2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第十三章13-2直接证明与间接 22页

‎1．直接证明 ‎(1)综合法 ‎①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．‎ ‎②框图表示：⇒…⇒…⇒ ‎③思维过程：由因导果．‎ ‎(2)分析法 ‎①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．‎ ‎②框图表示：⇐…⇐…⇐ ‎③思维过程：执果索因．‎ ‎2．间接证明 反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．‎ 这个过程包括下面3个步骤：‎ ‎(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；‎ ‎(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；‎ ‎(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aa＋b，则a、b应满足的条件是__________________________．‎ 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b)‎ ‎＝(a－b)＋(b－a)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝(－)2(＋)．‎ ‎∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.‎ ‎∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.‎ ‎5．(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．‎ 答案　 解析　∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)．‎ ‎∴≤f()＝f()，‎ 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，‎ ‎∴sin A＋sin B＋sin C的最大值为.‎ 题型一　综合法的应用 例1　(2016·宿迁模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ 思维升华　(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．‎ ‎　对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：‎ ‎①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；‎ ‎②f(1)＝1；‎ ‎③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．‎ ‎(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；‎ ‎(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数．‎ ‎(1)证明　取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，‎ ‎∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.‎ 又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，‎ ‎∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.‎ ‎(2)解　对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，‎ f(1)＝2不满足新定义中的条件②，‎ ‎∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数．‎ 对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.‎ 对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，‎ f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)‎ ‎＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，‎ 即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．‎ ‎∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．‎ 对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.‎ 对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，‎ 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，‎ 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.‎ ‎∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.‎ ‎∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．‎ 综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，‎ f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．‎ 题型二　分析法的应用 例2　已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 证明　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，‎ 即证明(tan x1＋tan x2)>tan ，‎ 只需证明>tan ，‎ 只需证明>.‎ 由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．‎ 所以cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，‎ 故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，‎ 即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，‎ 即证cos(x1－x2)<1.‎ 由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，‎ 因此[f(x1)＋f(x2)]>f.‎ 引申探究 若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.‎ 证明　要证明≥f，‎ 即证明≥－2·，‎ 因此只要证明－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，‎ 即证明≥，‎ 因此只要证明≥，‎ 由于x1，x2∈R时，‎ 由基本不等式知≥显然成立，故原结论成立．‎ 思维升华　(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎　(2016·苏州模拟)下列各式：‎ >，>，>，>.‎ 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．‎ 解　已知a>b>0，m>0，求证：>.‎ 证明如下：∵a>b>0，m>0，欲证>，‎ 只需证a(b＋m)>b(a＋m)，只需证am>bm，‎ 只需证a>b，由已知得a>b成立，‎ 所以>成立．‎ 题型三　反证法的应用 命题点1　证明否定性命题 例3　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎(1)解　由已知得∴d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，∴ ‎∴()2＝pr，即(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．‎ ‎∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 命题点2　证明存在性问题 例4　若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设存在常数a，b (a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎ 命题点3　证明唯一性命题 例5　已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有实数根；‎ ‎②函数f(x)的导数f′(x)满足00)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c ‎)＝0，且00.‎ ‎(1)证明：是函数f(x)的一个零点；‎ ‎(2)试用反证法证明>c.‎ 证明　(1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，‎ ‎∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，‎ 又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，‎ ‎∴是f(x)＝0的一个根．‎ 即是函数f(x)的一个零点．‎ ‎(2)假设0，由00，‎ 知f()>0，与f()＝0矛盾，∴≥c，‎ 又∵≠c，∴>c.‎ ‎25．反证法在证明题中的应用 典例　(14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．‎ 思想方法指导　在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：‎ ‎(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．‎ ‎(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．‎ ‎(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．‎ 规范解答 ‎(1)解　因为四边形OABC为菱形，‎ 则AC与OB相互垂直平分．‎ 由于O(0,0)，B(0,1)，‎ 所以设点A，代入椭圆方程得＋＝1，‎ 则t＝±，故|AC|＝2. [4分]‎ ‎(2)证明　假设四边形OABC为菱形，‎ 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.‎ 由 消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. [7分]‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－，＝k·＋m＝.‎ 所以AC的中点为M. [10分]‎ 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，‎ 所以直线OB的斜率为－，‎ 因为k·＝－≠－1，所以AC与OB不垂直． [13分]‎ 所以OABC不是菱形，与假设矛盾．‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． [14分] ‎ ‎1．(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是__________________________．‎ 答案　方程x2＋ax＋b＝0没有实根 解析　因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．‎ ‎2．(2016·江苏质量监测)对累乘运算Π有如下定义：ak＝a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是______．‎ ‎①2k不能被10100整除；‎ ‎②＝22 015；‎ ‎③ (2k－1)不能被5100整除；‎ ‎④ (2k－1)2k＝k.‎ 答案　④‎ 解析　因为 (2k－1)2k＝(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)＝1×2×3×…×2 014×2 015＝k，所以命题④为真命题．‎ ‎3．设x，y，z>0，则关于三个数＋，＋，＋的叙述正确的是________．‎ ‎①都大于2 ②至少有一个大于2‎ ‎③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2‎ 答案　③‎ 解析　因为(＋)＋(＋)＋(＋)‎ ‎＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立．‎ 所以三个数中至少有一个不小于2，③正确．‎ ‎4．(2016·镇江模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是____________．‎ 答案　P1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；‎ ‎⑤ab>1.‎ 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．‎ 答案　③‎ 解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，‎ 但a<1，b<1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；‎ 对于③，即a＋b>2，‎ 则a，b中至少有一个大于1，‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，‎ 则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，‎ 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.‎ ‎6．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为__________．‎ 答案　A≤B≤C 解析　∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数．‎ ‎∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.‎ ‎7．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ 答案　1和3‎ 解析　由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．‎ ‎8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，‎ 则 解得p≤－3或p≥， ‎ 故满足题干条件的p的取值范围为.‎ ‎9．已知a>0，证明： － ≥a＋－2.‎ 证明　要证 －≥ a＋－2，‎ 只需证 ≥(a＋)－(2－)．‎ 因为a>0，所以(a＋)－(2－)>0，‎ 所以只需证( )2≥[(a＋)－(2－)]2，‎ 即2(2－)(a＋)≥8－4，‎ 只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立(a＝＝1时等号成立)，‎ 所以要证的不等式成立．‎ ‎10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋)为偶函数．‎ 证明　由函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x)．‎ 将x换成x－代入上式可得 f(x－＋1)＝f[－(x－)]，‎ 即f(x＋)＝f(－x＋)，‎ 由偶函数的定义可知f(x＋)为偶函数．‎ ‎11．(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ 证明　(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，‎ 不妨设x10.‎ ‎∵a>1，∴且>0，‎ ‎∴‎ 又∵x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴－＝ ‎＝>0.‎ 于是f(x2)－f(x1)＝＋－>0，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，‎ 则＝－.‎ ‎∵a>1，∴0<<1，‎ ‎∴0<－<1，即