2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-4直线、平面平行的判定与性质 26页

‎1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)‎ ‎∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ ‎∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b ‎2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ ‎∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ‎∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b ‎【知识拓展】‎ 重要结论：‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；‎ ‎(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)‎ ‎(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)‎ ‎(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)‎ ‎(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)‎ ‎1．(教材改编)下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 答案　D 解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．‎ ‎2．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 答案　A 解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.‎ ‎3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．‎ 答案　6‎ 解析　各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．‎ ‎4. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．‎ 答案　平行四边形 解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，‎ 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，‎ ‎∴EF∥HG.同理EH∥FG，‎ ‎∴四边形EFGH的形状是平行四边形．‎ 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．‎ ‎ (1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ 证明　‎ ‎(1)连接EC，‎ ‎∵AD∥BC，BC＝AD，‎ ‎∴BC綊AE，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，‎ ‎∴O为AC的中点．‎ 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，‎ FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，‎ ‎∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，‎ ‎∵F，H分别是PC，CD的中点，‎ ‎∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.‎ 又∵O是BE的中点，H是CD的中点，‎ ‎∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.‎ 命题点2　直线与平面平行的性质 例2　(2016·长沙模拟) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，‎ 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，‎ 所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，‎ 同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，‎ 所以PO⊥底面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，‎ 即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.‎ 由已知可得OB＝4，‎ PO＝＝＝6，‎ 所以GK＝3.‎ 故四边形GEFH的面积S＝·GK ‎＝×3＝18.‎ 思维升华　判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．‎ 证明　∵CD∥平面EFGH，‎ 而平面EFGH∩平面BCD＝EF，‎ ‎∵CD∥EF.‎ 同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.‎ 同理HE∥GF，‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形．‎ ‎∴CD∥EF，HE∥AB，‎ ‎∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．‎ 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.‎ ‎∴平行四边形EFGH为矩形．‎ 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎ (1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，‎ ‎∴GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ 证明　‎ 如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B，‎ 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.‎ ‎2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴M是A1C的中点，连接MD，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1，‎ DM⊄平面A1BD1，‎ ‎∴DM∥平面A1BD1.‎ 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形，‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1，‎ 又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，‎ ‎∴平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 思维升华　证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．‎ ‎　(2016·西安模拟) 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.‎ ‎(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．‎ ‎(1)证明　由题设知，BB1綊DD1，‎ ‎∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.‎ 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，‎ ‎∴BD∥平面CD1B1.‎ ‎∵A1D1綊B1C1綊BC，‎ ‎∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.‎ 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，‎ ‎∴A1B∥平面CD1B1.‎ 又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.‎ ‎(2)解　∵A1O⊥平面ABCD，‎ ‎∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．‎ 又AO＝AC＝1，AA1＝，‎ ‎∴A1O＝＝1.‎ 又S△ABD＝××＝1，‎ ‎∴＝S△ABD·A1O＝1.‎ 题型三　平行关系的综合应用 例4　(2016·盐城模拟) 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ 解　方法一　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.‎ 下面给出证明：‎ 如图，取BB1的中点F，连接DF，‎ 则DF∥B1C1，‎ ‎∵AB的中点为E，连接EF，ED，‎ 则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，‎ ‎∴平面DEF∥平面AB1C1.‎ 而DE⊂平面DEF，‎ ‎∴DE∥平面AB1C1.‎ 方法二　假设在棱AB上存在点E，‎ 使得DE∥平面AB1C1，‎ 如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，‎ 又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，‎ ‎∴DF∥平面AB1C1，‎ 又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，‎ ‎∴平面DEF∥平面AB1C1，‎ ‎∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，‎ 又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，‎ ‎∴EF∥AB1，‎ ‎∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．‎ 即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.‎ 思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．‎ ‎　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？