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- 2021-05-13 发布
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2017高考复习---不等式
1.设x,y是正实数,且x+y=1,则的最小值是 .
2.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 .
4.设x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为 .
5.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .
6.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 .
7.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 .
8.若不等式x2﹣ax﹣b<0的解集为{x|2<x<3},则a+b= .
9.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 .
10.若平面区域是一个三角形,则k的取值范围是 .
11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
12.已知a>0,b>0,且满足a+b=3,则的最小值为 .
13.设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 .
14.已知变量x,y满足,则的取值范围是 .
15.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 .
16.已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若z=x+3y的最大值为8,则k= .
17.已知正数x,y满足x+y=xy,则x+y的最小值是 .
18.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于 .
19.若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是 .
20.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为 .
21.已知t>0,则函数的最小值为 .
22.若关于x的不等式(2x﹣1)2<ax2的解集中整数恰好有3个,则实数a的取值范围是 .
23.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是 .
24.已知x,y∈R+,且满足,则xy的最大值为 .
25.若已知不等式2x﹣1>m(x2﹣1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立,则x的取值范围为 .
26.设x,y,z为正实数,满足x﹣2y+3z=0,则的最小值是 .
2017高考复习---不等式
参考答案与试题解析
一.填空题(共26小题)
1.(2016•河北区二模)设x,y是正实数,且x+y=1,则的最小值是 .
【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题,但直接运用基本不等式无从下手,可考虑运用换元思想,把要求最值的分母变为单项式,然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.
【解答】解:设x+2=s,y+1=t,则s+t=x+y+3=4,
所以==.
因为
所以.
故答案为.
【点评】本题考查了基本不等式,考查了换元法和数学转化思想,训练了整体代换技巧,解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式,展开后使问题变得明朗化.
2.(2011•浙江)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
【分析】设t=2x+y,将已知等式用t表示,整理成关于x的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于0,求出t的范围,求出2x+y的最大值.
【解答】解:∵4x2+y2+xy=1
∴(2x+y)2﹣3xy=1
令t=2x+y则y=t﹣2x
∴t2﹣3(t﹣2x)x=1
即6x2﹣3tx+t2﹣1=0
∴△=9t2﹣24(t2﹣1)=﹣15t2+24≥0
解得
∴2x+y的最大值是
故答案为
【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.
3.(2012•江苏)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 9 .
【分析】根据函数的值域求出a与b的关系,然后根据不等式的解集可得f(x)=c的两个根为m,m+6,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可.
【解答】解:∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),
∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即△=a2﹣4b=0则b=
不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),
即为x2+ax+<c解集为(m,m+6),
则x2+ax+﹣c=0的两个根为m,m+6
∴|m+6﹣m|==6
解得c=9
故答案为:9
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,属于中档题.
4.(2016•徐汇区一模)设x、y∈R+且=1,则x+y的最小值为 16 .
【分析】将x、y∈R+且=1,代入x+y=(x+y)•(),展开后应用基本不等式即可.
【解答】解:∵=1,x、y∈R+,
∴x+y=(x+y)•()==10+≥10+2=16(当且仅当,x=4,y=12时取“=”).
故答案为:16.
【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题.
5.(2011•浙江)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .
【分析】利用基本不等式,根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式,求得其范围,则x+y的最大值可得.
【解答】解:∵x2+y2+xy=1
∴(x+y)2=1+xy
∵xy≤
∴(x+y)2﹣1≤,整理求得﹣≤x+y≤
∴x+y的最大值是
故答案为:
【点评】本题主要考查了基本不等式.应熟练掌握如均值不等式,柯西不等式等性质.
6.(2014•浙江)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 [] .
【分析】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点A,B,C的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.
【解答】解:由约束条件作可行域如图,
联立,解得C(1,).
联立,解得B(2,1).
在x﹣y﹣1=0中取y=0得A(1,0).
要使1≤ax+y≤4恒成立,
则,解得:1.
∴实数a的取值范围是.
解法二:令z=ax+y,
当a>0时,y=﹣ax+z,在B点取得最大值,A点取得最小值,
可得,即1≤a≤;
当a<0时,y=﹣ax+z,在C点取得最大值,
①a<﹣1时,在B点取得最小值,可得,解得0≤a≤(不符合条件,舍去)
②﹣1<a<0时,在A点取得最小值,可得,解得1≤a≤(不符合条件,舍去)
综上所述即:1≤a≤;
故答案为:.
【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法,是中档题.
7.(2011•新课标)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 ﹣6 .
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+,当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,当直线过A点时,z取到最小值,求出两条直线的交点坐标,代入目标函数得到最小值.
【解答】解:在坐标系中画出约束条件的可行域,
得到的图形是一个平行四边形,
目标函数z=x+2y,
变化为y=﹣x+,
当直线沿着y轴向上移动时,z的值随着增大,
当直线过A点时,z取到最小值,
由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A(4,﹣5)
∴z=4+2(﹣5)=﹣6
故答案为:﹣6.
