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‎2012 广东各地 高考二模（理数）打包：‎ 广州 佛山 惠州 茂名 ‎2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）‎ ‎2012年4月18日 数 学 (理科) ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集,集合,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设向量、满足:,,,则与的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．若,且,则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知为实数,则“”是“且”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 x y O ‎。‎ x y O ‎。‎ x y O ‎。‎ x y O ‎。‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎5．函数,的图像可能是下列图像中的（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ x y O A B ‎6．已知直线、与平面、、满足,,,,则下列命题一定正确的是（ ）‎ A．且 B．且 ‎ C．且 D．且 ‎7．如图所示为函数()的部 分图像,其中两点之间的距离为,那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎8．已知函数的定义域为实数集,满足(是的非空真子集),在上有两个非空真子集,且,则的值域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 ‎(一)必做题(9～13题)‎ ‎9. 设为虚数单位,则的虚部为 ． ‎ ‎10. 设满足约束条件,则的最大值是 ． ‎ ‎11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为,令事件,事件,则的值为 ． ‎ ‎12. 直线和圆交于两点,以为始边,,为终边的角分别为,则的值为 ． ‎ ‎13. 已知等比数列的首项为,公比为,则 ． ‎ ‎（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）‎ F A E D B C ‎14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线与曲线:的异于极点的交点为,与曲线:的异于极点的交点为,则________.‎ ‎15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦与相交于点,是 延长线上一点,且,,若 与圆相切,则线段的长为 ．‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 在四边形中,,,,.‎ ‎（Ⅰ）求的长； ‎ ‎（Ⅱ）求四边形的面积.‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎17．（本题满分12分）‎ 空气质量指数(单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:‎ 日均浓度 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 级别 O ‎5‎ ‎16‎ ‎8‎ 天数 ‎4‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎15‎ 某市年月日—月日(天)对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如下条形图:‎ ‎（Ⅰ）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； ‎ ‎（Ⅱ）在上述个监测数据中任取个,设为空气 质量类别为优的天数,求的分布列.‎ P C D E F B A ‎18．（本题满分14分）‎ ‎ 如图所示四棱锥中,底面,四边形中,,,,,为的中 点,为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证:平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证:平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎19．（本题满分14分）‎ ‎.‎ x y T G P M O N ‎ 已知椭圆:的一个交点为,而且过点.‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于 的任一点,直线分别交轴于点,若直线 与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长 为定值,并求出该定值.‎ ‎20．（本题满分14分）‎ ‎ 记函数的导函数为,函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值； ‎ ‎（Ⅱ）若实数和正数满足：，求证：.‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 设曲线：上的点到点的距离的最小值为,若,,‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证:；‎ ‎（Ⅲ）是否存在常数,使得对,都有不等式:成立?请说明理由.‎ ‎2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考答案 ‎2012年4月18日 数 学 (理科) ‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B B C A A B 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 ‎9．； 10．； 11．； 12．； 13.； 14．； 15.‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 A B C D ‎16．【解析】（Ⅰ）如图,连结,依题意可知,,‎ ‎ 在中,由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ 在中,由余弦定理得 ‎ ‎ 由,解得 从而,即……………………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）可知,‎ 所以.………12分 ‎17．【解析】（Ⅰ）由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为天,‎ 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 .…………………4分 ‎ （Ⅱ）随机变量的可能取值为,则 ‎ ,,‎ ‎ 所以的分布列为: ‎ ‎……12分 ‎18．