2014高考导数压轴题终极解答60930 21页

导数解答题专项 目　　录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （3） 二、交点与根的分布　 （7） 三、不等式证明　 （8） （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围　 （13） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用　 （16） 六、导数应用题　 （20） 七、导数结合三角函数　 （21） 书中常用结论: ⑴ ，变形即为 ， 其几何意义为 上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷ . sin 1x x < sin , (0, )y x x π= ∈ 1xe x> + ln( 1)x x> + ln , 0xx x e x< < > sin , (0, )x x x π< ∈ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数 . （1）当 时，求函数 在区间 上的最小值； （2）当 时，曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴交于点 求证： . 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数 其中 ⑴当 时，求曲线 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当 时，求函数 的单调区间与极值. 3. 已知函数 ⑴设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 ，试建立 关 于 的函数关系式，并求 的最大值； ⑵若 在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。 4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f(x)=lnx－ . (1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ，求a的值. 5. （最值直接应用） 已知函数 ，其中 . （Ⅰ）若 是 的极值点，求 的值； （Ⅱ）求 的单调区间； （Ⅲ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围. 6. （2010北京理数18） 已知函数 =ln(1+ )- + ( ≥0). (Ⅰ)当 =2时，求曲线 = 在点(1, (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 的单调区间. 7. （2010山东文21，单调性） 已知函数 ⑴当 时，求曲线 在点 处的切线方程； axxf −= 2)( 1=a )()( xxfxg = ]1,0[ 0>a )(xfy = )))((,( 111 axxfxP > l l x )0,( 2xA axx >> 21 2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x= + − + ∈R a∈R 0a = ( ) (1, (1))y f x f= 在点 2 3a ≠ ( )f x 2 21( ) 2 , ( ) 3 ln .2f x x ax g x a x b= + = + ( ) ( )y f x y g x= =与 0a > b a b [0,2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x∈ = + − − a a x )1ln(2 1)( 2 xaxxxf +−−= a∈R 2x = )(xf a )(xf )(xf [0, )+ ∞ 0 a x x 2 2 x x k k y f 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx −= − + − ∈ 1a = − ( )y f x= (2, (2))f 3 2 ( )f x ( )f x ( )f x ⑵当 时，讨论 的单调性 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数 ⑴若函数 φ (x) = f (x)－ ，求函数 φ (x)的单调区间； ⑵设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切． 9. （最值应用，转换变量） 设函数 ． (1)讨论函数 在定义域内的单调性； (2)当 时，任意 ， 恒成立，求实 数 的取值范围． 10. （最值应用） 已知二次函数 对 都满足 且 ，设函数 （ ， ）． （Ⅰ）求 的表达式； （Ⅱ）若 ，使 成立，求实数 的取值范围； （Ⅲ）设 ， ，求证：对于 ，恒有 ． 11. 设 是函数 的一个极值点. （1）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间； （2）设 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围. 12. ． （1）若 ，求函数 的极值； （2）若 是函数 的一个极值点，试求出 关于 的关系式（用 表示 ），并确 定 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设 ，函数 ．若存在 使得 成立，求 的取值范围． . 