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  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第十三章13-2直接证明与间接

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‎1.直接证明 ‎(1)综合法 ‎①定义:从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止,这种证明方法常称为综合法.‎ ‎②框图表示:⇒…⇒…⇒ ‎③思维过程:由因导果.‎ ‎(2)分析法 ‎①定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.‎ ‎②框图表示:⇐…⇐…⇐ ‎③思维过程:执果索因.‎ ‎2.间接证明 反证法:要从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题).‎ 这个过程包括下面3个步骤:‎ ‎(1)反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;‎ ‎(2)归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;‎ ‎(3)存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“aa+b,则a、b应满足的条件是__________________________.‎ 答案 a≥0,b≥0且a≠b 解析 ∵a+b-(a+b)‎ ‎=(a-b)+(b-a)‎ ‎=(-)(a-b)‎ ‎=(-)2(+).‎ ‎∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.‎ ‎∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.‎ ‎5.(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为________.‎ 答案  解析 ∵f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π).‎ ‎∴≤f()=f(),‎ 即sin A+sin B+sin C≤3sin =,‎ ‎∴sin A+sin B+sin C的最大值为.‎ 题型一 综合法的应用 例1 (2016·宿迁模拟)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤;‎ ‎(2)++≥1.‎ 证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,‎ 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,‎ 由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ 思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.‎ ‎ 对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足:‎ ‎①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;‎ ‎②f(1)=1;‎ ‎③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.‎ ‎(1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0;‎ ‎(2)试判断函数f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是不是理想函数.‎ ‎(1)证明 取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1,‎ ‎∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.‎ 又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,‎ ‎∴f(0)≥0.于是f(0)=0.‎ ‎(2)解 对于f(x)=2x,x∈[0,1],‎ f(1)=2不满足新定义中的条件②,‎ ‎∴f(x)=2x(x∈[0,1])不是理想函数.‎ 对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然f(x)≥0,且f(1)=1.‎ 对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,‎ f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)‎ ‎=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,‎ 即f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).‎ ‎∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数.‎ 对于f(x)=,x∈[0,1],显然满足条件①②.‎ 对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,‎ 有f2(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-2≤0,‎ 即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2.‎ ‎∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③.‎ ‎∴f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.‎ 综上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数,‎ f(x)=2x(x∈[0,1])与f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.‎ 题型二 分析法的应用 例2 已知函数f(x)=tan x,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:[f(x1)+f(x2)]>f.‎ 证明 要证[f(x1)+f(x2)]>f,‎ 即证明(tan x1+tan x2)>tan ,‎ 只需证明>tan ,‎ 只需证明>.‎ 由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).‎ 所以cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,‎ 故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,‎ 即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2,‎ 即证cos(x1-x2)<1.‎ 由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,‎ 因此[f(x1)+f(x2)]>f.‎ 引申探究 若本例中f(x)变为f(x)=3x-2x,试证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.‎ 证明 要证明≥f,‎ 即证明≥-2·,‎ 因此只要证明-(x1+x2)≥-(x1+x2),‎ 即证明≥,‎ 因此只要证明≥,‎ 由于x1,x2∈R时,‎ 由基本不等式知≥显然成立,故原结论成立.‎ 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.‎ ‎(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.‎ ‎ (2016·苏州模拟)下列各式:‎ >,>,>,>.‎ 请你根据上述特点,提炼出一个一般性命题(写出已知,求证),并用分析法加以证明.‎ 解 已知a>b>0,m>0,求证:>.‎ 证明如下:∵a>b>0,m>0,欲证>,‎ 只需证a(b+m)>b(a+m),只需证am>bm,‎ 只需证a>b,由已知得a>b成立,‎ 所以>成立.‎ 题型三 反证法的应用 命题点1 证明否定性命题 例3 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;‎ ‎(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎(1)解 由已知得∴d=2,‎ 故an=2n-1+,Sn=n(n+).‎ ‎(2)证明 由(1)得bn==n+.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比数列,则b=bpbr,‎ 即(q+)2=(p+)(r+).