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  • 2021-05-13 发布

1993全国高考理科数学试题

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‎1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至9页,共150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题共68分)‎ 注意事项:‎ ‎1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.‎ ‎2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.‎ ‎3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.‎ 一、选择题:本大题共17小题;每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎(1)函数f (x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( )‎ ‎(A) 2π ‎(B) ‎ ‎(C) π ‎(D) ‎ ‎(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 2‎ ‎(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )‎ ‎(A) 3x+4y-5=0‎ ‎(B) 3x+4y+5=0‎ ‎(C) -3x+4y-5=0‎ ‎(D) -3x+4y+5=0‎ ‎(4)极坐标方程所表示的曲线是 ( )‎ ‎(A) 焦点到准线距离为的椭圆 ‎(B) 焦点到准线距离为的双曲线右支 ‎(C) 焦点到准线距离为的椭圆 ‎(D) 焦点到准线距离为的双曲线右支 ‎(5)在[-1,1]上是 ( )‎ ‎(A) 增函数且是奇函数 ‎(B) 增函数且是偶函数 ‎(C) 减函数且是奇函数 ‎(D) 减函数且是偶函数 ‎(6)的值为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(7) 集合,则 ( )‎ ‎(A) M=N ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) Ø ‎(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(9)参数方程 表示 ( )‎ ‎(A) 双曲线的一支,这支过点 ‎(B) 抛物线的一部分,这部分过 ‎(C) 双曲线的一支,这支过点 ‎(D) 抛物线的一部分,这部分过 ‎(10)若a、b是任意实数,且a>b,则 ( )‎ ‎(A) a2>b2‎ ‎(B) ‎ ‎(C) lg(a-b)>0‎ ‎(D) ‎ ‎(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为 ( )‎ ‎(A) 圆 ‎(B) 椭圆 ‎(C) 双曲线的一支 ‎(D) 抛物线 ‎(12)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(13)(+1)4(x-1)5展开式中x4的系数为 ( )‎ ‎(A) -40‎ ‎(B) 10‎ ‎(C) 40‎ ‎(D) 45‎ ‎(14)直角梯形的一个内角为45º,下底长为上底长的,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π,则旋转体的体积为 ( )‎ ‎(A) 2π ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(15)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公式q≠1,则 ( )‎ ‎(A) a1+ a8> a4+ a5‎ ‎(B) a1+ a8< a4+ a5‎ ‎(C) a1+ a8= a4+ a5‎ ‎(D) a1+ a8和a4+ a5的大小关系不能由已知条件确定 ‎(16)设有如下三个命题:‎ 甲:相交两直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内.‎ 乙:l,m之中至少有一条与β相交.‎ 丙:α与β相交.‎ 当甲成立时 ( )‎ ‎(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 ‎(B) 乙是丙的必要而不充分的条件 ‎(C) 乙是丙的充分且必要的条件 ‎(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 ‎(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( )‎ ‎(A) 6种 ‎(B) 9种 ‎(C) 11种 ‎(D) 23种 第Ⅱ卷(非选择题共82分)‎ 注意事项:‎ ‎1.第Ⅱ卷6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中,不要在答题卡上填涂.‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.‎ 二、填空题:本大题共6小题;每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.‎ ‎(18)= ________________‎ ‎(19)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点,则实数k的取值范围为_________________‎ ‎(20)从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有______________种取法(用数字作答).‎ ‎(21)设f (x)=4x-2x+1,则f-1(0)=_____________ ‎ ‎(22)建造一个容积为8m3 ,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________________元 ‎(23)如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度 三、解答题:本大题共5小题;共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.‎ ‎(24)(本小题满分10分)‎ 已知f (x)=loga(a>0,a≠1).‎ ‎(Ⅰ)求f (x)的定义域;‎ ‎(Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明;‎ ‎(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围.‎ ‎(25)(本小题满分12分)‎ 已知数列 Sn为其前n项和.计算得 ‎ ‎ 观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.‎ ‎(26)(本小题满分12分)‎ 已知:平面α∩平面β=直线a.