2015高考数学（理）（第五章 解三角形与平面向量）一轮过关测试题 7页

第五章　章末检测 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则 (　　)‎ A.＋＋＝0‎ B.－＋＝0‎ C.＋－＝0‎ D.－－＝0‎ ‎2．(2011·金华月考)已知a＝(cos 40°，sin 40°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，则a·b等于 (　　)‎ A．1 B. C. D. ‎3.已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是 (　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 ‎4．(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是 (　　)‎ A．若a与b共线，则a⊙b＝0‎ B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)‎ D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2‎ ‎5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 (　　)‎ A．6 B．‎2 ‎ C．2 D．2 ‎6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(‎8a－b)·c＝30，则x等于(　　)‎ A．6 B．‎5 ‎ C．4 D．3‎ ‎7.（2010·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于 (　　)‎ A. B. C. D. ‎8.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的 (　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎9．已知a＝(sin θ，)，b＝(1，)，其中θ∈，则一定有 (　　)‎ A．a∥b B．a⊥b C．a与b的夹角为45° D．|a|＝|b|‎ ‎10．(2010·湖南师大附中月考)若|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为(　　)‎ A．45° B．60° C．120° D．135°‎ ‎11．(2011·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值(　　)‎ A．1 B. C．3 D．9‎ ‎12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)‎ A. B. C. D. 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答　案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.‎ ‎14．(2010·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．‎ ‎15.（2010·天津）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.‎ ‎16.（2011·济南模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎（2）设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎18．(12分)已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cos α，3sin α)．‎ ‎（1）若α∈,且||＝||，求角α的大小；‎ ‎（2）若⊥，求的值．‎ ‎19．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(‎2c＋b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．‎ ‎20（12分）已知向量＝，＝，定义函数f(x)＝·.‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.‎ ‎21．(12分)(2011·衡阳月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以 ‎10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ ‎22．(12分)(2010·天津一中高三第四次月考)设A，B，C为△ABC的三个内角，m＝(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)且|m|2－|n|2＝sin Bsin C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求sin B＋sin C的取值范围．‎ ‎2．B　[由数量积的坐标表示知 a·b＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20°‎ ‎＝sin 60°＝.]‎ ‎ ‎ ‎4．B　[∵a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，‎ ‎∴a⊙b≠b⊙a.]‎ ‎5．D　[因为F＝F＋F－2|F1||F2|cos(180°－60°)＝28，所以|F3|＝2.]‎ ‎6．C　[∵(‎8a－b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，‎ ‎∴(‎8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，∴x＝4.]‎ ‎7．C　[S△OAB＝|a||b|sin〈a，b〉‎ ‎＝|a||b| ‎＝|a||b| ‎＝.]‎ ‎9．B　[a·b＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈，‎ ‎∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b＝0，∴a⊥b.]‎ ‎10．A　[由a⊥(a－b)，得a2－a·b＝0，‎ 即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cos θ.‎ 因为|a|＝1，|b|＝，所以cos θ＝，‎ 又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.]‎ ‎11．C　[由a＋b＝(sin x＋1，cos x＋)，‎ 得|a＋b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝≤＝3.]‎ ‎12．D　[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，‎ 又(c＋a)∥b，‎ ‎∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①‎ 又c⊥(a＋b)，‎ ‎∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②‎ 由①②解得x＝－，y＝－.]‎ ‎13. 解析　如图，a＝，b＝，a－b＝－＝，由余弦定理得，|a－b|＝. ‎ ‎14．北偏东30°　a 解析　如图所示，‎ 设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，‎ 则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，‎ 由正弦定理知 ＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，‎ ‎∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°‎ ‎＝a2＋a2－‎2a2·＝‎3a2，‎ ‎∴AC＝a.‎ ‎15. ‎.‎ ‎16. 解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a，‎ 由·＝· ‎ 得：cbcos A＝cacos B.‎ 由正弦定理得：sin Bcos A＝cos Bsin A，‎ 即sin(B－A)＝0，因为－π