【解析】（Ⅰ）因为底面,面,‎ ‎ 所以,又因为直角梯形面中,,‎ ‎ 所以,即,又,所以平面；………4分 ‎ （Ⅱ）解法一:如图,连接,交于,取中点,‎ ‎ 连接,则在中,,‎ P C D E F B A O G ‎ 又平面,平面,所以平面,‎ ‎ 因为,所以,则,‎ ‎ 又平面,平面,所以平面,‎ ‎ 又,所以平面平面,‎ P C D E F B A O G H ‎ 因为平面,所以平面.………10分 ‎ 解法二:如图,连接,交于,取中点,‎ ‎ 连接交于,连接,则,‎ ‎ 在中,,则,‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ 在底面中,,所以,‎ ‎ 所以,故,又平面,平面,‎ 所以平面.………10分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,平面,所以为直线与平面所成的角,‎ ‎ 在中,, 所以,‎ ‎ 所以直线与平面所成的角的正弦值为.………14分 ‎19．【解析】（Ⅰ）解法一:由题意得,,解得,‎ ‎ 所以椭圆的方程为.………………………………………………4分 ‎ 解法二:椭圆的两个交点分别为,‎ ‎ 由椭圆的定义可得,所以,,‎ ‎ 所以椭圆的方程为.………………………………………………4分 ‎ （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知,设,‎ ‎ 直线:,令,得;‎ 直线:,令,得; 设圆的圆心为,‎ 则,‎ 而,所以,所以,‎ 所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分 解法二:由（Ⅰ）可知,设,‎ ‎ 直线:,令,得;‎ 直线:,令,得;‎ 则,而,所以,‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 所以,由切割线定理得 所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分 ‎20．【解析】（Ⅰ）由已知得,所以.………………2分 ‎ ① 当且为偶数时,是奇数,由得;由得.‎ ‎ 所以的递减区间为,递增区间为,极小值为.……………5分 ‎② 当且为奇数时,是偶数,‎ 由得或;由得.‎ ‎ 所以的递减区间为,递增区间为和,‎ 此时的极大值为,极小值为.……………8分 ‎ （Ⅱ）由得,‎ 所以,……………10分 显然分母,设分子为 则 所以是上的增函数,所以,故……………12分 又,由（Ⅰ）知, 是上的增函数,‎ 故当时,,即,所以 所以,从而. 综上,可知.……………14分 ‎21．【解析】（Ⅰ）设点,则,所以,‎ ‎ 因为,所以当时,取得最小值,且,‎ ‎ 又,所以,即 ‎ 将代入得 ‎ 两边平方得,又,‎ ‎ 故数列是首项,公差为的等差数列,所以,‎ ‎ 因为,所以.………………………………………6分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ （Ⅱ）因为,所以 ‎ 所以,所以 ‎ 所以,所以 ‎ 以上个不等式相加得.…………………10分 ‎ （Ⅲ）因为,当时, ,‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以 ‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎ 故存在常数,对,都有不等式:成立. …………14分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)‎ 数 学(理科)‎ ‎2012．4‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前。考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ ‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．‎ 一、选择题：本大题共8小题。每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值为 ‎ A．2 B．-2 C．2或-2 D．±2或0‎ ‎2．设集合A={(x，y)|2x+y=6}，B={(x，y)|3x+2y=4}，满足C(AB)的集合C的个数为 ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是 ‎ A． 4 B． C． D．-4‎ ‎4．已知等差数列{}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 ‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎5．已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是 ‎ A．，∥，∥ B．，，‎ ‎ C．∥，， D．∥，，‎ ‎6．下列说法正确的是 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ A．函数在其定义域上是减函数 ‎ B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 ‎ C．命题“”的否定是“”‎ ‎ D．给定命题P、q，若Pq是真命题，则P是假命题 ‎7．阅读图l的程序框图，该程序运行后输出的A的值为 ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎8．已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为 ‎ A．1 B．2 C． D．3‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎(一)必做题(9～13题)‎ ‎9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 。‎ ‎10．()6展开式中的常数项是 (用数字作答)。‎ ‎11．已知不等式>1的解集与不等式的解集相等，则的值为 。‎ ‎12．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为 。‎ ‎13．已知点P是直角坐标平面上的一个动点(点O为坐标原点)，点M(-1，0)，则cosOPM的取值范围是 。‎ ‎ (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)‎ ‎14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别为(2，)，(2，)，则顶点C的极坐标为 。‎ ‎15．(几何证明选讲选做题)如图2，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则面的值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．(本小题满分12分)‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）。‎ ‎ (1)求A和的值；‎ ‎ (2)已知(0，)，且，求的值．‎ ‎17．(本小题满分l2分)‎ ‎ 如图3，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为．