北京市高考文科数学试卷 13页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.（2017北京卷文）已知全集，集合或，则（ ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：或，，故选.‎ ‎【考点】：集合的基本运算 ‎【难度】：易 ‎2.（2017北京卷文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B．‎ ‎【考点】：复数代数形式的四则运算 ‎【难度】：易 ‎3.（2017北京卷文）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环,，成立，第三次进入循环， 否，输出，故选C．‎ ‎【考点】：程序框图 ‎【难度】：易 ‎4.（2017北京卷文）若，满足 则的最大值为（ ）‎ A.1 B.3 C.5 D.9‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D．‎ ‎【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划 ‎【难度】：易 ‎5.（2017北京卷文）已知函数，则（ ）‎ A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 ‎ C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 ‎【答案】：B ‎【解析】：，所以函数是奇函数，并且是增函数,是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选B．‎ ‎【考点】：函数奇偶性和单调性 ‎【难度】：易 ‎6.（2017北京卷文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：由三视图可知三棱锥的直观图如下：,，故选D.‎ ‎【考点】：三视图 ‎【难度】：易 ‎7.（2017北京卷文）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】：A ‎【解析】：若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A．‎ ‎【考点】：向量、不等式、逻辑运算 ‎【难度】：易 ‎8．（2017年北京文）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（ ）‎ ‎（参考数据：）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 ， , 两边取对数 ，所以 ‎ ‎【考点】：对数运算 ‎【难度】：易 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.（2017年北京文）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 所以 ‎【考点】：三角函数定义+差角公式 ‎【难度】：易 ‎10.（2017年北京文）若双曲线的离心率为，则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 且，解得 ‎【考点】：双曲线离心率 ‎【难度】：易 ‎11.（2017年北京文）已知，且，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，取得最小值为 当或时，取得最大值为 的取值范围为 ‎【考点】：函数求最值 ‎【难度】：易 ‎12.（2017年北京文）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点在圆上 设点坐标，满足 ‎，，‎ ‎，‎ 的最大值为 ‎【考点】：圆的方程+向量+求最值 ‎【难度】：中 ‎13.（2017年北京文）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取分别为不满足，故此命题为假命题 ‎（此题答案不唯一）‎ ‎【考点】：简易逻辑命题真假判断 ‎【难度】：易 ‎14.（2017年北京文）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎(i)男学生人数多于女学生人数；‎ ‎(ii ) 女学生人数多于教师人数；‎ ‎(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ①若教师人数为，则女学生人数的最大值为_______；‎ ②该小组人数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①若教师人数为人，则男生人数小于人，则男生人数最多为人，女生最多为人。‎ ②若教师人数为人，则男生人数少于人，与已知矛盾 若教师人数为人，则男生人数少于人，与已知矛盾 若教师人数为人，则男生人数少于人，则男生为人，女生人。‎ 所以小组人数最小值为人 ‎【考点】：推理与证明 ‎【难度】：易 ‎15.（本小题13分）‎ 已知等差数列和等比数列满足，，. ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设公差为，公比为.‎ ‎ 则，即.‎ ‎ 故，即.‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，则，.‎ 为公比为的等比数列.‎ 构成首项为，公比为的等比数列.‎ ‎.‎ ‎【考点】：等差等比数列+等比数列求和 ‎【难度】：易 ‎16.（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）‎ 所以最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知.‎ 当，即时，取得最小值.‎ 得证.‎ ‎【考点】：三角函数恒等变化+正弦图像 ‎【难度】：易 ‎17.（本小题13分）‎ 某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；‎ ‎（II）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；‎ ‎（III）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由频率分布直方图得：‎ ‎ 分数大于等于的频率为分数在和的频率之和，‎ 即，由频率估计概率 分数小于的概率为.‎ ‎（II）设样本中分数在区间内的人数为，则由频率和为得 解之得 总体中分数在区间内的人数为（人）.‎ ‎（III）设样本中男生人数为，女生人数为 样本中分数不小于的人数共有（人）‎ 分数不小于的人中男生，女生各占人 样本中男生人数为（人）‎ 女生人数为（人）‎ 总体中男生和女生的比例为.‎ ‎【考点】：统计+概率 ‎【难度】：易 ‎18.（本小题14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，，，，‎ ‎，为线段的中点，为线段上一点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎（III）当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（I），，‎ 又平面，平面 平面 又平面 ‎（II）在中，为中点 又 由（I）知，而，，平面 平面 又平面且平面 平面平面 ‎（III）由题知平面 平面，平面平面 平面平面 又为中点 为中点 ‎，‎ 在中，‎ 且 ‎【考点】：立体几何+三棱锥体积 ‎【难度】：易 ‎19．（本小题14分）‎ 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点.求证：与的面积之比为. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）焦点在轴上且顶点为 椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设且，，则 直线:‎ 直线:‎ 由 得 得证 ‎【考点】：椭圆的性质+直线与椭圆关系 ‎【难度】：中 ‎20．（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】（I）‎ ‎ ‎ 又 在点处的切线方程为 ‎（II）令，‎ 而 在区间上单调递减 在区间上单调递减 当时，有最小值 当时，有最大值 ‎【考点】：导数的计算+导数的运用 ‎【难度】：中