(x)是否满足对任意的x∈D都有h(x)>0.
【解答】解:①f'(x)=x2﹣2x+1,若f′(x)=h(x)(x2﹣2x+1),即x2﹣2x+1=h(x)(x2﹣2x+1),
所以h(x)=1>0,满足条件,所以①具有性质ω(2).
②函数f(x)=lnx++的定义域为(0,+∞).f′(x)=﹣==•(x2﹣2x+1),
所以h(x)=,当x∈(0,+∞)时,h(x)>0,所以②具有性质ω(2).
③f'(x)=(2x﹣4)ex+(x2﹣4x+5)ex=(x2﹣2x+1)ex,所以h(x)=ex,因为h(x)>0,所以③具有性质ω(2).
④f′(x)==,若f′(x)=•(x2﹣2x+1),
则h(x)=,因为h(1)不存在,所以不满足对任意的x∈D都有h(x)>0,所以④不具有性质ω(2),
故选:A.
24.B
令,
则,
∴,故当时,,
即在上为减函数,
又∵,,
故函数在上有且只有一零点,
即方程在上恰好有个根,
故选.
25.A
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
【分析】根据条件,构造函数g(x)=x3f(x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(﹣∞,0)上为增函数,然后将所求不等式转化为对应函数值的关系,根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可.
【解答】解:构造函数g(x)=x3f(x),g′(x)=x2(3f(x)+xf′(x));
∵3f(x)+xf′(x)>0,x2>0;
∴g′(x)>0;
∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增;
g(x+2015)=(x+2015)3f(x+2015),g(﹣3)=﹣27f(﹣3);
∴由不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0得:
(x+2015)3f(x+2015)>﹣27f(﹣3);
∴g(x+2015)>g(﹣3);
∴x+2015>﹣3,且x+2015<0;
∴﹣2018<x<﹣2015;
∴原不等式的解集为(﹣2018,﹣2015).
故选A.
26.D
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【分析】根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,
由△ABC为锐角三角形,得A+B,0﹣B<A,再根据正弦函数,f(x)单调性判断.
【解答】解:根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,
∵△ABC为锐角三角形,∴A+B,0﹣B<A,
∴0<sin(﹣B)<sinA<1,0<cosB<sinA<1
f(sinA)>f(sin(﹣B)),
即f(sinA)>f(cosB)
故选;D
【点评】本题考查了导数的运用,三角函数,的单调性,综合性较大,属于中档题.
27.C
【考点】63:导数的运算.
【分析】直接根据基本函数的导数公式和导数的运算法则求解即可.
【解答】解:∵f(x)=xex,
∴f′(x)=ex+xex,
∴f′(1)=2e.
故选:C.
28.D
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先求f′(x)=2exsinx,这样即可得到f(π),f(3π),f(5π),…,f为f(x)的极大值,并且构成以eπ为首项,e2π为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求f(x)的各极大值之和即可.
【解答】解::∵函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),
∴f′(x)=[ex(sinx﹣cosx)]′=ex(sinx﹣cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;
令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);
∴当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,
当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;
∴当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,
此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)﹣cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;
又∵0≤x≤2016π,∴0和2016π都不是极值点,
∴函数f(x)的各极大值之和为:
eπ+e3π+e5π+…+e2015π=,
故选:D.
29.A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】当x>0时,f(x)=e2x+,利用基本不等式可求f(x)的最小值,对函数g(x)求导,利用导数研究函数的单调性,进而可求g(x)的最大值,由恒成立且k>0,则≤,可求k的范围.
【解答】解:∵当x>0时,f(x)=e2x+≥2 =2e,
∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x1)有最小值2e,
∵g(x)=,
∴g′(x)=,
当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,
当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减,
∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e,
则有x1、x2∈(0,+∞),f(x1)min=2e>g(x2)max=e,
∵恒成立且k>0,
∴≤,
∴k≥1,
故选:A.
30.B
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算法则求导,再代值计算即可.
【解答】解:f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=()′=
由f′(x0)=0,得=0,解得x0=e.