‎ ‎ (1)当≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；‎ ‎ (2)求的分布列和数学期望．‎ ‎18．(本小题满分l4分)‎ ‎ 某建筑物的上半部分是多面体MN—ABCD，下半部分是长方体ABCD—A1B1C1D1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．‎ ‎ (1)求直线AM与平面A，B，C，D，所成角的正弦值；‎ ‎ (2)求二面角A—MN—C的余弦值；‎ ‎(3)求该建筑物的体积．‎ ‎19．(本小题满分14分)‎ ‎ 已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：有一个相同的焦点F1，直线：与抛物线C2只有一个公共点．‎ ‎ (1)求直线的方程；‎ ‎(2)若椭圆C1经过直线上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎20．(本小题满分l4分)‎ ‎ 已知函数 ‎ (1)求函数的单调区间；‎ ‎ (2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎21．(本小题满分l4分)‎ ‎ 已知函数的定义域为(-1，1)，且，对任意，都有，数列{}满足 ‎ (1)证明函数是奇函数；‎ ‎(2)求数列{}的通项公式；‎ ‎（3）令，证明：当时，。‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 广东省惠州市2012届高三模拟考试数学 (理科）及答案 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 ‎ 参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．集合，，若，则实数的值为（ ）‎ A．或 B． C．或 D． ‎ ‎2．设为实数，若复数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．“”是“”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 ‎4．公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，‎ 则等于 （ ） ‎ A．18 B．24 C．60 D．90 ‎ ‎5．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （ ） ‎ ‎1‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎6．函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的 图象解析式为 （ ）‎ A．　　 B． 　 C．　　 D．‎ ‎7．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（ ）‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 A． B． 　 C． 　 D． ‎ ‎8．定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C．已知，则函数上的均值为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．10‎ 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）‎ 开始 输出 结束 是 否 ‎（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ ‎9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是　　　　　人．‎ ‎10．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 . ‎ ‎11．则的值为 .‎ ‎12．由曲线,围成的封闭图形面积为 . ‎ ‎13．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的 偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点、　距离之和为 ．‎ 第15题图 ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形中，‎ ‎，，，以为直径作圆 交于，则_______________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 设向量，，．‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎（１）若，求的值； ‎ ‎（２）设，求函数的值域．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，． ‎ ‎（１）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎（２）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎（１）求四棱锥P－ABCD的体积；‎ ‎（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；‎ ‎（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知数列满足：且．‎ ‎（１）求，，，的值及数列的通项公式；‎ ‎（２）设，求数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.‎ ‎（１）求椭圆的方程；‎ ‎（２）已知动直线与椭圆相交于、两点.‎ ‎①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；‎ ‎②已知点，求证：为定值.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（１）试判断函数的单调性，并说明理由；‎ ‎（２）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（３）求证： .‎ 惠州市2012届高三模拟考试 数学（理科）参考答案与评分标准 一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D A C B D B C ‎1．【解析】由可知或,故选A．‎ ‎2．【解析】，因此.故选D．‎ ‎3．【解析】因为或，所以“”能推出“”，‎ 但“”不能推出“”，故选A ．‎ ‎4．【解析】由得得,‎ 再由得则,‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 所以．故选C ‎5．【解析】安排方法可分为3+2及2+3两类，则共有种分法，故选B．‎ ‎6．【解析】由图像知A=1, ,,由得，则图像向右平移个单位后得到的图像解析式为，故选D．‎ ‎7．【解析】设，由，得，‎ 由解得.故选B．‎ ‎8．【解析】，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100．‎ 令,当时，，‎ 由此得故选C．