13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 1 2a ≤ ( )f x 1 1 x x + - 22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x ax += − + < ( )f x ( 3, 2)a∈ − − 1 2, [1,3]x x ∈ 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( ) |m a f x f x+ − > − m ( )g x x R∀ ∈ 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x− + − = − − (1) 1g = − 1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x= + + + m R∈ 0x > ( )g x x R+∃ ∈ ( ) 0f x ≤ m 1 m e< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [1, ]x x m∀ ∈， 1 2| ( ) ( ) | 1H x H x− < 3x = ( ) ( ) ( )2 3 ,xf x x ax b e x R−= + + ∈ a b a b ( )f x ( ) 2 250, 4 xa g x a e > = +   [ ]1 2, 0,4ξ ξ ∈ ( ) ( )1 2 1f gξ ξ− < a 2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R= + + ∈ 2, 2a b= = − ( )f x 1x = ( )f x a b a b ( )f x 0a > 2 4( ) ( 14) xg x a e += + ]4,0[, 21 ∈λλ 1|)()(| 21 <− λλ ff a ( ) ln , ( ) .xf x x g x e= = 已知函数 . ⑴当 时，讨论 的单调性； ⑵设 当 时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 取值范围. . 14. 设函数 ． （Ⅰ）当 时，过原点的直线与函数 的图象相切于点 P，求点 P 的坐标； （Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅲ）当 时，设函数 ，若对于 ]， [0，1] 使 ≥ 成立，求实数 b 的取值范围.（ 是自然对数的底， ） 15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数 ． ⑴求 在 上的最小值； ⑵若存在 （ 是常数， ＝2.71828 ）使不等式 成立，求实数 的取 值范围； ⑶证明对一切 都有 成立． 16. （最值应用） 设函数 ，且 ，其中 是自然对数的底数. ⑴求 与 的关系； ⑵若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围； ⑶设 ，若在 上至少存在一点 ，使得 ＞ 成立，求实数 的取值范 围. 17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题） 设函数 ⑴讨论函数 的单调性； ⑵若 有两个极值点 ，记过点 的直线斜率为 ,问：是否存 在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 1( ) ln 1af x x ax x −= − + − ( )a∈R 1 2a ≤ ( )f x 2( ) 2 4.g x x bx= − + 1 4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ b 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + − ( )f x [ , 2]( 0)t t t+ > 1 ,x ee  ∈   e e ⋅⋅⋅ 2 ( ) ( )f x g x≥ a (0, ),x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − ( ) 2lnqf x px xx = − − ( ) 2pf e qe e = − − e p q ( )f x p 2( ) eg x x = [ ]1,e 0x 0( )f x 0( )g x p 1( ) ln ( ).f x x a x a Rx = − − ∈ ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 1( , ( )),A x f x 2 2( , ( ))B x f x k a 2k a= − a 11ln)( −−+−= x aaxxxf 1=a )(xf 2 10 << a )(xf 3 1=a 12 52)( 2 −−= bxxxg ex ,01 （∈∀ ∈∃ 2x )( 1xf )( 2xg e 13 + ( ) 2lnf x x ax= − 0x > ( )f x ( )f x [ ]1,3 ,α β 1β α− ≥ ( ) ( )f fα β= ln3 ln 2 ln 2 5 3a − ≤ ≤ 2( ) ln( 1) , 0f x ax x ax a= + + − > 2 1=x )(xf a )(xf [1,2]a∈ ( )f x m≤ 1[ ,1]2 m Ra ∈ eaaxexf x )(1(2)( 2 ++= − )(xf ]2,1[1)( 2 ∈> xexf 在 ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x xxf ln)( = 21( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a= − + − ∈ ≠， ( )f x ( )F x C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 C C 0 0( , )M x y 1 2 0 2 x xx += C M AB ( )F x ( )f x ⑴若 ，求 的极大值； ⑵若 在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围. 　 二、交点与根的分布 24. （2008四川22，交点个数与根的分布） 已知 是函数 的一个极值点． ⑴求 ； ⑵求函数 的单调区间； ⑶若直线 与函数 的图像有 个交点，求 的取值范围． 25. 已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，函数 在 上有三个零点． （1）求 的值； （2）若1是其中一个零点，求 的取值范围； （3）若 ，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x) 相切？请说明理由. 26. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求 在区间 上的最大值 ⑵是否存在实数 使得 的图像与 的图像有且只有三个不同的交点？若 存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 27. （交点个数与根的分布） 已知函数 ⑴求f(x)在[0,1]上的极值； ⑵若对任意 成立，求实数a的取值范围； ⑶若关于x的方程 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 28. (2009宁夏，利用根的分布) 已知函数 ⑴如 ，求 的单调区间； ⑵若 在 单调增加，在 单调减少，证明： ＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是 w.w 29. （2009天津文，利用根的分布讨论） )()()( Rax axfxF ∈+= )(xF kxxfxG −= 2)]([)( 3x = 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x= + + − a ( )f x y b= ( )y f x= 3 b ( ) 3 2f x x ax bx c= − + + + ( ),0−∞ ( )0,1 ( )f x R b ( )2f ( ) ( )' 21 3 lna g x f x x x= = + +， 2( ) 8 , ( ) 6ln .f x x x g x x m= − + = + ( )f x [ ], 1t t + ( );h t ,m ( )y f x= ( )y g x= m .2 3)32ln()( 2xxxf −+= 0]3)(ln[|ln|],3 1,6 1[ >+′+−∈ xxfxax 不等式 bxxf +−= 2)( 3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e−= + + + 3a b= = − ( )f x ( )f x ( , ),(2, )α β−∞ ( ,2),( , )α β +∞ β α− 6.a < − 6.β α− > 设函数 ，其中 ⑴当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率 ⑵求函数 的单调区间与极值 ⑶已知函数 有三个互不相同的零点 ，且 ，若对任意的 恒成立，求 的取值范围. 30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ． 31. 已知函数 在点 处的切线方程为 ． ⑴求函数 的解析式； ⑵若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最 小值； ⑶若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围． 32. （2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题） 已知 ，函数 （其中 ） （I）求函数 在区间 上的最小值； （II）是否存在实数 ，使曲线 在点 处的切线与y轴垂直？若存在，求 出 的值；若不存在，请说明理由。 33. 已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数. （I）求 的最大值； （II）若 上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程 的根的个数． 三、不等式证明 作差证明不等式 34. （2010湖南，最值、作差构造函数） 已知函数 ． (1)求函数 的单调递减区间； ( ) ( ) ( )3 2 21 13f x x x m x x= − + + − ∈R 0m > 1m = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x ( )f x 1 20 x x、 、 1 2x x< [ ] ( ) ( )1 2, , 1x x x f x f∈ > m 3( )f x x x= − ( )y f x= ( ( ))M t f t， 0a > ( )a b， ( )y f x= ( )a b f a− < < ( ) ( )3 2 3 ,f x ax bx x a b R= + − ∈ ( )( )1, 1f 2 0y + = ( )f x [ ]2,2− 1 2,x x ( ) ( )1 2f x f x c− ≤ c ( )( )2, 2M m m ≠ ( )y f x= m a∈R ( ) ln 1, ( ) (ln 1) ,xaf x x g x x e xx = + − = − + 2.718e ≈ ( )f x ( ]0,e ( ]0 0,x e∈ ( )y g x= 0x x= 0x xxf =)( xxfxg sin)()( += λ λ ]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ mexxxf x +−= 2)( ln 2 xxxf −+= )1ln()( )(xf (2)若 ，求证： ≤ ≤x． 35. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用 表示 ，并求 的最大值； ⑵求证：当 时， ． 36. （2009全国II理21，字母替换，构造函数） 设函数 有两个极值点 ，且 ⑴求 的取值范围，并讨论 的单调性； ⑵证明： . 变形构造函数证明不等式 37. （变形构造新函数，一次） 已知函数 ． ⑴试讨论 在定义域内的单调性； ⑵当 ＜－1时，证明： ， ．求实数 的取值范围． 38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次） 已知函数 . ⑴讨论函数 的单调性； ⑵设 ，如果对任意 ， ≥ ，求 的取值范围. 39. （2010辽宁文21，构造变形，二次） 已知函数 . ⑴讨论函数 的单调性； ⑵设 ，证明：对任意 ， . 40. （辽宁，变形构造，二次） 已知函数f(x)= x2－ax+(a－1) ， . （1）讨论函数 的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若 ，则对任意x ,x ，x x ，有 . 