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- 2021-05-13 发布
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1993年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共68分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共17小题;每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)函数f (x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( )
(A) 2π
(B)
(C) π
(D)
(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D) 2
(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )
(A) 3x+4y-5=0
(B) 3x+4y+5=0
(C) -3x+4y-5=0
(D) -3x+4y+5=0
(4)极坐标方程所表示的曲线是 ( )
(A) 焦点到准线距离为的椭圆
(B) 焦点到准线距离为的双曲线右支
(C) 焦点到准线距离为的椭圆
(D) 焦点到准线距离为的双曲线右支
(5)在[-1,1]上是 ( )
(A) 增函数且是奇函数
(B) 增函数且是偶函数
(C) 减函数且是奇函数
(D) 减函数且是偶函数
(6)的值为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 集合,则 ( )
(A) M=N
(B)
(C)
(D) Ø
(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)参数方程 表示 ( )
(A) 双曲线的一支,这支过点
(B) 抛物线的一部分,这部分过
(C) 双曲线的一支,这支过点
(D) 抛物线的一部分,这部分过
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则 ( )
(A) a2>b2
(B)
(C) lg(a-b)>0
(D)
(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为 ( )
(A) 圆
(B) 椭圆
(C) 双曲线的一支
(D) 抛物线
(12)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(13)(+1)4(x-1)5展开式中x4的系数为 ( )
(A) -40
(B) 10
(C) 40
(D) 45
(14)直角梯形的一个内角为45º,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π,则旋转体的体积为 ( )
(A) 2π
(B)
(C)
(D)
(15)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公式q≠1,则 ( )
(A) a1+ a8> a4+ a5
(B) a1+ a8< a4+ a5
(C) a1+ a8= a4+ a5
(D) a1+ a8和a4+ a5的大小关系不能由已知条件确定
(16)设有如下三个命题:
甲:相交两直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内.
乙:l,m之中至少有一条与β相交.
丙:α与β相交.
当甲成立时 ( )
(A) 乙是丙的充分而不必要的条件
(B) 乙是丙的必要而不充分的条件
(C) 乙是丙的充分且必要的条件
(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( )
(A) 6种
(B) 9种
(C) 11种
(D) 23种
第Ⅱ卷(非选择题共82分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中,不要在答题卡上填涂.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
(18)= ________________
(19)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为_________________
(20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有______________种取法(用数字作答).
(21)设f (x)=4x-2x+1,则f-1(0)=_____________
(22)建造一个容积为8m3 ,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________________元
(23)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度
三、解答题:本大题共5小题;共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.
(24)(本小题满分10分)
已知f (x)=loga(a>0,a≠1).
(Ⅰ)求f (x)的定义域;
(Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明;
(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围.
(25)(本小题满分12分)
已知数列
Sn为其前n项和.计算得
观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.
(26)(本小题满分12分)
已知:平面α∩平面β=直线a.
α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.
求证:(Ⅰ)a⊥γ;
(Ⅱ)b⊥γ.
(27)(本小题满分12分)
在面积为1的△PMN中,tg∠PMN=,tg∠MNP=-2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
(28)(本小题满分12分)
设复数,,并且,,求θ.
1993年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分68分.
(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.
(18) (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30
三、解答题
(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.
解 (Ⅰ)由对数函数的定义知. ——1分
如果,则-11,loga等价于
, ①
而从(Ⅰ)知1-x>0,故①等价于1+x>1-x,又等价于x>0.故对a>1,当x∈(0,1)时
有f(x)>0. ——9分
(ⅱ)对00,故②等价于-10. ——12分
(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分10分.
解 . ——4分
证明如下:
(Ⅰ)当n=1时,,等式成立. ——6分
(Ⅱ)设当n=k时等式成立,即
——7分
则
由此可知,当n=k+1时等式也成立. ——9分
根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立. ——10分
(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.
证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC. ——1分
∵ γ⊥α,
∴ PM⊥α.
而 aα,
∴ PM⊥a.
同理PN⊥a. ——4分
又 PMγ,PNγ,
∴ a⊥γ. ——6分
(Ⅱ)于a上任取点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2. ——7分
∵ b∥α,∴ b∥a1.
同理b∥a2. ——8分
∵ a1,a2同过Q且平行于b,
∵ a1,a2重合.
又 a1α,a2β,
∴ a1,a2都是α、β的交线,即都重合于a. ——10分
∵ b∥a1,∴ b∥a.
而a⊥γ,
∴ b⊥γ. ——12分
注:在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的,该部分不给分.
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P,过P作直线a′⊥γ. ——1分
∵ α⊥γ,P∈α,
∴ a′α.
同理a′β. ——3分
可见a′是α,β的交线.
因而a′重合于a. ——5分
又 a′⊥γ,
∴ a⊥γ. ——6分
(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点,过b和该点作平面与α交于直线c.同法过b作平面与β交于直线d. ——7分
∵ b∥α,b∥β.
∴ b∥c,b∥d. ——8分
又 cβ,dβ,可见c与d不重合.因而c∥d.
于是c∥β. ——9分
∵ c∥β,cα,α∩β=a,
∴ c∥a. ——10分
∵ b∥c,a∥c,b与a不重合(bα,aα),
∴ b∥a. ——11分
而 a⊥γ,
∴ b⊥γ. ——12分
注:在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的,该部分不给分.
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.
解法一如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程为,焦点为M (-c,0),N (c,0). —1分
由tgM=,tgα=tg(π-∠MNP)=2,得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).将此二方程联立,解得x=c,y=c,即P点坐标为(c,c). ——5分
在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,故
由题设条件S△MNP=1,∴ c=,即P点坐标为. ——7分
由两点间的距离公式
,
.
得 . ——10分
又 b2=a2-c2=,故所求椭圆方程为
. ——12分
解法二同解法一得,P点的坐标为. ——7分
∵ 点P在椭圆上,且a2=b2+c2.
∴ .
化简得3b4-8b2-3=0.
解得b2=3,或b2= (舍去). ——10分
又 a2=b2+c2=3+.
故所求椭圆方程为. ——12分
解法三同解法一建立坐标系. ——1分
∵ ∠P=∠α-∠PMN,
∴ .
∴ ∠P为锐角.
∴ sinP=,cosP=.
而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1,∴ |PM|·|PN|=. ——4分
∵ |PM|+|PN|=2a,|MN|=2c,由余弦定理,
(2c)2=|PM|2+|PN|2-2|PM|·|PN|cosP
=(|PM|+|PN|)2-2|PM|·|PN|(1+cosP)
=(2a)2-2·-2··,
∴ c2=a2-3,即b2=3. ——7分
又 sinM=,sinN=,由正弦定理,
,
∴ .
即 ,
∴ a=c. ——10分
∴ a2=b2+c2=3+.
∴ a2=.
故所求椭圆方程为. ——12分
(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.满分12分.
解法一
——2分
. ——5分
. ——6分
因,故有
(ⅰ)当时,得或,这时都有
,
得,适合题意. ——10分
(ⅱ)当时,得或,这时都有
,
得,不适合题意,舍去.
综合(ⅰ)、(ⅱ)知或. ——2分
解法二
.
记,得.
. ——2分
. ——5分
∵ ,,
①
②
③
∴ ——8分
当①成立时,②恒成立,所以应满足
(ⅰ) ,或(ⅱ) , ——10分
解(ⅰ)得或.(ⅱ)无解.
综合(ⅰ)、(ⅱ) 或. ——12分