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- 2021-05-13 发布
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教师姓名
学生姓名
填写时间
年级
学科
数学
上课时间
阶段
基础() 提高()强化( )
课时计划
第()次课
共( )次课
教学目标
(1) 基本不等式;
(2) 二元一次不等式表示的平面区域;
(3) 不等式的运算。
重难点
(1)基本不等式的运用;
(2)不等式表示的平面区域;
课后作业:
教师评语
及建议:
科组长签字:
考点 不等式
不等式的基本概念
1. 基本不等式
1.(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
2. (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
(3)若,则 (当且仅当时取“=”)
3.若,则 (当且仅当时取“=”);若,则 (当且仅当时取“=”)
若,则 (当且仅当时取“=”)
3.若,则 (当且仅当时取“=”)
若,则 (当且仅当时取“=”)
4.若,则(当且仅当时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
2.二元一次不等式表示的平面区域:
二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线
某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线).
对于在直线同一侧的所有点,实数的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
2.线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。
3.线性规划问题应用题的求解步骤:
(1)先设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数;
(2)作出相应的图象(注意特殊点与边界)
(3)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(小)值;在在求线性目标函数的最大(小)时,直线往右(左)平移则值随之增大(小),这样就可以在可行域中确定最优解。
2009-2013年广东省文科数学
函数概念与性质高考题研究与分析
不等式
2009-20.(本小题满分14分)
已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足-=+(n2).
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列{前n项和为,问>的最小正整数n是多少?
2010-8.“>0”是“>0”成立的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
C.非充分非必要条件 D.充要条件
2010-21.(本小题满分14分)w_w w. k#s5_u.c o*m
已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).
(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;
(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求点的坐标;w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2)中条件的点的坐标,
证明:
2011-5.不等式的解集是
A. B. C. D.
2011-20.(本小题满分14分)
设,数列满足,≥.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数,≤.
2012-5.已知变量满足约束条件则的最小值为
A. B. C. D
2013-13.已知变量满足约束条件,则的最大值是 .
2013-19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
考题研究与分析
第一,纵观广东省近几年文科数学对不等式的考查,可以清楚地了解到:(1)分值约为7—12分;(2)题型以一道小题和一道大题为主。
第二,考查的知识内容:
(1)小题考查知识点:解不等式,或者是在不等式表示的区域的最值问题。(2)大题考查知识点:结合数列,证明与数列的前n项和相关的不等式问题。
解题技巧:
解题技巧:
(1)小题:根据不等式的运算法则,进行运算。若是不等式的平面区域,就画图像结合题目解题。
(2)大题:例1 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,即,∴
本题的第一问比较容易入手,我们还可以从几何图形入手,通过相似比直接求出的通项公式
,这里不多赘述。该题的第2问中的不等式可以化简为:
证明该不等式可以用到以下几种方法
一、 放缩法
对于左边第一个不等式的证明有2个思路:
1、 从右边入手(化简为繁)
∴
∴
2、 从左边入手(化繁为简)
显然成立
故 即
二、 数学归纳法:
对上述不等式的证明,多数考生采用了数学归纳法
① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②
假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边
所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由①、②可得不等式恒成立。
从以上不等式的证明来看,对不等式的一边进行适当的放缩是证明不等式的重要手段,其实数学归纳法里面也用了放缩的技巧。但是,不是随便放缩就能证明不等式,有些不等式的放缩要恰到好处,否则就不能达到目的。
专题练习:
1、已知,,且、不为,那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
2、下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
3、下列命题中正确命题的个数是( )
①若,则;②,,,则;
③若,则;④若,则.
A. B. C. D.
4、如果,,则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
5、下列各式中,对任何实数都成立的一个式子是( )
A. B. C. D.
6、若、是任意实数,且,则( )
A. B. C. D.
7、如果,且,那么,,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8、若,,则( )
A. B. C. D.
9、给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
10.不等式表示的平面区域是
A. B. C. D.
11.满足不等式的点的集合(用阴影表示)是
A. B. C. D.
12.若函数的图象与x轴有两个交点,则点在平面上的区域(不含边界)为
A. B. C. D.
13.不等式组表示的平面区域是
A.一个正三角形及其几个内部 B.一个等腰三角形及其内部
C.在第一象限内的一个无界区域 D.不包含第一象限的一个有界区域
14.如果实数满足条件,那么的最大值为
A. B. C. D.
15.已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,则z=x-y的取值范围是
A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]
16.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
A. B. C. D.
17.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是
A.4 B.4 C.2 D.2
18.在约束条件下,当时,
目标函数的最大值的变化范围是
A. B. C. D.
19. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则
A. B. C. D. 4
20.点到直线的距离为,且在表示的区域内,则_____
21.不等式组表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。
22.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 ___ 元.
23.设变量、满足约束条件,则目标函数
的最小值为_______
24.已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于_______,最大值等于____________.
解答题:
1. 已知数列满足.
(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;
(2)若,求证:对任意都成立;
(3)若,求证:对任意都成立.
解 (1)由得:
即,求得
(2)由知,
两边同除以,得
(3)
,将代入,得; ㈠
而,
㈡
由㈠㈡知,命题成立.
2. 设数列的前项和为,。
(1)求证:数列为等差数列,并分别求出、的表达式;
(2)设数列的前n项和为,求证:;
(3)是否存在自然数n,使得?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由。
又易知单调递增,故,得
(3)由得
=……13分
由,得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.
3. 已知数列中,,当时,其前项和满足,
① 求的表达式及的值;
② 求数列的通项公式;
③ 设,求证:当且时,。
解:(1)
所以是等差数列。则。
。
(2)当时,,
综上,。
(3)令,当时,有
等价于求证。
当时,令
,
则在递增。
又,
所以即
4. 数列:满足
(Ⅰ) 设,求证是等比数列;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ)设,数列的前项和为,求证:
解:(Ⅰ)由得
,即 ,
是以2为公比的等比数列
(Ⅱ) 又
即 ,
故
(Ⅲ)
又
5. 已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*),若数列是等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:当k为奇数时,;
(Ⅲ)求证:
得=2或=-3
当=2时,可得为首项是 ,公比为3的等比数列,
则 ①
当=-3时,为首项是,公比为-2的等比数列,
∴ ②
①-②得,
(注:也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式)
(Ⅱ)当k为奇数时,
∴
(Ⅲ)由(Ⅱ)知k为奇数时,
①当n为偶数时,
②当n为奇数时,
=
6.已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,·.
(1)求数列的前项和;
(2)若对一切都有,求的取值范围.
解:(1) ,∴
当时,.
当≥2时,=,∴
此时··=·,
∴……=……+
设……+,
∴……,
∴
∴· ……6分
(2)由可得
①当时,由,可得
∴对一切都成立,
∴此时的解为.
②当时,由 可得
≥∴对一切都成立,
∴此时的解为.
由①,②可知
对一切,都有的的取值范围是或.
7. 已知等比数列的前项和为
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,为数列 的前项和,试比较 与 的大小,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)由得:时,
是等比数列,,得
(Ⅱ)由和得
……10分
当或时有,所以当时有
那么同理可得:当时有,所以当
时有
综上:当时有;当时有
8.已知数列满足
(1)求;
(2)已知存在实数,使为公差为的等差数列,求的值;
(3)记,数列的前项和为,求证:.
解:(1),由数列的递推公式得
,,
(2)
=
==
数列为公差是的等差数列.
由题意,令,得
(3)由(2)知,
所以
此时=
=,
=
>