41. 已知函数 （1）确定函数 的单调性； 1−>x 1 11 +− x )1ln( +x 21( ) 22f x x ax= + 2( ) 3 lng x a x b= + 0a > ( )y f x= ( )y g x= a b b 0x > ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )2 ln 1f x x a x= + + 1 2x x、 1 2x x< a ( )f x ( )2 1 2ln 2 4f x −> ( ) ( 1)lnf x a x ax= + − ( )f x a 1 2, (0,1)x x∀ ∈ 1 2 1 2 | ( ) ( ) | 1| | f x f x x x − >− m 1ln)1()( 2 +++= axxaxf )(xf 1− ( )f x 5a < 1 2 ∈ (0, )+∞ 1 ≠ 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1f x f x x x − > −− ( ) 1 ln ( 0).f x x a x a= − − < ( )y f x= （2）若对任意 ，且 ，都有 ，求实数 a 的取值 范围。 42. （变形构造） 已知二次函数 和“伪二次函数” （ 、 、 ）， (I)证明：只要 ，无论 取何值，函数 在定义域内不可能总为增函数； (II)在二次函数 图象上任意取不同两点 ，线段 中 点的横坐标为 ，记直线 的斜率为 ， (i)求证： ； (ii)对于“伪二次函数” ，是否有①同样的性质?证明你的结论. 43. (变形构造，第2问用到均值不等式) 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0. ⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值； ⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增； ⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8. 44. 已知函数 ，a为正常数． ⑴若 ，且a ，求函数 的单调增区间； ⑵在⑴中当 时，函数 的图象上任意不同的两点 ， ，线段 的 中点为 ，记直线 的斜率为 ，试证明： ． ⑶若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求a的 取值范围． 45. 已知函数 （ ）． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）记函数 的图象为曲线 ．设点 , 是曲线 上的不同两 点．如果在曲线 上存在点 ，使得：① ；②曲线 在点 处的切 线平行于直线 ，则称函数 存在“中值相依切线”．试问：函数 是否存在“中 值相依切线”，请说明理由． 46. 已知函数 . （1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围； ( ]1 2, 0,1x x ∈ 1 2x x≠ 1 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x − < − ( ) 2f x ax bx c= + + ( ) 2g x ax= + lnbx c x+ a b ,c R∈ 0abc ≠ 0a < b ( )g x ( ) 2f x ax bx c= + + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB 0x AB k 0( )k f x′= ( ) 2 lng x ax bx c x= + + 1)( += x axϕ )(ln)( xxxf ϕ+= 2 9= )(xf 0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB ),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′> )(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()( 12 12 −<− − xx xgxg 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= − + − 0= aaxxxf 2)(' xxf ≤ 0>x a （2）当 时，设函数 ，若 ，求证 47. 已知 ． (1) 求函数 在 上的最小值； (2) 对一切 ， 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3) 证明: 对一切 ，都有 成立． 48. （2011陕西21，变形构造，反比例） 设函数 定义在 上， ，导函数 ， ． （1）求 的单调区间和最小值； （2）讨论与 的大小关系； （3）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取值 范围；若不存在，请说明理由． 49. 已知函数 ， （Ⅰ）求 的极值 （Ⅱ）若 在 上恒成立，求 的取值范围 （Ⅲ）已知 ， 且 ，求证 50. 已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 . (Ⅰ) 当 时, 求 的最大值; (Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证: . 51. 已知函数 ，其中常数 ⑴若 处取得极值，求 a 的值； ⑵求 的单调递增区间； ⑶ 已 知 若 ， 且 满 足 ， 试 比 较 的大小，并加以证明。 