故选:B
31.B
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
【分析】容易求出f′(0)=6,结合条件便可得出函数f(x)的解析式,进而求出导函数,代入4f(x)>f′(x),根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程.
【解答】解:根据条件,3f(0)=3=f′(0)﹣3;
∴f′(0)=6;
∴f(x)=2e3x﹣1,f′(x)=6e3x;
∴由4f(x)>f′(x)得:4(2e3x﹣1)>6e3x;
整理得,e3x>2;
∴3x>ln2;
∴x>;
∴原不等式的解集为(,+∞)
故选:B.
32.C
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】分别求出g(0),g′(1),求出g(x)的表达式,求出g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出g(x)的最小值,问题转化为只需2m﹣1≥g(x)min=1即可,求出m的范围即可.
【解答】解:∵g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+,
∴g′(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)+x,
∴g′(1)=g′(1)﹣g(0)+1,解得:g(0)=1,
g(0)=g′(1)e﹣1,解得:g′(1)=e,
∴g(x)=ex﹣x+x2,
∴g′(x)=ex﹣1+x,g″(x)=ex+1>0,
∴g′(x)在R递增,而g′(0)=0,
∴g′(x)<0在(﹣∞,0)恒成立,g′(x)>0在(0,+∞)恒成立,
∴g(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,
∴g(x)min=g(0)=1,
若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g(x0)成立,
只需2m﹣1≥g(x)min=1即可,解得:m≥1,
故选:C.
【点评】本题考查了求函数的表达式问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,转化思想,是一道中档题.
33.D
,
∵在处有极值,
∴时,,
∴,
故选.
34.A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】问题转化为k≤1+﹣对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=1+﹣,根据函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出k的范围即可.
【解答】解:f(x)=x﹣1﹣lnx,若对定义域内任意x都有f(x)≥kx﹣2,
则k≤1+﹣对x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)=1+﹣,则g′(x)=,
令g′(x)>0,解得:x>e2,
令g′(x)<0,解得:0<x<e2,
故g(x)在(0,e2)递减,在(e2,+∞)递增,
故g(x)的最小值是g(e2)=1﹣,
故k≤1﹣,
故选:A.
35.
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,可得:f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解:f′(x)=+2x﹣a,
∵函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,
∴f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x),
g′(x)=2﹣==,
可知:x=时,函数g(x)取得极小值即最小值, =2.
则实数a的取值范围是a≤2.
故选:A.
36.B
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,可得x>1时,f′(x)<0;﹣2<x<1时,f′(x)>0;x<﹣2时,f′(x)>0.即可判断出结论.
【解答】解:函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,
∴x>1时,f′(x)<0;﹣2<x<1时,f′(x)>0;x<﹣2时,f′(x)>0.
∴函数f(x)有极大值f(1),无极小值.
故选:B.
37.A
【考点】导数的运算.
【分析】解:由图象知f(﹣1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d的值,由x1和x2是f′(x)=0的根,使用根与系数的关系得到x1+x2=.
【解答】解:∵f(x)=x3+bx2+cx+d,由图象知,﹣1+b﹣c+d=0,0+0+0+d=0,
8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=﹣1,c=﹣2
∴f′(x)=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2. 由题意有x1和x2是函数f(x)的极值,
故有x1和x2是f′(x)=0的根,∴x1+x2=,
故选:A.
38.A
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】f′(x)=aeax+2=0,当a≥0无解,无极值.当a<0时,x=ln(﹣),由于函数y=eax+2x,x∈R有大于零的极值点,可得a的取值范围.
【解答】解:f′(x)=aeax+3,令f′(x)=0即aeax+2=0,
当a≥0无解,∴无极值.
当a<0时,x=ln(﹣),
当x>ln(﹣),f′(x)>0;x<ln(﹣)时,f′(x)<0.
∴ln(﹣)为极大值点,
∴ln(﹣)>0,解之得a<﹣2,
故选:A.
39.A
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象.
【分析】总面积一直保持增加,则导数值一直为正,但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小,进而得到答案.
