高考考点之不等式 20页

  • 1.44 MB
  • 2021-05-13 发布

高考考点之不等式

  • 20页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
教师姓名 学生姓名 填写时间 年级 学科 数学 上课时间 阶段 基础() 提高()强化( )‎ 课时计划 第()次课 共( )次课 教学目标 (1) 基本不等式;‎ (2) 二元一次不等式表示的平面区域;‎ (3) 不等式的运算。‎ 重难点 ‎(1)基本不等式的运用;‎ ‎(2)不等式表示的平面区域;‎ ‎ ‎ 课后作业:‎ 教师评语 及建议:‎ 科组长签字:‎ 考点 不等式 不等式的基本概念 ‎1. 基本不等式 ‎1.(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)‎ ‎2. (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)‎ ‎(3)若,则 (当且仅当时取“=”)‎ ‎3.若,则 (当且仅当时取“=”);若,则 (当且仅当时取“=”)‎ 若,则 (当且仅当时取“=”)‎ ‎3.若,则 (当且仅当时取“=”)‎ 若,则 (当且仅当时取“=”)‎ ‎4.若,则(当且仅当时取“=”)‎ 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.‎ ‎(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”‎ ‎(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.‎ ‎2.二元一次不等式表示的平面区域:‎ 二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线).‎ 对于在直线同一侧的所有点,实数的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)‎ ‎2.线性规划:‎ 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.‎ 满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。‎ ‎3.线性规划问题应用题的求解步骤:‎ ‎(1)先设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数;‎ ‎(2)作出相应的图象(注意特殊点与边界)‎ ‎(3)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(小)值;在在求线性目标函数的最大(小)时,直线往右(左)平移则值随之增大(小),这样就可以在可行域中确定最优解。‎ ‎2009-2013年广东省文科数学 函数概念与性质高考题研究与分析 ‎ 不等式 ‎2009-20.(本小题满分14分)‎ 已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足-=+(n2).‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)若数列{前n项和为,问>的最小正整数n是多少?‎ ‎2010-8.“>0”是“>0”成立的 ( )‎ ‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C.非充分非必要条件 D.充要条件 ‎2010-21.(本小题满分14分)w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).‎ ‎(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;‎ ‎(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求点的坐标;w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2)中条件的点的坐标,‎ 证明:‎ ‎2011-5.不等式的解集是 A. B. C. D.‎ ‎2011-20.(本小题满分14分)‎ 设,数列满足,≥.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:对于一切正整数,≤.‎ ‎2012-5.已知变量满足约束条件则的最小值为 A. B. C. D ‎2013-13.已知变量满足约束条件,则的最大值是 .‎ ‎2013-19.(本小题满分14分)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ 考题研究与分析 第一,纵观广东省近几年文科数学对不等式的考查,可以清楚地了解到:(1)分值约为7—12分;(2)题型以一道小题和一道大题为主。‎ 第二,考查的知识内容:‎ ‎(1)小题考查知识点:解不等式,或者是在不等式表示的区域的最值问题。(2)大题考查知识点:结合数列,证明与数列的前n项和相关的不等式问题。‎ 解题技巧:‎ 解题技巧:‎ ‎(1)小题:根据不等式的运算法则,进行运算。若是不等式的平面区域,就画图像结合题目解题。‎ ‎(2)大题:例1 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ 解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎,即,∴‎ 本题的第一问比较容易入手,我们还可以从几何图形入手,通过相似比直接求出的通项公式 ‎,这里不多赘述。该题的第2问中的不等式可以化简为:‎ ‎ ‎ 证明该不等式可以用到以下几种方法 一、 放缩法 对于左边第一个不等式的证明有2个思路:‎ 1、 从右边入手(化简为繁)‎ ‎ ∴‎ ‎∴‎ 2、 从左边入手(化繁为简)‎ ‎ 显然成立 故 即 二、 数学归纳法:‎ 对上述不等式的证明,多数考生采用了数学归纳法 ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边 所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由①、②可得不等式恒成立。‎ 从以上不等式的证明来看,对不等式的一边进行适当的放缩是证明不等式的重要手段,其实数学归纳法里面也用了放缩的技巧。但是,不是随便放缩就能证明不等式,有些不等式的放缩要恰到好处,否则就不能达到目的。‎ 专题练习:‎ ‎1、已知,,且、不为,那么下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2、下列命题中正确的是( )‎ A.若,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎3、下列命题中正确命题的个数是( )‎ ①若,则;②,,,则;‎ ③若,则;④若,则.‎ A. B. C. D.