1=a x xfxg )()( = 1),1,1(, 2121 <+∈ xxexx 4 2121 )( xxxx +< 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + − ( )f x [ , 2]( 0)t t t+ > (0, )x∈ +∞ 2 ( ) ( )f x g x≥ (0, )x∈ +∞ 1 2ln xx e ex > − ( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1( )f x x ′ = ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )g x ( )g x 1( )g x 0 0x > 0 1| ( ) ( ) |g x g x x − < 0x > 0x 1 ln( ) a xf x a Rx − += ∈ ( )f x ln 0x kx− < R+ k 1 0x > 2 0x > 1 2x x e+ < 1 2 1 2x x x x+ > x xxf ln)( = C baxxg += 2 1)( l 3,2 −== ba )()()( xgxfxF −= l C 21, xx 21 xx ≠ 2)()( 2121 >++ xxgxx 21 1( ) ln( )4f x x x x aa = − + + 0.a > ( ) 1f x x =在 ( )f x 10 ,2a< < 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x∈ − ≠ 1 2'( ) '( ) 0f x f x+ = 1 2'( ) '(0)f x x f+ 与 替换构造不等式证明不等式 52. （ 第 3 问 用 第 2 问 ） 已 知 ， 直 线 与 函 数 的图像都相切，且与函数 的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线 的方程及m的值； （II）若 ，求函数 的最大值。 （III）当 时，求证： 53. 已知函数 、 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若 为正常数，设 ，求函数 的最小值； （Ⅲ）若 ， ，证明： 、 54. （替换构造不等式） 已知函数 在点 的切线方程为 . ⑴求函数 的解析式； ⑵设 ，求证： ≥ 在 上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知 ，求证： .（替换构造） 55. （替换证明） 已知函数 ． （1）试判断函数 的单调性； （2）设 ，求 在 上的最大值； （3）试证明：对任意 ，不等式 都成立（其中 是自然对数的底数）． 56. （2010湖北，利用⑵结论构造） 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . （反比例，作差构造） ⑶ .（替换构造） 21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m= = + + < l ( ), ( )f x g x ( )f x l ( ) ( 1) '( )( )h x f x g x= + − 其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x 0 b a< < ( ) (2 ) .2 b af a b f a a −+ − < ( ) xxxf ln= ( )f x k ( ) ( ) ( )g x f x f k x= + − ( )g x 0a > 0b > ( ) ( ) ( ) ( )2f a a b ln f a b f b+ + + −≥ 1)( 2 + += x baxxf ))1(,1( −− f 03 =++ yx ( )f x xxg ln)( = )(xg )(xf ),1[ +∞∈x ba <<0 22 2lnln ba a ab ab +>− − ln( ) 1xf x x = − ( )f x 0m > ( )f x [ ,2 ]m m *n∈N 1 1ln( )en n n n + +< e 0bf x ax c ax = + + >（ ） （ ） (1, (1))f 1y x= − a b c⑴用 表示出 、 ； ( ) ln [1 )f x x a+ ∞≥⑵若 在 ， 上恒成立，求 的取值范围； 1 1 11 ln( 1) ( 1)2 3 2( 1) nn nn n + + +⋅⋅⋅+ > + + ≥+证明： 57. 已知 的图像在点 处的切线与直线 平行. （1）求 a，b 满足的关系式； （2）若 上恒成立，求 a 的取值范围； （3）证明： （n∈N*） 58. 已知函数 （1）求函数 的极值点。 （2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围。 （3）证明： . 59. (替换构造) 已知函数 ⑴求函数 的单调区间； ⑵若 ≤0恒成立，试确定实数 的取值范围；（一次，作差构造） ⑶证明：①当 时， ；② . 60. （2011浙江理22,替换构造） 已知函数 . ⑴求 的单调区间和极值； ⑵求证： . 61. （替换构造） 已知函数 . ⑴求函数 的最小值； ⑵若 ≥0对任意的 恒成立，求实数a的值；（一次，作差构造） ⑶在⑵的条件下，证明： . 四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 62. （2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数 。 ⑴求 的单调区间； ⑵若对于任意的 ，都有 ≤ ，求 的取值范围. ( ) 2 2 ( 0)bf x ax a ax = + + − > (1, (1))f 2 1y x= + ( ) 2ln )f x x≥ ∞在[ 1, + 1 1 1 11 (2 1) ( )3 5 2 1 2 2 1 nn nn n ++ + + + > + + ∈− + 12)12ln(2 1 +++ n nn .1)1()1ln()( +−−−= xkxxf )(xf 0)( ≤xf k )1,(6 )1)(4( 1 ln 15 4ln 8 3ln 3 2ln 2 >∈−+<−++++ nNnnn n n  ( ) ln( 1) ( 1) 1.f x x k x= − − − + ( )f x ( )f x k 2x > ln( 1) 2x x− < − * 1 ln ( 1) ( , 1)1 4 n i i n n n N ni= −< ∈ >+∑ ( ) 2 ln(1 ) ( 0)f x a x x a= + − > ( )f x (1 )lg lg lg4lg lg ( 1)2 3 n n n ne e ee e nn + + + +⋅⋅⋅+ > + *( )n N∈ ( ) 1( 0, )xf x e ax a e= − − > 为自然对数的底数 ( )f x ( )f x x∈R 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( *)1 n n n nn n e nn n n n e −+ +⋅⋅⋅+ + < ∈− N其中 2( ) ( ) x kf x x k e= − ( )f x (0, )x∈ +∞ ( )f x 1 e k 63. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数 ，其中 . ⑴若曲线 在点 处切线方程为 ,求函数 的解析式； ⑵讨论函数 的单调性； ⑶若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 64. （转换变量，作差） 已知函数 . ⑴若 ，求 的单调区间； ⑵ 已 知 是 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 且 ， 若 恒成立，求实数b的取值范围。 恒成立之分离常数 65. （分离常数） 已知函数 (1) 若 在 处的切线平行于直线 ，求函数 的单调区间； (2) 若 ，且对 时， 恒成立，求实数 的取值范围 66. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数 ,（其中 R, 为自然对数的底数）. (1)当 时,求曲线 在 处的切线方程； (2)当 ≥1时,若关于 的不等式 ≥0恒成立,求实数 的取值范围. （改x≥0时， ≥0恒成立. ≤1） 67. （两边取对数的技巧）设函数 且 ） （1）求 的单调区间； （2）求 的取值范围； （3）已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 68. （分离常数） 已知函数 ． ( ) ( )0≠++= xbx axxf Rba ∈, ( )xfy = ( )( )2,2 fP 13 += xy ( )xf ( )xf    ∈ 2,2 1a ( ) 10≤xf     1,4 1 b 2( ) ( ) xf x x a e= − 3a = ( )f x 1 2,x x ( )f x 1 2 1 2| | | |x x x x+ ≥ 3 233 ( ) 32f a a a a b< + − + ( ) ln 1, .af x x a Rx = + − ∈ ( )y f x= 0(1, )P y 1y x= − + ( )y f x= 0a > (0,2 ]x e∈ ( ) 0f x > a 12)( 2 −−−= axxexf x ∈a e 0=a )(xfy = ))0(,0( f x x )(xf a )(xf 1( ) ( 1( 1)ln( 1)f x xx x = > −+ + 0x ≠ ( )f x ( )f x 1 12 ( 1)mx x+ > + ( 1,0)x∈ − m 1 ln( ) xf x x += a （Ⅰ）若函数在区间 其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围； （Ⅱ）如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围； 69. （2010湖南，分离常数，构造函数） 已知函数 对任意的 恒有 . ⑴证明：当 ⑵若对满足题设条件的任意b、c，不等式 恒成立，求M的最小值。 70. （第3问不常见，有特点，由特殊到一般，先猜后证）已知函数 （Ⅰ）求函数f (x)的定义域 （Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论. （Ⅲ）若x>0时 恒成立，求正整数k的最大值. 71. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理) 已知函数 （Ⅰ）试判断函数 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若 恒成立，求整数k的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3. 72. (分离常数，双参，较难)已知函数 ， . （１）若函数 依次在 处取到极值． ①求 的取值范围；②若 ，求 的值． （２）若存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立．求正整数 的 最大值． 73. （2008湖南理22，分离常数，复合的超范围） 已知函数 ⑴求函数 的单调区间; ⑵若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值. （分离常数） 74. （变形，分离常数） 已知函数 (a为实常数). (1)若 ，求证：函数 在(1,+∞)上是增函数； 1( , )2a a + 1x ≥ ( ) 1 kf x x ≥ + 2( ) ( , ),f x x bx c b c= + + ∈R ,x∈R ( ) ( )f x f x′ ≤ 20 ( ) ( ) ;x f x x c+≥ 时， ≤ 2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− −≤ x xnxf )1(11)( ++= 1)( +> x kxf ).0()1ln(1)( >++= xx xxf ),0()( +∞在xf 1)( +> x kxf 3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e= − + + t R∈ ( )y f x= , , ( )x a x b x c a b c= = = < < t 22a c b+ = t [ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m 2 2( ) ln (1 ) .1 xf x x x = + − + ( )f x 1(1 )n a en ++ ≤ N*n∈ xaxxf ln)( 2 += 2−=a )(xf (2)求函数 在[1,e]上的最小值及相应的 值； (3)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围. 75. （分离常数，转换变量，有技巧） 设函数 . ⑴若函数 在 处与直线 相切： ①求实数 的值；②求函数 在 上的最大值； ⑵当 时，若不等式 ≥ 对所有的 都成立，求实数 的取值 范围. 