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- 2021-05-13 发布
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2013年湖北省数学高考试题(理)
一.选择题
1.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知全集为,集合,,则( )
A. B.
C. D.
3.在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A. B. C. D.
4.将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知,则双曲线与的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
6.已知点...,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( )
A. B. C. D.
8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )
A. B. C. D.
9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为
A. B. C. D.
10.已知为常数,函数有两个极值点,则( )
A. B.
C. D.
二.填空题
11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示。
(I)直方图中的值为 ;
(II)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为 。
12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 。
否
开始
是
结束
是奇数
是
否
输出
13.设,且满足:,,则 。
14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,…,第个三角形数为。记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
……
可以推测的表达式,由此计算 。
选考题
15.如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为。若,则的值为 。
第15题图
16.在直角坐标系中,椭圆的参数方程为。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与。若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为 。
三.解答题
17.在中,角,,对应的边分别是,,。已知。
(I)求角的大小;
(II)若的面积,,求的值。
18.已知等比数列满足:,。
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由。
19.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点。
(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足。记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:。
第19题图
20.假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。
(I)求的值;(参考数据:若,有,,。)
(II)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,.两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?
21.如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,。记,和的面积分别为和。
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;
(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由。
第21题图
22.设是正整数,为正有理数。
(I)求函数的最小值;
(II)证明:;
(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,。令,求的值。
(参考数据:,,,)
参考答案
一、选择题
1.D解:,。
2.C 解:,,。
3.A 解:“至少有一位学员没有降落在指定范围”即:“甲或乙没有降落在指定范围内”。
4.B解:的图像向左平移个长度单位后变成,所以的最小值是。故选B。
5.D解:双曲线的离心率是,双曲线的离心率是,故选D
6.A解:,,,故选A。
7.C解:令 ,则。汽车刹车的距离是,故选C。
8.C解:C 由柱体和台体的体积公式可知选C
9.B解:三面涂有油漆的有8块,两面涂有油漆的有36块,一面涂有油漆的有54块,没有涂有油漆的有27块,所以。故选B。
10.D解:令得,。
又,。,
11.;70 解:,
12. 5 解:5 程序框图运行过程如表所示:
i
1
2
3
4
5
a
10
5
16
8
4
13. 解:由柯西不等式知,结合已知条件得,从而解得,。
14.1000 解:观察和前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故,
15.8 解:由射影定理知
16. 解:直线的方程是,作出图形借助直线的斜率可得,所以,
17.解:(I)由已知条件得:
,解得,角
(II),由余弦定理得:,
18.解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数。
19.解:
【解析与答案】
(I)直线∥平面PAC,证明如下:
连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.
又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF∥平面ABC.
而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=,所以EF∥.
因为平面PAC,EF平面PAC,所以直线∥平面PAC.
(II)(综合法)如图1,连接BD,由可知交线即为直线BD,且∥AC.
因为AB是的直线,所以AC⊥BC,于是⊥BC.
已知PC⊥平面ABC,而平面ABC,所以PC⊥.
而PC∩BC=C,所以⊥平面PBC.
连接BE,BF,因为BF平面PBC,所以⊥BF.
故∠CBF就是二面角的平面角,即∠CBF=β.
由,作DQ∥CP,且DQ=CP.
连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,
从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.
连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=.
又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF为锐角,
故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即∠BDF=α,
于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得
,,,从而,即.
(II)(向量法)如图2,由,作DQ∥CP,且DQ=CP.
连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(I)可知交线即为直线BD.
以点C为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,则有C(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),Q(),
E(),F(0,0,). 于是,,.
所以,从而.
又取平面ABC的一个法向量为,可得,
设平面BEF的一个法向量为,
所以由,可得,取.
于是,从而.
故,即.
20.解:(I)
(II)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得
,而
作出可行域,得到最优解。
所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小。
21.解:(I),
解得:(舍去小于1的根)
(II)设椭圆,,直线:
同理可得,
又和的的高相等
如果存在非零实数使得,则有,
即:,解得
当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线。
22.证明:(I)
在上单减,在上单增。
(II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
若,则
…………①
,
,故①式成立。
若,显然成立。
…………②
,
,故②式成立。
综上可得原不等式成立。
(III)由(II)可知:当时,
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