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  • 2021-05-13 发布

北京市高考文科数学试卷

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‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.(2017北京卷文)已知全集,集合或,则( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】:或,,故选.‎ ‎【考点】:集合的基本运算 ‎【难度】:易 ‎2.(2017北京卷文)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】:B ‎【解析】:,因为对应的点在第二象限,所以 ,解得:,故选B.‎ ‎【考点】:复数代数形式的四则运算 ‎【难度】:易 ‎3.(2017北京卷文)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:时,成立,第一次进入循环,成立,第二次进入循环,,成立,第三次进入循环, 否,输出,故选C.‎ ‎【考点】:程序框图 ‎【难度】:易 ‎4.(2017北京卷文)若,满足 则的最大值为( )‎ A.1 B.3 C.5 D.9‎ ‎【答案】:D ‎【解析】:如图,画出可行域,表示斜率为的一组平行线,当过点时,目标函数取得最大值,故选D.‎ ‎【考点】:二元一次不等式组与简单的线性规划 ‎【难度】:易 ‎5.(2017北京卷文)已知函数,则( )‎ A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 ‎ C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 ‎【答案】:B ‎【解析】:,所以函数是奇函数,并且是增函数,是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数故选B.‎ ‎【考点】:函数奇偶性和单调性 ‎【难度】:易 ‎6.(2017北京卷文)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】:D ‎【解析】:由三视图可知三棱锥的直观图如下:,,故选D.‎ ‎【考点】:三视图 ‎【难度】:易 ‎7.(2017北京卷文)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】:A ‎【解析】:若,使,即两向量反向,夹角是,那么,反过来,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.‎ ‎【考点】:向量、不等式、逻辑运算 ‎【难度】:易 ‎8.(2017年北京文)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )‎ ‎(参考数据:)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 , , 两边取对数 ,所以 ‎ ‎【考点】:对数运算 ‎【难度】:易 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(2017年北京文)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 所以 ‎【考点】:三角函数定义+差角公式 ‎【难度】:易 ‎10.(2017年北京文)若双曲线的离心率为,则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 且,解得 ‎【考点】:双曲线离心率 ‎【难度】:易 ‎11.(2017年北京文)已知,且,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时,取得最小值为 当或时,取得最大值为 的取值范围为 ‎【考点】:函数求最值 ‎【难度】:易 ‎12.(2017年北京文)已知点在圆上,点的坐标为,为原点,则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点在圆上 设点坐标,满足 ‎,,‎ ‎,‎ 的最大值为 ‎【考点】:圆的方程+向量+求最值 ‎【难度】:中 ‎13.(2017年北京文)能够说明“设是任意实数.若,则”是假命题的一组整数的值依次为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取分别为不满足,故此命题为假命题 ‎(此题答案不唯一)‎ ‎【考点】:简易逻辑命题真假判断 ‎【难度】:易 ‎14.(2017年北京文)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎(i)男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ii ) 女学生人数多于教师人数;‎ ‎(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ①若教师人数为,则女学生人数的最大值为_______;‎ ②该小组人数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①若教师人数为人,则男生人数小于人,则男生人数最多为人,女生最多为人。‎ ②若教师人数为人,则男生人数少于人,与已知矛盾 若教师人数为人,则男生人数少于人,与已知矛盾 若教师人数为人,则男生人数少于人,则男生为人,女生人。‎ 所以小组人数最小值为人 ‎【考点】:推理与证明 ‎【难度】:易 ‎15.(本小题13分)‎ 已知等差数列和等比数列满足,,. ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(Ⅰ)设公差为,公比为.‎ ‎ 则,即.‎ ‎ 故,即.‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,则,.‎ 为公比为的等比数列.‎ 构成首项为,公比为的等比数列.‎ ‎.‎ ‎【考点】:等差等比数列+等比数列求和 ‎【难度】:易 ‎16.(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)‎ 所以最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知.‎ 当,即时,取得最小值.‎ 得证.‎ ‎【考点】:三角函数恒等变化+正弦图像 ‎【难度】:易 ‎17.(本小题13分)‎ 某大学艺术专业名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生,记录他们的分数,将数据分成组:,,…,,并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(I)从总体的名学生中随机抽取一人,估计其分数小于的概率;‎ ‎(II)已知样本中分数小于的学生有人,试估计总体中分数在区间内的人数;‎ ‎(III)已知样本中有一半男生的分数不小于,且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎(I)由频率分布直方图得:‎ ‎ 分数大于等于的频率为分数在和的频率之和,‎ 即,由频率估计概率 分数小于的概率为.‎ ‎(II)设样本中分数在区间内的人数为,则由频率和为得 解之得 总体中分数在区间内的人数为(人).‎ ‎(III)设样本中男生人数为,女生人数为 样本中分数不小于的人数共有(人)‎ 分数不小于的人中男生,女生各占人 样本中男生人数为(人)‎ 女生人数为(人)‎ 总体中男生和女生的比例为.‎ ‎【考点】:统计+概率 ‎【难度】:易 ‎18.(本小题14分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,,,,‎ ‎,为线段的中点,为线段上一点.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求证:平面平面;‎ ‎(III)当平面时,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎【解析】‎ ‎(I),,‎ 又平面,平面 平面 又平面 ‎(II)在中,为中点 又 由(I)知,而,,平面 平面 又平面且平面 平面平面 ‎(III)由题知平面 平面,平面平面 平面平面 又为中点 为中点 ‎,‎ 在中,‎ 且 ‎【考点】:立体几何+三棱锥体积 ‎【难度】:易 ‎19.(本小题14分)‎ 已知椭圆的两个顶点分别为,,焦点在轴上,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,,过作的垂线交于点.求证:与的面积之比为. ‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)焦点在轴上且顶点为 椭圆的方程为:‎ ‎(Ⅱ)设且,,则 直线:‎ 直线:‎ 由 得 得证 ‎【考点】:椭圆的性质+直线与椭圆关系 ‎【难度】:中 ‎20.(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)最大值为,最小值为 ‎【解析】(I)‎ ‎ ‎ 又 在点处的切线方程为 ‎(II)令,‎ 而 在区间上单调递减 在区间上单调递减 当时,有最小值 当时,有最大值 ‎【考点】:导数的计算+导数的运用 ‎【难度】:中