【解答】解:总面积一直保持增加,则导数值一直为正,故排除B;
总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小,
故导函数y=S'(t)的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减,
故排除CD,
故选.A
40.C
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】先求导函数,研究出函数在区间[﹣3,3]上的单调性,从而确定出函数最值的位置,求出函数的最值,即可求M﹣m.
【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣12x+8
∴f′(x)=3x2﹣12
令f′(x)>0,解得x>2或x<﹣2;令f′(x)<0,解得﹣2<x<2
故函数在[﹣2,2]上是减函数,在[﹣3,﹣2],[2,3]上是增函数,
所以函数在x=2时取到最小值f(2)=8﹣24+8=﹣8,在x=﹣2时取到最大值f(﹣2)=﹣8+24+8=24
即M=24,m=﹣8
∴M﹣m=32
故选C.
41.B
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3N:奇偶性与单调性的综合.
【分析】构造函数g(x)=(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
【解答】解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=2对称
∴f(4)=f(0)
又∵f(4)=1,∴f(0)=1
设g(x)=(x∈R),则g′(x)==
又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)﹣f(x)<0
∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减
∵f(x)<ex
∴g(x)<1
又∵g(0)==1
∴g(x)<g(0)
∴x>0
故选B.
42.D
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可.
【解答】解:A.(x+)′=1﹣,∴A错误.
B.(x2cosx)′=﹣2xsinx﹣x2sinx,∴B错误.
C.(3x)′=3xln3,∴C错误.
D.(log2x)′=,正确.
故选:D.
43.B
,
令,
则,
故是增函数,
又因为,
故解集为,
故选.
44.A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.
【解答】解:函数的定义域是(0,+∞),
y′=,
令y′>0,解得:0<x<e,
故函数在(0,e)递增,
故选:A.
45.A
【考点】导数的运算;其他不等式的解法.
【分析】讨论x的符号,根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论.
【解答】解:若x=0时,不等式x•f′(x)<0不成立.
若x>0,则不等式x•f′(x)<0等价为f′(x)<0,此时函数单调递减,由图象可知,此时0<x<1.
若x<0,则不等式x•f′(x)<0等价为f′(x)>0,此时函数单调递增,由图象可知,此时x<﹣1.,
故不等式x•f′(x)<0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(0,1).
故选:A.
46.C
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】确定函数的定义域,求出导函数,令导数大于0,即可得到f(x)的单调递增区间.
【解答】解:函数的定义域为(0,+∞)
求导函数可得:f′(x)=2x﹣2﹣,
令f′(x)>0,可得2x﹣2﹣>0,∴x2﹣x﹣2>0,∴x<﹣1或x>2
∵x>0,∴x>2
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞)
故选C.
47.A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由函数f(x)=x3﹣ax2+1在(0,3)内单调递减转化成f'(x)≤0在(0,3)内恒成立,利用参数分离法即可求出a的范围.
【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣ax2+1在(0,3)内单调递减,
∴f'(x)=3x2﹣2ax≤0在(0,3)内恒成立.
即a≥x在(0,3)内恒成立.
∵g(x)=x在(0,3]上的最大值为×3=,
故a≥
∴故选:A.
48.A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】根据题意可设f(x)=,然后代入计算判断即可.
【解答】解:∵f(x)+2f′(x)>0,
可设f(x)=,
∴f(1)=,f(0)=e0=1,
∴f(1)>,
故选:A.
49. B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,问题转化为a≤﹣在[1,+∞)恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【解答】解:若函数f(x)=ax3+x在区间[1,+∞)内是减函数,
则f′(x)=3ax2+1≤0在[1,+∞)恒成立,
即a≤﹣在[1,+∞)恒成立,
而y=﹣在[1,+∞)递增,
故x=1时,y的最小值是﹣,
故a≤﹣,
故选:B.
50.B
∵,时,,
∴当时,为增函数,时,为减函数,
∵有奇函数,
∴为偶函数,
∵,
∴.
画出大致图象可得到时.