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- 2021-05-13 发布
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高考复习专题 向量与立体几何 2011.4
专题要点
1.利用向量证明平行问题
(1)直线与直线的平行:设是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为,那么。根据实数与向量积的定义:。
(2)平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行:设两个不重合的平面的法向量分别为,那么。
(3)直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直:设直线在平面外,是的一个方向向量,是平面的一个法向量,那么。
另外,平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内,因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。
2.利用向量证明垂直问题
(1)线线垂直:设分别为直线的一个方向向量,那么;
(2)线面垂直:设直线的方向向量为,平面的法向量为,那么。
3.利用向量求解角度问题
(1)异面直线所成的角:利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是,而两异面直线所成角的范围是,应注意加以区分。
(2)直线与平面的夹角:利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有:,。
(3)二面角:设分别是二面角的面的法向量, 则 <>就是所求二面角的平面角或其补角的大小(利用具体图形判断)。
4.利用向量求解距离问题
立体几何中涉及到距离的问题比较多,如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理,则思路较为简单。
点到平面的距离:设平面α的一个法向量为,点P是平面α外一点,且Po∈α,则点P到平面α的距离是d=.
例题选讲
例1:如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,
, , ,为的中点,为的中点
(1)证明:直线;
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(3)求点B到平面OCD的距离。
方法一(综合法)略
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即 取,解得
,
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
例2:如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC, PC的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.
(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.
因为 E为BC的中点,所以AE⊥BC.
又 BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD 且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD,
又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD.
(2)(理)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH.
由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=,所以 当AH最短时,∠EHA最大, 即当AH⊥PD时,∠EHA最大.
此时tan∠EHA= AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,PA=2.
由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点,所以E、F分别为BC、PC的中点,
所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(),
所以
设平面AEF的一法向量为
则因此
因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面AFC,故 为平面AFC的一法向量.
又 =(-),所以 cos<m, >=
因为 二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为
例3:正四棱锥S-ABCD中,O为底面中心,E为SA的中点,AB=1,直线AD到平面SBC的距离等于.
S
A
B
C
D
O
E
M
x
y
z
(1)求斜高SM的长;(2)求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小;
解法一:(略)(1)
解法二:(1)建立空间坐标系(如图)∵底面边长为1,∴,,,
. 设,平面SBC的一个法向,
则,.
∴,.
∴y=2h,n=(0,2h,1).
而=(0,1,0),由题意,得 .解得.∴斜高
(2)n=(0,2h,1)=,由对称性,面SAD的一个法向量为n1=
设平面EBC的一个法向量n2=(x,y,1),由,,得
解得∴.
设所求的锐二面角为α,则,∴.
例4:已知平面,平面,△为等边三角形,,为的中点. (1) 求证:平面;(2) 求和平面所成角的正弦值.
设,建立如图所示的坐标系,则
.
∵为的中点,∴.
(1) 证明 ,
∵,平面,∴平面.
(2) 设平面的法向量为,由可得:
,取. 又,设和平面所成
的角为,则 .∴直线和平面所成角的正弦值为.
巩固练习:
1.正方体的棱上到异面直线AB,的距离相等的点的个数为 4
2. a、b、c为三条不重合的直线,、、为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:(1);(2);(3);(4);(5)(6).其中正确的命题是 (1);(5)
3.在北纬45°线上,有甲、乙两地,它们分别在东经50°和140°线上,设地球的半径为R,则甲、乙两地的球面距离为 (将地球视为圆球体)
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
4.如图在直三棱柱中,,,,E、F分别为的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
5. (文)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(理)在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 60
6. (文)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于__________________.
(理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于
7.四面体的一条棱长为x,其他各棱长为1,则四面体体积的最大值为
8.关于棱锥有下列命题:(1)底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥;(2)所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥;(3)一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;(4)一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3
9.等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,它们表面积的大小关系是( A )
A. B. C. D.
10.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l,其中真命题的个数为 ( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.下列三个命题中错误的个数是 ( )C
①经过球上任意两点,可以作且只可以作球的一个大圆;
②球的面积是它的大圆面积的四倍;
③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
A.0 B. 1 C. 2 D.3
12.O是半径为l的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧AB与AC的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是__
13.SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,底面圆的半径为10,C是SB的中点,∠AOB=60°,AC与底面所成角为45°,求此圆锥的侧面积和体积.