‎ ‎∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.‎ ‎∵p,q,r∈N*,∴ ‎∴()2=pr,即(p-r)2=0.∴p=r,与p≠r矛盾.‎ ‎∴假设不成立,即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ 命题点2 证明存在性问题 例4 若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,‎ 即b2-b+=b,解得b=1或b=3.‎ 因为b>1,所以b=3.‎ ‎(2)假设存在常数a,b (a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数,‎ 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 所以有即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.‎ 命题点3 证明唯一性命题 例5 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意f(x)∈M,①方程f(x)-x=0有实数根;‎ ‎②函数f(x)的导数f′(x)满足00)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c ‎)=0,且00.‎ ‎(1)证明:是函数f(x)的一个零点;‎ ‎(2)试用反证法证明>c.‎ 证明 (1)∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,‎ ‎∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,‎ ‎∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,‎ 又x1x2=,∴x2=(≠c),‎ ‎∴是f(x)=0的一个根.‎ 即是函数f(x)的一个零点.‎ ‎(2)假设0,由00,‎ 知f()>0,与f()=0矛盾,∴≥c,‎ 又∵≠c,∴>c.‎ ‎25.反证法在证明题中的应用 典例 (14分)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A、C两点,O是坐标原点.‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.‎ 思想方法指导 在证明否定性问题,存在性问题,唯一性问题时常考虑用反证法证明,应用反证法需注意:‎ ‎(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤,正确作出假设是反证法的基础,应用假设是反证法的基本手段,得到矛盾是反证法的目的.‎ ‎(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时,常采用反证法.‎ ‎(3)利用反证法证明时,一定要回到结论上去.‎ 规范解答 ‎(1)解 因为四边形OABC为菱形,‎ 则AC与OB相互垂直平分.‎ 由于O(0,0),B(0,1),‎ 所以设点A,代入椭圆方程得+=1,‎ 则t=±,故|AC|=2. [4分]‎ ‎(2)证明 假设四边形OABC为菱形,‎ 因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.‎ 由 消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. [7分]‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k·+m=.‎ 所以AC的中点为M. [10分]‎ 因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,‎ 所以直线OB的斜率为-,‎ 因为k·=-≠-1,所以AC与OB不垂直. [13分]‎ 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. [14分] ‎ ‎1.(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是__________________________.‎ 答案 方程x2+ax+b=0没有实根 解析 因为“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x2+ax+b=0有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程x2+ax+b=0没有实根”.‎ ‎2.(2016·江苏质量监测)对累乘运算Π有如下定义:ak=a1×a2×…×an,则下列命题中的真命题是______.‎ ‎①2k不能被10100整除;‎ ‎②=22 015;‎ ‎③ (2k-1)不能被5100整除;‎ ‎④ (2k-1)2k=k.‎ 答案 ④‎ 解析 因为 (2k-1)2k=(1×3×5×…×2 015)×(2×4×6×…×2 014)=1×2×3×…×2 014×2 015=k,所以命题④为真命题.‎ ‎3.设x,y,z>0,则关于三个数+,+,+的叙述正确的是________.‎ ‎①都大于2 ②至少有一个大于2‎ ‎③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2‎ 答案 ③‎ 解析 因为(+)+(+)+(+)‎ ‎=(+)+(+)+(+)≥6,‎ 当且仅当x=y=z时等号成立.‎ 所以三个数中至少有一个不小于2,③正确.‎ ‎4.(2016·镇江模拟)若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是____________.‎ 答案 P1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;‎ ‎⑤ab>1.‎ 其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.‎ 答案 ③‎ 解析 若a=,b=,则a+b>1,‎ 但a<1,b<1,故①推不出;‎ 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;‎ 对于③,即a+b>2,‎ 则a,b中至少有一个大于1,‎ 反证法:假设a≤1且b≤1,‎ 则a+b≤2,与a+b>2矛盾,‎ 因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.‎ ‎6.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A、B、C的大小关系为__________.‎ 答案 A≤B≤C 解析 ∵≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数.‎ ‎∴f()≤f()≤f(),即A≤B≤C.‎ ‎7.(2016·全国甲卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.‎ 答案 1和3‎ 解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.‎ ‎8.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是____________.‎ 答案  解析 若二次函数f(x)≤0在区间[-1,1]内恒成立,‎ 则 解得p≤-3或p≥, ‎ 故满足题干条件的p的取值范围为.‎ ‎9.已知a>0,证明: - ≥a+-2.‎ 证明 要证 -≥ a+-2,‎ 只需证 ≥(a+)-(2-).‎ 因为a>0,所以(a+)-(2-)>0,‎ 所以只需证( )2≥[(a+)-(2-)]2,‎ 即2(2-)(a+)≥8-4,‎ 只需证a+≥2.‎ 因为a>0,a+≥2显然成立(a==1时等号成立),‎ 所以要证的不等式成立.‎ ‎10.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f(x+)为偶函数.‎ 证明 由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).‎ 将x换成x-代入上式可得 f(x-+1)=f[-(x-)],‎ 即f(x+)=f(-x+),‎ 由偶函数的定义可知f(x+)为偶函数.‎ ‎11.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)=ax+(a>1).‎ ‎(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.‎ 证明 (1)任取x1,x2∈(-1,+∞),‎ 不妨设x10.‎ ‎∵a>1,∴且>0,‎ ‎∴‎ 又∵x1+1>0,x2+1>0,‎ ‎∴-= ‎=>0.‎ 于是f(x2)-f(x1)=+->0,‎ 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,‎ 则=-.‎ ‎∵a>1,∴0<<1,‎ ‎∴0<-<1,即