【点评】本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可行域,在可行域中,找出满足条件的点,把点的坐标代入,求出最值.
8.(2016•福建模拟)若不等式x2﹣ax﹣b<0的解集为{x|2<x<3},则a+b= ﹣1 .
【分析】不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是{x|2<x<3},故3,2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根,由根与系数的关系求出a,b可得.
【解答】解:由题意不等式x2﹣ax﹣b<0的解集是{x|2<x<3},故3,2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根,
∴3+2=a,3×2=﹣b
∴a=5,b=﹣6
∴a+b=5﹣6=﹣1
故答案为:﹣1
【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系,解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根,再由根与系数的关系求参数的值.注意总结方程,函数,不等式三者之间的联系.
9.(2010•山东)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 a≥ .
【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得.
【解答】解:∵x>0,
∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
∴=≤=,即的最大值为,
故答案为:a≥
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题.
10.(2015•南昌模拟)若平面区域是一个三角形,则k的取值范围是 (﹣∞,﹣2)∪(0,] .
【分析】画出平面区域,直线y+2=k(x+1)表示过(﹣1,﹣2)的直线,可行域是三角形,直线过(0,2)和(﹣2,0),结合图形,求出k的范围.
【解答】解:直线y+2=k(x+1)表示过(﹣1,﹣2)的直线,
根据约束条件画出可行域如图:
平面区域是一个三角形,
就是图中阴影部分,
所以 k∈(﹣∞,﹣2)∪(0,]
故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,].
【点评】本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,考查作图能力,逻辑思维能力,是中档题.
11.(2015•福建模拟)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 5 .
【分析】将方程变形,代入可得3x+4y=(3x+4y)()=×3,然后利用基本不等式即可求解.
【解答】解:∵x+3y=5xy,x>0,y>0
∴
∴3x+4y=(3x+4y)()=×3=5
当且仅当即x=2y=1时取等号
故答案为:5
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑
12.(2016•雅安模拟)已知a>0,b>0,且满足a+b=3,则的最小值为 3 .
【分析】把化为 +++,利用基本不等式求出它的最小值.
【解答】解:∵a>0,b>0,且满足a+b=3,
则=+=+=+++≥+2=3,
当且仅当=时,等号成立.
故的最小值为3,
故答案为 3.
【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的关键,属于基础题.
13.(2014•浙江)设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 (﹣∞,] .
【分析】画出函数f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数a的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=,它的图象如图所示:
由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2.
当a<0时,f(a)=a2+a=(a+)2﹣≥﹣2恒成立;
当a≥0时,f(a)=﹣a2≥﹣2,即a2≤2,解得0≤a≤,
则实数a的取值范围是a≤,
故答案为:(﹣∞,].
【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
14.(2016•杭州模拟)已知变量x,y满足,则的取值范围是 [,] .
【分析】作出可行域,变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A(﹣2,﹣1)连线的斜率与1的和,数形结合可得.
【解答】解:作出所对应的区域(如图阴影),
变形目标函数可得==1+,
表示可行域内的点与A(﹣2,﹣1)连线的斜率与1的和,
由图象可知当直线经过点B(2,0)时,目标函数取最小值1+=;
当直线经过点C(0,2)时,目标函数取最大值1+=;
故答案为:[,]
【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
15.(2015•南京校级四模)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 4 .
【分析】首先分析题目由已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值,猜想到基本不等式的用法,利用a+b≥2 代入已知条件,化简为函数求最值.
【解答】解:考察基本不等式x+2y=8﹣x•(2y)≥8﹣()2(当且仅当x=2y时取等号)
整理得(x+2y)2+4(x+2y)﹣32≥0
即(x+2y﹣4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,
所以x+2y≥4(当且仅当x=2y时取等号)
则x+2y的最小值是 4
故答案为:4.
【点评】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛,需要同学们多加注意.
16.(2015•怀化二模)已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若z=x+3y的最大值为8,则k= ﹣6 .
【分析】画出可行域,将目标函数变形,画出相应的直线,将其平移,数学结合当直线移至点A时,纵截距最大,z最大.
【解答】解:画出可行域
将z=x+3y变形为y=,
画出直线平移至点A时,纵截距最大,z最大,
联立方程得,
代入,∴k=﹣6.
故答案为﹣6
【点评】本题考查画不等式组的可行域;利用可行域求出目标函数的最值.
17.(2016•河北区一模)已知正数x,y满足x+y=xy,则x+y的最小值是 4 .
【分析】依题意由基本不等式得x+y=xy≤,从而可求得x+y的最小值.
【解答】解:∵x>0,y>0,
∴xy≤,又x+y=xy,
∴x+y≤,
∴(x+y)2≥4(x+y),
∴x+y≥4.
故答案为:4
【点评】本题考查基本不等式,利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键,属于基础题.
