备战2014高考数学高频考点归类分析(真题为例)平面向量的概念性质和计算 6页

平面向量的概念、性质和计算 典型例题：‎ 例1. （2012年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【】‎ A． B．C． D． ‎【答案】D。‎ ‎【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴在中，根据勾股定理得。‎ ‎∴由等面积法得，即，得。‎ ‎∴。‎ 又∵点在上，∴。故选D。‎ 例2.（2012年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【】‎ A、 B、C、 D、且 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】充分条件。‎ ‎【解析】若使成立，即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选C。‎ 例3. （2012年天津市理5分）已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则【】‎ ‎（A）　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ） ‎【答案】A。‎ ‎【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。‎ ‎【分析】∵=，=，‎ 又∵，且，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 即，‎ ‎∴，解得。故选A 。‎ 例4.（2012年天津市文5分）在△中，=90°，=1，设点满足，‎ 。若，则=【】‎ ‎（A）（B）（C）（D）2‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。‎ ‎【分析】如图，设，则。‎ 又，。‎ 由得 ，‎ 即。故选B。‎ 例5. （2012年浙江省理5分）设，是两个非零向量【】‎ ‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，则存在实数，使得 ‎ D．若存在实数，使得，则 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平面向量的综合题。‎ ‎【解析】利用排除法可得选项C是正确的：‎ ‎∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，‎ ‎∴选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；‎ 选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正确；‎ 选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|，不正确。‎ 故选C。‎ 例6. （2012年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是【】‎ ‎(A) a∥b (B) a⊥b ‎(C) a=b (D)a+b=ab ‎【答案】B。‎ ‎【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。‎ ‎【解析】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以a⊥b。故选B。‎ 或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两 条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。故选B。‎ 例7.（2012年全国课标卷理5分）已知向量夹角为，且；则 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量运算。‎ ‎【解析】∵，∴。‎ ‎∵向量夹角为，且，∴，解得，。‎ 例8. （2012年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为 ‎ ▲ ；的最大值为 ▲ ‎ ‎【答案】1；1。‎ ‎【考点】平面向量的运算法则。‎ ‎【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得 。‎ ‎∵，正方形ABCD的边长为l，∴。‎ 又∵，‎ 而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。‎ ‎∴的最大值为。‎ 例9. （2012年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算。‎ ‎【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：‎ 如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，‎ AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。‎ 则cos∠BAC＝，‎ ‎∴＝。‎ 例10. （2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎∵，∴，∴。∴。‎ 记之间的夹角为，则。‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎∴ 。‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ 例11.（2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且，则=‎ ‎▲.‎ ‎【答案】18‎ ‎【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。‎ ‎【解析】设，则 = 。‎