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  • 2021-05-13 发布

2013新课标全国2卷高考理科数学试题解析与分析

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题。每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合,,则( )‎ ‎(A){0,1,2} (B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,,所以,选A.‎ ‎2、设复数满足则=( ) (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以选A.‎ ‎3、等比数列的前项和为,已知,,则=(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎4、已知,为异面直线,⊥平面,⊥平面,直线满足⊥,⊥,, ,则( )‎ ‎(A) ∥且∥       (B)⊥且⊥ ‎ ‎(C)与相交,且交线垂直于 (D)与相交,且交线平行于 ‎【答案】D ‎5、已知的展开式中的系数是5,则=(  )‎ ‎(A) -4 (B) -3 (C)-2 (D)-1‎ ‎【答案】D ‎6、执行右面的程序框图,如果输入的,那么输出的( ) 【答案】B ‎【解析】第一次循环,;第二次循环,;‎ 第三次循环,,第四次循环,,‎ 依此类推,选B.‎ ‎7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,,,,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体的直观图,以zOx平面为投影面,‎ 则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. ‎ ‎(8)设a=log36,b=log510,c=log714,则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c ‎9、已知>0, 满足约束条件, 若+的最小值是1,则=( ) (A) (B) (C)1 (D)2‎ ‎【答案】B ‎10、已知函数,下列结论中错误的是( )‎ ‎(A), (B)函数的图象是中心对称图形 ‎(C)若是的极小值点,则在区间单调递减 (D)若是的极值点,则 ‎【答案】C ‎【解析】若则有,所以A正确。由得,因为函数的对称中心为(0,0),所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知,若是f(x)的极小值点,则极大值点在的左侧,所以函数在区间(-∞, )单调递减是错误的,D正确。选C.‎ ‎11、设抛物线的焦点为,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )‎ ‎(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 ‎【答案】C ‎12、已知A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线将△ABC分割为面积相等的两部分,则的取值范围是( )【答案】B ‎(A)(0,1) (B) (C) (D)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎(13)已知正方形的边长为,为的中点,则_______。 【答案】‎ ‎【解析】在正方形中,,,所以。‎ ‎(14)从个正整数,…,中任意取出两个不同的数,若其和为的概率是,则=    。 【答案】8‎ ‎【解析】取出的两数之和等于5的概率为,=8。‎ ‎(15)设为第二象限角,若,则    。 【答案】‎ ‎(16)等差数列的前项和为,已知,,则的最小值为   。 【答案】-49‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分) △ABC的内角的对边分别为已知 ‎(Ⅰ)求B; (Ⅱ)若=2,求△ABC的面积的最大值。 ‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查正弦、余弦定理及均值不等式综合应用 ‎(18)如图,直三棱柱中,,分别是,的中点。AB ‎(Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查空间几何基本性质及证明,空间向量的应用。‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎ 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出该产品获利润元,未售出的产品,每亏损元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以(单位:,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。‎ ‎(Ⅰ)将表示为的函数;‎ ‎(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000的概率;‎ ‎(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入的T的数学期望。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查函数、概率、统计、分布列、方差的综合应用。‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 平面直角坐标系中,过椭圆M:右焦点的直线交M于A、B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为。‎ ‎(Ⅰ)求M的方程 ‎(Ⅱ)C、D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查椭圆基本性质,直线与椭圆位置关系,不等式思想的综合应用。‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数。‎ ‎(Ⅰ)设是的极值点,求并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明>0。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查导数求单调性、最值、构建函数与不等式综合应用。‎ 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 ‎ 如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,‎ 且,、、、四点共圆。‎ ‎(Ⅰ)证明:是外接圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)若,求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。 ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】考查圆、三角形性质证明及应用。 ‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4——4;坐标系与参数方程 已知动点都在曲线(为参数)上,对应参数分别为与(),为的中点。‎ ‎(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】考查平面坐标、参数方程、极坐标转化及距离公式、最小值的综合应用。‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲 设均为正数,且,证明:‎ ‎(Ⅰ);(Ⅱ)‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】均值不等式、放缩法在不等式证明中应用。‎