‎ ‎4、如果,,则下列不等式中正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5、下列各式中,对任何实数都成立的一个式子是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6、若、是任意实数,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7、如果,且,那么,,,的大小关系是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8、若,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9、给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是( )‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④ ‎ ‎10.不等式表示的平面区域是 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.满足不等式的点的集合(用阴影表示)是 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若函数的图象与x轴有两个交点,则点在平面上的区域(不含边界)为 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎13.不等式组表示的平面区域是 A.一个正三角形及其几个内部 B.一个等腰三角形及其内部 C.在第一象限内的一个无界区域 D.不包含第一象限的一个有界区域 ‎14.如果实数满足条件,那么的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎15.已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,则z=x-y的取值范围是    ‎ A.[-2,-1]   B.[-2,1]  C.[-1,2] D.[1,2]‎ ‎16.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 A. B. C. D.‎ ‎17.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是 ‎ A.4 B.‎4 C.2 D.2‎ ‎ ‎ ‎18.在约束条件下,当时,‎ 目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D. ‎ ‎19. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎20.点到直线的距离为,且在表示的区域内,则_____ ‎ ‎21.不等式组表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。‎ ‎22.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 ___ 元.‎ ‎23.设变量、满足约束条件,则目标函数 的最小值为_______‎ ‎24.已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于_______,最大值等于____________.‎ 解答题:‎ ‎1. 已知数列满足.‎ ‎(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;‎ ‎(2)若,求证:对任意都成立;‎ ‎(3)若,求证:对任意都成立.‎ 解 (1)由得:‎ 即,求得 ‎(2)由知,‎ 两边同除以,得 ‎(3)‎ ‎ ‎ ‎,将代入,得; ㈠ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而,‎ ‎ ㈡ ‎ ‎ 由㈠㈡知,命题成立.‎ ‎2. 设数列的前项和为,。‎ ‎(1)求证:数列为等差数列,并分别求出、的表达式;‎ ‎(2)设数列的前n项和为,求证:;‎ ‎(3)是否存在自然数n,使得?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由。‎ 又易知单调递增,故,得 ‎(3)由得 ‎=……13分 由,得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005. ‎ ‎3. 已知数列中,,当时,其前项和满足,‎ ① 求的表达式及的值;‎ ② 求数列的通项公式;‎ ③ 设,求证:当且时,。‎ 解:(1)‎ 所以是等差数列。则。‎ ‎。‎ ‎(2)当时,,‎ 综上,。‎ ‎(3)令,当时,有 ‎ 等价于求证。‎ 当时,令 ‎,‎ 则在递增。‎ 又,‎ 所以即 ‎4. 数列:满足 ‎(Ⅰ) 设,求证是等比数列;‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅲ)设,数列的前项和为,求证: ‎ 解:(Ⅰ)由得    ‎ ‎,即 ,‎ ‎ 是以2为公比的等比数列      ‎ ‎ (Ⅱ) 又          ‎ 即 ,   ‎ ‎         故        ‎ ‎(Ⅲ)   ‎ 又 ‎5. 已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*),若数列是等比数列.‎ ‎ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)求证:当k为奇数时,;‎ ‎ (Ⅲ)求证:‎ ‎ ‎ 得=2或=-3 ‎ 当=2时,可得为首项是 ,公比为3的等比数列,‎ 则 ①‎ 当=-3时,为首项是,公比为-2的等比数列,‎ ‎∴ ②‎ ‎①-②得, ‎ ‎(注:也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式)‎ ‎(Ⅱ)当k为奇数时,‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知k为奇数时, ‎ ‎①当n为偶数时, ‎ ‎②当n为奇数时,‎ ‎= ‎ ‎6.已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,·.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)若对一切都有,求的取值范围.‎ 解:(1) ,∴‎ 当时,.‎ 当≥2时,=,∴ ‎ 此时··=·,‎ ‎∴……=……+‎ 设……+,‎ ‎∴……,‎ ‎∴‎ ‎∴·  ……6分 ‎(2)由可得 ‎①当时,由,可得 ‎ ∴对一切都成立,‎ ‎∴此时的解为. ‎ ‎②当时,由 可得 ‎≥∴对一切都成立,‎ ‎∴此时的解为.‎ 由①,②可知 对一切,都有的的取值范围是或. ‎ ‎7. 已知等比数列的前项和为 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足,为数列 的前项和,试比较 与 的大小,并证明你的结论.‎ 解:(Ⅰ)由得:时,‎ 是等比数列,,得 ‎ ‎(Ⅱ)由和得 ‎……10分 当或时有,所以当时有 那么同理可得:当时有,所以当 时有 综上:当时有;当时有 ‎8.已知数列满足 ‎(1)求;‎ ‎(2)已知存在实数,使为公差为的等差数列,求的值;‎ ‎(3)记,数列的前项和为,求证:.‎ 解:(1),由数列的递推公式得 ‎,,‎ ‎(2)‎ ‎=‎ ‎==‎ 数列为公差是的等差数列.‎ 由题意,令,得 ‎(3)由(2)知,‎ 所以 此时=‎ ‎=,‎ ‎ =‎ ‎>‎