18.(2016•浙江模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于 ﹣4 .
【分析】把k看作参数,将参数分离成k≥,再利用基本不等式求的最大值.
【解答】解:∵a>0,b>0,
由++≥0,得k≥,
只需k≥[]max即可.
∵a+b≥,∴.
∴k≥﹣4,从而实数k的最小值等于﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题属于不等式恒成立问题,是高考常考题型之一.常规思路是先分离参数,再转化为函数最值问题求解.
19.(2012•上海)若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是 (﹣∞,2) .
【分析】根据题意,分离参数,利用函数的单调性,即可得到实数k的取值范围.
【解答】解:不等式x2﹣kx+k﹣1>0可化为(1﹣x)k>1﹣x2
∵x∈(1,2)
∴k<=1+x
∴y=1+x是一个增函数
∴k<1+1=2
∴实数k取值范围是(﹣∞,2)
故答案为:(﹣∞,2)
【点评】本题考查一元二次不等式的应用,解题的关键是分离参数,利用函数的单调性确定参数的范围.
20.(2015•青浦区一模)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为 .
【分析】变形利用基本不等式即可得出.
【解答】解:∵正实数x,y满足xy+2x+y=4,
∴(0<x<2).
∴x+y=x+==(x+1)+﹣3﹣3=﹣3,
当且仅当x=时取等号.
∴x+y的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.
21.(2010•重庆)已知t>0,则函数的最小值为 ﹣2 .
【分析】将函数变为﹣4,用基本不等式求解即可.
【解答】解:,
当且仅当t=1时等号成立,
故ymin=﹣2.
【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式.
22.(2009•天津)若关于x的不等式(2x﹣1)2<ax2的解集中整数恰好有3个,则实数a的取值范围是 .
【分析】由关于x的不等式(2x﹣1)2<ax2的解集中整数恰好有3个,故不等式一定为二次不等式,且对应的函数图象开口方向朝上,且与X轴一定有两个交点,且夹在两个交点间的整数点恰好有3个,由此构造出关于a的不等式,解不等式即可得到结论.
【解答】解:∵不等式等价于(﹣a+4)x2﹣4x+1<0,
当a≥4时,显然不满足要求,
故4﹣a>0且△=4a>0,故0<a<4,
不等式的解集为,
则一定有1,2,3为所求的整数解集.
所以,解得a的范围为,
故答案:.
【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用.考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力.其中根据已知条件,判断4﹣a>0且△=4a>0,是解答本题的关键.
23.(2015•安徽三模)已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是 [﹣1,+∞) .
【分析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答时,首先可以分离参数将问题转化为:对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答.
【解答】解:由题意可知:不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,
即:,对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,
令,则1≤t≤3,
∴a≥t﹣2t2在[1,3]上恒成立,
∵
∴ymax=﹣1,
∴a≥﹣1
故答案为:[﹣1,+∞).
【点评】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧.值得同学们体会与反思.
24.(2010•山东)已知x,y∈R+,且满足,则xy的最大值为 3 .
【分析】本题为利用基本不等式求最值,可直接由条件出发,求解.
【解答】解:因为x>0,y>0,所以(当且仅当,即x=,y=2时取等号),
于是,,xy≤3.
故答案为:3
【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力,属基本题.
25.(2012•江苏模拟)若已知不等式2x﹣1>m(x2﹣1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立,则x的取值范围为 .
【分析】构造变量m的函数,对x2﹣1>0,x2﹣1<0,x2﹣1=0,进行分类讨论,利用|m|≤
2时函数的取值,分别求出x的范围,然后求并集即可.
【解答】解:构造变量m的函数求解:2x﹣1>m(x2﹣1)即:(x2﹣1)m﹣(2x﹣1)<0
构造关于m的函数f(m)=(x2﹣1)m﹣(2x﹣1),|m|≤2即﹣2≤m≤2.
1)当x2﹣1>0时,则f(2)<0 从而 2x2﹣2x﹣1<0 解得:
又x2﹣1>0,即x<﹣1 或 x>1,所以 1<x<;
2)当x2﹣1<0时,则f(﹣2)<0 可得﹣2x2﹣2x+3<0 从而 2x2+2x﹣3>0
解得 x<或x>又﹣1<x<1,从而<x<1
3)当x2﹣1=0时,则f(m)=1﹣2x<0 从而x>,故x=1;
综上有:<x<
故答案为:
【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数,考查转化思想,分类讨论思想,是中档题.
26.(2008•江苏)设x,y,z为正实数,满足x﹣2y+3z=0,则的最小值是 3 .
【分析】由x﹣2y+3z=0可推出,代入中,消去y,再利用均值不等式求解即可.
【解答】解:∵x﹣2y+3z=0,
∴,
∴=,当且仅当x=3z时取“=”.
故答案为3.
【点评】本小题考查了二元基本不等式,运用了消元的思想,是高考考查的重点内容.