‎ α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.‎ 求证:(Ⅰ)a⊥γ;‎ ‎(Ⅱ)b⊥γ.‎ ‎(27)(本小题满分12分)‎ 在面积为1的△PMN中,tg∠PMN=,tg∠MNP=-2.建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.‎ ‎(28)(本小题满分12分)‎ 设复数,,并且,,求θ.‎ ‎1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 说明:‎ ‎1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3.解答右端所注分数,表示考生正确做到一步应得的累加分数.‎ ‎4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分68分.‎ ‎(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B ‎ 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.‎ ‎(18) (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30‎ 三、解答题 ‎(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.‎ 解 (Ⅰ)由对数函数的定义知. ——1分 如果,则-11,loga等价于 ‎, ①‎ 而从(Ⅰ)知1-x>0,故①等价于1+x>1-x,又等价于x>0.故对a>1,当x∈(0,1)时 有f(x)>0. ——9分 ‎(ⅱ)对00,故②等价于-10. ——12分 ‎(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分10分.‎ 解 . ——4分 证明如下:‎ ‎(Ⅰ)当n=1时,,等式成立. ——6分 ‎(Ⅱ)设当n=k时等式成立,即 ‎ ——7分 则 ‎ 由此可知,当n=k+1时等式也成立. ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立. ——10分 ‎(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.‎ 证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC. ——1分 ‎∵ γ⊥α,‎ ‎∴ PM⊥α.‎ 而 aα,‎ ‎∴ PM⊥a.‎ 同理PN⊥a. ——4分 又 PMγ,PNγ,‎ ‎∴ a⊥γ. ——6分 ‎(Ⅱ)于a上任取点Q,过b与Q作一平面交α于直线a1,交β于直线a2. ——7分 ‎∵ b∥α,∴ b∥a1.‎ 同理b∥a2. ——8分 ‎∵ a1,a2同过Q且平行于b,‎ ‎∵ a1,a2重合.‎ 又 a1α,a2β,‎ ‎∴ a1,a2都是α、β的交线,即都重合于a. ——10分 ‎∵ b∥a1,∴ b∥a.‎ 而a⊥γ,‎ ‎∴ b⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的,该部分不给分.‎ 证法二(Ⅰ)在a上任取一点P,过P作直线a′⊥γ. ——1分 ‎∵ α⊥γ,P∈α,‎ ‎∴ a′α.‎ 同理a′β. ——3分 可见a′是α,β的交线.‎ 因而a′重合于a. ——5分 又 a′⊥γ,‎ ‎∴ a⊥γ. ——6分 ‎(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点,过b和该点作平面与α交于直线c.同法过b作平面与β交于直线d. ——7分 ‎∵ b∥α,b∥β.‎ ‎∴ b∥c,b∥d. ——8分 又 cβ,dβ,可见c与d不重合.因而c∥d.‎ 于是c∥β. ——9分 ‎∵ c∥β,cα,α∩β=a,‎ ‎∴ c∥a. ——10分 ‎∵ b∥c,a∥c,b与a不重合(bα,aα),‎ ‎∴ b∥a. ——11分 而 a⊥γ,‎ ‎∴ b⊥γ. ——12分 注:在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的,该部分不给分.‎ ‎(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.‎ 解法一如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程为,焦点为M (-c,0),N (c,0). —1分 由tgM=,tgα=tg(π-∠MNP)=2,得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).将此二方程联立,解得x=c,y=c,即P点坐标为(c,c). ——5分 在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,故 由题设条件S△MNP=1,∴ c=,即P点坐标为. ——7分 由两点间的距离公式 ‎,‎ ‎.‎ ‎ 得 . ——10分 又 b2=a2-c2=,故所求椭圆方程为 ‎ . ——12分 解法二同解法一得,P点的坐标为. ——7分 ‎∵ 点P在椭圆上,且a2=b2+c2.‎ ‎∴ .‎ 化简得3b4-8b2-3=0.‎ 解得b2=3,或b2= (舍去). ——10分 又 a2=b2+c2=3+.‎ 故所求椭圆方程为. ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ‎∵ ∠P=∠α-∠PMN,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ∠P为锐角.‎ ‎∴ sinP=,cosP=.‎ 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1,∴ |PM|·|PN|=. ——4分 ‎∵ |PM|+|PN|=2a,|MN|=2c,由余弦定理,‎ ‎(2c)2=|PM|2+|PN|2-2|PM|·|PN|cosP ‎=(|PM|+|PN|)2-2|PM|·|PN|(1+cosP)‎ ‎=(2a)2-2·-2··,‎ ‎∴ c2=a2-3,即b2=3. ——7分 又 sinM=,sinN=,由正弦定理,‎ ‎,‎ ‎∴ .‎ 即 ,‎ ‎∴ a=c. ——10分 ‎∴ a2=b2+c2=3+.‎ ‎∴ a2=.‎ 故所求椭圆方程为. ——12分 ‎(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.满分12分.‎ 解法一 ‎ ——2分 ‎. ——5分 ‎. ——6分 因,故有 ‎(ⅰ)当时,得或,这时都有 ‎,‎ 得,适合题意. ——10分 ‎(ⅱ)当时,得或,这时都有 ‎,‎ 得,不适合题意,舍去.‎ 综合(ⅰ)、(ⅱ)知或. ——2分 解法二 ‎.‎ 记,得.‎ ‎. ——2分 ‎. ——5分 ‎∵ ,,‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎∴ ——8分 当①成立时,②恒成立,所以应满足 ‎(ⅰ) ,或(ⅱ) , ——10分 解(ⅰ)得或.(ⅱ)无解.‎ 综合(ⅰ)、(ⅱ) 或. ——12分