‎ 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题．‎ ‎9．760 10．27 11．2 12．. 13．. ‎ ‎14．8 15．‎ ‎9．【解析】 ． ‎ ‎10．【解析】答案：27.由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环 s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n=4，‎ 此刻输出s=27.‎ ‎11．【解析】．‎ ‎12．【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为．‎ ‎13．【解析】按二项式公式展开得，函数有4个零点，‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 等价于函数与，再利用数形结合可得．‎ ‎14．【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点、　为椭圆的焦点，故．‎ ‎15．【解析】为直径所对的圆周角，则，在中，，由等面积法有，故得．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分分）‎ 解：（1） ‎ 由得 …………3分 ‎ 整理得 显然 ∴ …………4分 ‎∵，∴ …………5分 ‎（2）‎ ‎∴＝‎ ‎＝＝…………8分 ‎∵ ∴…………9分 ‎∴…………10分 ‎∴，即函数的值域为.…………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）六个函数中是奇函数的有，，，‎ 由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分 记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，‎ 由题意知 …………………4分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎（2）可取1,2,3,4 …………………………………………… 5分 ‎, ‎ ‎, ………9分 ‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎ ……………10分 答：的数学期望为 ……………………………12分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，‎ 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………………………………1分 ‎∴，即四棱锥P－ABCD的体积为.………3分 ‎(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE. ………………………………………………4分 证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. ………………………5分 ‎∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC. ………………………6分 又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. ………………………7分 ‎∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.‎ ‎∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. ………………………8分 ‎(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.‎ ‎∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△ABE，‎ 从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.‎ ‎∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．……………………………………………10分 在Rt△ADE中，DF＝＝＝， ∴BF＝.…………………………11分 又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 cos∠DFB＝，…………………………………………12分 ‎∴∠DFB＝， ………………………………………………………13分 即二面角D－AE－B的大小为.………………………………………………………14分 解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，………………………………………9分 从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．‎ 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为 ‎，‎ 由，取 由，取…………11分 设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………13分 ‎∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为 .…………14分 注：若取算出可酌情给分。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（１）经计算，，，． …………………………3分 当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，‎ ‎； …………………………5分 当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，‎ ‎． …………………………7分 ‎ 因此，数列的通项公式为． …………………8分 ‎（２）， ………………………9分 ‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ ①‎ ‎ ②…………10分 ‎①、②两式相减，‎ 得 ‎ ‎．……………12分 ‎ ． ………………………………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为满足， ……2分 ‎，解得，则椭圆方程为 ……4分 ‎（2）①将代入中得 ……6分 ‎， ……7分 因为中点的横坐标为，所以，解得 …………9分 ‎②由（1）知，‎ 所以 ……………11分 ‎ …12分 ‎ …14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）    故在递减 …3分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎   （2）  记 ………5分 ‎   再令     在上递增。‎ ‎  ，从而  故在上也单调递增 ‎ ………8分 ‎（3）方法1： 由（2）知：恒成立，即 ‎   令  则  ………10分 ‎   ，， …… 12分 ‎    叠加得：‎ ‎  ‎ ‎ …… 14分 方法2：用数学归纳法证明（略）。‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 广东省茂名市2012年第二次高考模拟考试 数学试卷（理科）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.‎ ‎2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.‎ ‎3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.‎ ‎5、参考公式： 　　　　　　　　‎ ‎ ‎ 第一部分 选择题（共40分）‎ 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若集合，，则=（ ）‎ A． B. 　　　 C. D. ‎ ‎2．双曲线的焦距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“”是“”的( ) ‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如右图所示的程序框图，若输出的是，则①可以为 (　　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π则该球的半径为( )‎ A． 　　　B．１０ 　　　　 C． 　　　 D．‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎7．已知函数满足：，＝3，‎ ‎ 则＋＋＋ 的值等于(　　)‎ A．36 B．24 C．18 D．12‎ ‎8． 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：‎ 对于任意两个向量，当且仅当“”或“”． ‎ 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：‎ ‎①若,则； ‎ ‎②若,则；‎ ‎③若,则对于任意,；‎ ‎④对于任意向量，,若，则.‎ 其中真命题的序号为（ ）‎ A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④‎ ‎ ‎ 第二部分 非选择题（共110分）‎ 二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）‎ ‎2 3‎ ‎3 1 4 2‎ ‎1 1 4 ‎ ‎0 9‎ 比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　 .‎ ‎ ‎ 甲 乙 甲 ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎2 3‎ ‎2 3 4 5‎ ‎6 3 4 0‎ ‎2 ‎ ‎9． 复数的模为____________‎ ‎10．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场 比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　 .‎ ‎11．已知,,则 .‎ ‎12．已知点在直线上，则的最小值为 .‎ ‎13．在数列中, .则 ‎（1）数列的前项和 ；（3分） （2）数列的前项和 .（2分）‎ 温馨提示：答此题前，请仔细阅读卷首所给的参考公式。‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分.‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C的参数方程为为参数），则曲线C上的点到直线的距离的最大值为 ‎ ‎15. （几何证明选做题）如图，已知是⊙O外一点，为⊙O的切线，为切点，‎ 割线经过圆心，若，，‎ 则⊙O的半径长为 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） ‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的值域;‎ ‎（2）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值 ‎17. (本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系上，设不等式组表示的平面区域为，记内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，.求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植四棵风景树，受本地地理环境的影响，两棵树的成活的概率均为，另外两棵树为进口树种，其成活概率都为，设表示最终成活的树的数量.‎ ‎（1）若出现有且只有一颗成活的概率与都成活的概率相等，求的值；‎ ‎（2）求的分布列（用表示）；‎ ‎（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求的取值范围.‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎19.（本小题满分14分）‎ 如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点， 的中点为.‎ （1） 求证：平面⊥平面；‎ （2） 求二面角的正切值.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别是、，‎ 离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，‎ 延长至使得，线段上存在异于的点满足.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 求点的轨迹的方程；‎ （3） 求证：过直线上任意一点必可以作两条直线 与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点. ‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）已知实数t∈R，求函数的最小值；‎ ‎（3）令，给定，对于两个大于1的正数，‎ 存在实数满足：，，并且使得不等式 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 茂名市2012年第二次高考模拟考试 数学试试卷（理科）参考答案和评分标准 一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C C A C Ｄ B B 部分试题提示：‎ ‎6、因为球的半径为Ｒ＝，所以有，所以球的半径Ｒ 为。‎ ‎8、（1）①显然正确 ‎（2）设 由,得“”或“”‎ 由,得“”或“”‎ ‎,则 若“”且“”,则,所以 若“” 且“”,则,所以 若“” 且“”,则,所以 综上所述，若,则 所以②正确 ‎ （3）设，则 由,得“”或“”‎ 若，则,所以 若，则,所以 综上所述，若,则对于任意,所以③正确 ‎（4）‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 由得 “”或“”‎ 由得 “”或“”‎ 若“”且“”，则,‎ 所以 所以 所以④不正确 综上所述，①②③正确，选B 二、填空题（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）‎ ‎9. 