解:取OB的中点D,连接CD、AD,则AD=,,∴CD=,∴SO=,SA=20
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
∴圆锥的侧面积为, 体积为
14.四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,AD=PD,
E,F分别CD、PB的中点。(1)求证:EF平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的大小。
(Ⅰ)证明:建立空间直角坐标系,设AD=
PD=1,AB=(),则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), . 得,,。
由,得,即,
同理,又, 所以,EF平面PAB。
(Ⅱ)解:由,得,即。得,,。 有,,。
设平面AEF的法向量为,
由,解得。
于是。 设AC与面AEF所成的角为,与的夹角为。
则。
得。所以,AC与平面AEF所成角的大小为。
15.如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD, AF=AB=BC=FE=AD=a==
(1)求该五面体的体积;(2)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(理)(3)求二面角A-CD-E的余弦值.
解:(1)
方法一:(2)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD。设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
理(3)
由(2)可得,
方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,点为坐标原点。设依题意得
(2)
所以异面直线与所成的角的大小为.
理(3)
又由题设,平面的一个法向量为
高考复习专题 向量与立体几何 2011.4
专题要点
1.利用向量证明平行问题
(1)直线与直线的平行:设是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为,那么。根据实数与向量积的定义:。
(2)平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行:设两个不重合的平面的法向量分别为,那么。
(3)直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直:设直线在平面外,是的一个方向向量,是平面的一个法向量,那么。
另外,平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内,因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。
2.利用向量证明垂直问题
(1)线线垂直:设分别为直线的一个方向向量,那么;
(2)线面垂直:设直线的方向向量为,平面的法向量为,那么。
3.利用向量求解角度问题
(1)异面直线所成的角:利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是,而两异面直线所成角的范围是,应注意加以区分。
(2)直线与平面的夹角:利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有:,。
(3)二面角:设分别是二面角的面的法向量, 则 <>就是所求二面角的平面角或其补角的大小(利用具体图形判断)。
4.利用向量求解距离问题
立体几何中涉及到距离的问题比较多,如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理,则思路较为简单。
点到平面的距离:设平面α的一个法向量为,点P是平面α外一点,且Po∈α,则点P到平面α的距离是d=.
例题选讲
例1:如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,
, , ,为的中点,为的中点
(1)证明:直线;
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小; (3)求点B到平面OCD的距离。
例2:如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,
,E,F分别是BC, PC的中点. (1)证明:AE⊥PD;
(2)(理)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正
切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.
S
A
B
C
D
O
E
M
x
y
z
例3:正四棱锥S-ABCD中,O为底面中心,E为SA的中点,AB=1,直线AD到平面SBC的距离等于.
(1)求斜高SM的长;(2)求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小;
例4:已知平面,平面,△为等边三角形,,为的中点. (1) 求证:平面;(2) 求和平面所成角的正弦值.
巩固练习:
1.正方体的棱上到异面直线AB,的距离相等的点的个数为
2. a、b、c为三条不重合的直线,、、为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出六个命题:(1);(2);(3);(4);(5)(6).其中正确的命题是
3.在北纬45°线上,有甲、乙两地,它们分别在东经50°和140°线上,设地球的半径为R,则甲、乙两地的球面距离为 (将地球视为圆球体)
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
4.如图在直三棱柱中,,,,E、F分别为的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
5. (文)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(理)在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是
6. (文)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于__________________.
(理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于
7.四面体的一条棱长为x,其他各棱长为1,则四面体体积的最大值为
8.关于棱锥有下列命题:(1)底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥;(2)所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥;(3)一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;(4)一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
9.等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,它们表面积的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l,其中真命题的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.下列三个命题中错误的个数是 ( )
①经过球上任意两点,可以作且只可以作球的一个大圆;
②球的面积是它的大圆面积的四倍;
③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
A.0 B. 1 C. 2 D.3
12.O是半径为l的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧AB与AC的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是__
13.SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,底面圆的半径为10,C是SB的中点,∠AOB=60°,AC与底面所成角为45°,求此圆锥的侧面积和体积.
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
14.四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,AD=PD,
E,F分别CD、PB的中点。(1)求证:EF平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的大小。
15.如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD, AF=AB=BC=FE=AD=a==
(1)求该五面体的体积;(2)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(理)(3)求二面角A-CD-E的余弦值.