‎ 解　∵AB∥平面EFGH，‎ 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.‎ ‎∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，‎ ‎∴截面EFGH是平行四边形．‎ 设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．‎ 又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，‎ ＝，两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，‎ ‎∴S▱EFGH＝FG·GH·sin α ‎＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．‎ ‎∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，‎ ‎∴x(a－x)≤，当且仅当x＝a－x时等号成立．‎ 此时x＝，y＝.‎ 即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．‎ ‎6．立体几何中的探索性问题 典例　(14分) 如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.‎ ‎(1)求四棱锥S－ABCD的体积；‎ ‎(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．‎ 规范解答 解　(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，‎ ‎∴AD＝3. [4分]‎ 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2， [6分]‎ VS－ABCD＝·SA··(BC＋AD)·AB ‎＝×2××(2＋3)×2＝. [8分]‎ ‎(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[10分]‎ 证明如下：‎ 取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，‎ 则EF綊AD，BC綊AD，‎ ‎∴BC綊EF，∴CE∥BF. [12分]‎ 又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，‎ ‎∴CE∥平面SAB. [14分]‎ 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论；‎ 第二步：证明探求结论的正确性；‎ 第三步：给出明确答案；‎ 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎1．(2016·金华模拟)有下列命题：‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　A 解析　命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.‎ ‎2．(2016·余姚模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2‎ 答案　D 解析　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.‎ ‎3．(2017·嘉兴月考)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案　D 解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．‎ ‎4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 答案　B 解析　①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，‎ ‎∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．‎ ‎④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.‎ ‎5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)‎ A．16 B．24或 C．14 D．20‎ 答案　B 解析　由α∥β得AB∥CD.‎ 分两种情况：‎ 若点P在α，β的同侧，则＝，‎ ‎∴PB＝，∴BD＝；‎ 若点P在α，β之间，则＝，‎ ‎∴PB＝16，∴BD＝24.‎ ‎6．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 答案　②③④‎ 解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ ‎7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ ‎①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.‎ 可以填入的条件有________．‎ 答案　①或③‎ 解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．‎ ‎8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 答案　Q为CC1的中点 解析　假设Q为CC1的中点．‎ 因为P为DD1的中点，‎ 所以QB∥PA.‎ 连接DB，因为O是底面ABCD的中心，‎ 所以D1B∥PO，‎ 又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，且PA∩PO于P，‎ 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，‎ 又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.‎ 故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．‎ 答案　平面ABD与平面ABC 解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE.‎ 则EM∶MA＝1∶2，‎ EN∶BN＝1∶2，‎ 所以MN∥AB.‎ 所以MN∥平面ABD，‎ MN∥平面ABC.‎ ‎*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．‎ 答案　 解析　如图，取AC的中点G，‎ 连接SG，BG.‎ 易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，‎ 故AC⊥平面SGB，‎ 所以AC⊥SB.‎ 因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，‎ 则SB∥HD.‎ 同理SB∥FE.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ 则H，F也为AS，SC的中点，‎ 从而得HF綊AC綊DE，‎ 所以四边形DEFH为平行四边形．‎ 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，‎ 所以DE⊥HD，‎ 所以四边形DEFH为矩形，‎ 其面积S＝HF·HD＝(AC)·(SB)＝.‎ ‎11. 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：‎ ‎(1)EG∥平面BB1D1D；‎ ‎(2)平面BDF∥平面B1D1H.‎ 证明　(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，‎ 易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，‎ 由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.‎ ‎(2)由题意可知BD∥B1D1.‎ 如图，连接HB、D1F，‎ 易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.‎ 又B1D1∩HD1＝D1，‎ BD∩BF＝B，‎ 所以平面BDF∥平面B1D1H.‎ ‎12．(2017·贵州兴义八中月考) 在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD.‎ ‎(1)在AF上是否存在点G，使得EG∥平面ABCD，请证明你的结论；‎ ‎(2)求该多面体的体积．‎ 解　(1) 当点G位于AF中点时，有EG∥平面ABCD.‎ 证明如下：取AF的中点G，AD的中点H，连接GH，GE，BH.‎ 在△ADF中，HG为中位线，‎ 故HG∥DF且HG＝DF.‎ 因为BE∥DF且BE＝DF，‎ 所以BE綊GH，即四边形BEGH为平行四边形，‎ 所以EG∥BH.‎ 因为BH⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，‎ 所以E G∥平面ABCD.‎ ‎(2) 连接AC，BD.‎ 因为DF⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，‎ 所以AC⊥平面BDFE.‎ 所以该多面体可分割成两个以平面BDFE为底面的等体积的四棱锥．‎ 即VABCDEF＝VA－BDFE＋VC－BDFE＝2VA－BDFE ‎＝2×××a×a ‎＝a3.‎ ‎*13.(2016·南通模拟) 如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．‎ ‎ (1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ 解　(1) 如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.‎ 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，‎ ‎∴点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，‎ ‎∴OD1∥BC1.‎ 又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，‎ ‎∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，‎ 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，‎ 得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，‎ ‎∴＝，＝，‎ 又∵＝1，∴＝1，即＝1.‎