1 10. 58 11. 12. ‎ ‎13. (1)，（3分） (2) （2分）‎ ‎14. 15. 4‎ 部分试题提示：‎ ‎11. ‎ ‎12. ,当且仅当时等号成立 ‎13．法一、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 法2：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 解：（1） ……………………………………3分 ‎∵， ‎ ‎∴ …………………………………………………………4分 ‎∴ ……………………………………………………………5分 ‎∴函数的值域为 …………………………………………………………6分 ‎（2）， …………………………………………………………7分 ‎∴，而， ∴. …………………………………………8分 在中，，， …………………………………………………9分 ‎∴， 得 …………………………………………………10分 解得 ………………………………………………………………11分 ‎∵， ∴. ……………………………………………12分 ‎17. （本小题满分13分）‎ 解：（1）由得 ，…………………………………………………………1分 所以平面区域为内的整点为点（3,0）或在直线上. …………2分 直线与直线交点纵坐标分别为 内在直线上的整点个数分别为4n+1和2n+1, ……………………………4分 ‎ …………………………………………5分 ‎（2）由得 ……………………………………………6分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 ‎ ……………………………………………………9分 ‎ …………………………………………………………………10分 是以2为首项，公比为2的等比数列…………………………………………………11分 ‎ ……………………………………………………12分 ‎ ……………………………13分 ‎18. （本小题满分13分）‎ 解：（1）由题意，得，∴. ………………………………2分 ‎（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. …………………………………………3分 ‎ ……………… …………4分 ‎ …………………………5分 ‎ …………6分 ‎ …………………………………………7分 ‎ …………………………………………………………………………8分 得的分布列为： …………………………………………………………………………9分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（3）由，显然, …………………………………………10分 ‎∴ ……………………11分 ‎ ……………………………………12分 由上述不等式解得的取值范围是.…………………………………………………13分 ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 解：（1）证明： 正三角形中，为的中点， ∴⊥ ……………………1分 ‎∵为圆柱的母线， ∴⊥平面，‎ 而在平面内 ∴⊥ ………………………………………………2分 ‎∵为的直径，∴°即 ⊥ ………………………………3分 ‎，∴⊥平面， ………………………………………………4分 而在平面内, ∴⊥ ……………………………………5分 ‎，∴⊥平面，…………………………………………………6分 而在平面内，∴平面⊥平面……………………………………7分 （2） 由（1）知⊥，⊥，同理⊥，‎ 而，可证≌，‎ ‎∴……8分 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系 则 ……………………………………………………9分 ‎∵⊥平面，∴为平面的一个法向量……………………………10分 设平面的一个法向量，‎ 则 即 ，令则 ……………………11分 设二面角的平面角为，‎ ‎∴……………………………………………12分 ‎∴， ……………………………………………………………………13分 所以二面角的正切值 ………………………………………14分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解：（1）依题意得， ………………………………………………………………2分 解得，∴ ……………………………………………………………3分 ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 椭圆的方程为 …………………………………………………………………4分 ‎（2）解法1：设点的坐标为.‎ 当重合时，点坐标为和点， …………………………………………5分 当不重合时，由，得. …………………………………………6分 由及椭圆的定义，， ……………7分 所以为线段的垂直平分线，为线段的中点 在中，， ……………………………………………………………8分 所以有.‎ 综上所述，点的轨迹的方程是. …………………………………………………9分 解法2：设点的坐标为.‎ 当重合时，点坐标为和点， ………………………………………………5分 当不重合时，由，得. ………………………………6分 由及椭圆的定义，， ………………7分 所以为线段的垂直平分线，为线段的中点 设点的坐标为，则，‎ 因此① ………………………………………………8分 由,得, ②‎ 将代入‚，可得.‎ 综上所述，点的轨迹的方程式.③ ………………………………9分 （3） 直线与相离，‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 过直线上任意一点可作圆的两条切线 …………10分 所以 ‎ 所以四点都在以为直径的圆上， …………………………11分 其方程④ ………………………………………12分 ‎ 为两圆的公共弦，③-④得：的方程为 ……………………13分 显然无论为何值，直线经过定点. …………………………14分 ‎21. （本小题满分14分）‎ 解: 图象与轴异于原点的交点，‎ 图象与轴的交点，‎ 由题意可得，即， ………………………………………………2分 ‎∴， …………………………………………3分 ‎（2）=…………………4分 令，在 时，，‎ ‎∴在单调递增， …………………………5分 图象的对称轴，抛物线开口向上 ‎①当即时， 　…………………………………6分 ‎②当即时， ………………………………7分 ‎③当即时，‎ ‎ ……………… …………………8分 ‎,‎ 所以在区间上单调递增 　　……………………………………………………………9分 ‎∴时，‎ ‎①当时，有，‎ ‎，‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页 得，同理，　　………………………………………１０分 ‎∴ 由的单调性知 、‎ 从而有，符合题设. ………………………………11分 ‎②当时，，‎ ‎，‎ 由的单调性知 ，‎ ‎∴，与题设不符 ……………………………………12分 ‎③当时，同理可得，‎ 得，与题设不符. ……………………………………13分 ‎∴综合①、②、③得 ……………………………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.‎ ‎2012届高三佛山二模（理科） 第 49 页 共 49 页