恒成立之讨论字母范围 76. （2007全国I，利用均值，不常见） 设函数 ． ⑴证明： 的导数 ； ⑵若对所有 都有 ，求 的取值范围． 77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x). (Ⅰ)若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值； (Ⅱ)当 a=1 时,设 P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且 PQ//x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若 x≥0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(－x)的图象上方,求实数 a 的取值范围． 78. （用到二阶导数，二次） 设函数 . ⑴若 ，求 的最小值； ⑵若当 时 ，求实数 的取值范围. 79. (第 3 问设计很好，2 问是单独的，可以拿掉)已知函数 ，斜率 为 的直线与 相切于 点. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当实数 时，讨论 的极值点。 （Ⅲ）证明： . 80. （2011全国I文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧） )(xf x ],1[ ex ∈ xaxf )2()( +≤ 2( ) lnf x a x bx= − ( )f x 1x = 1 2y = − ,a b ( )f x 1[ , ]ee 0b = ( )f x m x+ 23[0, ], [1, ]2a x e∈ ∈ m ( ) e ex xf x −= − ( )f x ( ) 2f x′ ≥ 0x≥ ( )f x ax≥ a 2( ) 2 x kf x e x x= − − 0k = ( )f x 0x ≥ ( ) 1f x ≥ k 1ln)1()( +−+= xxxbxf 1 )(xf (1,0) ( ) ( ) lnh x f x x x= − 0 1a< < 21( ) ( ) ( )ln 2g x f x a x x ax= − + + ( 1) ( ) 0x f x− ≥ 设函数 . ⑴若a = ，求 的单调区间； ⑵若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围. 81. （2011全国新理21，恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一 般的过定点（0,0）变为过定点（1,0），如果第2问范围变为 则更间单） 已知函数 在点 处的切线方程为 . ⑴求 、 的值； ⑵如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。 82. (恒成立，讨论,较容易，但说明原理)已知函数 . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）若 对 上恒成立，求实数 的取值范围. 83. （2010新课程理21，恒成立，讨论，二次，用到结论 ） 设函数 . ⑴若 ，求 的单调区间； ⑵若当 时 ，求 的取值范围. 84. （恒成立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形讨论） 设函数 ． ⑴证明：当 时， ； ⑵设当 时， ，求a的取值范围． 85. 已知函数 ，且函数 是 上的增函数。 （1）求 的取值范围； （2）若对任意的 ，都有 （e 是自然对数的底），求满足条件的最大整数 的值。 86. （2008山东卷21） 已知函数 其中n∈N*,a为常数. ⑴当n=2时，求函数f(x)的极值； ( ) 2( ) 1xf x x e ax= − − 1 2 ( )f x x ( )f x 1x > ln( ) 1 a x bf x x x = ++ (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 x kf x x x > +− k xaxxf ln)1()( −−= )(xf 0)( ≥xf ),1[ +∞∈x a 1xe x+≥ 2( ) 1xf x e x ax= − − − 0a = ( )f x 0x≥ ( ) 0f x ≥ a ( ) 1 xf x e−= − x＞- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ + 1 1)( + −= x kxxf ( )f x ( )1,− +∞ k 0x > 11 1 +<+ − xe x kx k 1( ) ln( 1),(1 )nf x a xx = + −− ⑵当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x－1. 五、函数与导数性质的综合运用 87. （综合运用） 已知函数 ⑴求函数 的单调区间和极值； ⑵已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时， ⑶如果 ，且 ，证明 88. （2010天津理数21，综合运用） 已知函数 ⑴求函数 的单调区间和极值； ⑵已知函数 对任意 满足 ，证明：当 时， ⑶如果 ，且 ，证明： 　　　　　　　　　 89. 已知函数 (1) 求函数 的单调区间和极值； (2) 若函数 对任意 满足 ,求证：当 , (3) 若 ，且 ，求证： 90. 已知函数 ， （Ⅰ）若 ，求 的单调区间； （Ⅱ）对于任意的 ，比较 与 的大小，并说明理由． 91. （2011辽宁理21，利用2的对称） 已知函数 ． ⑴讨论 的单调性； ⑵设 ，证明：当 时， ；（作差） ⑶若函数 的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为 ，证明： . 92. （恒成立，思路不常见） ( ) ( )xf x xe x−= ∈R ( )f x ( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x > ( ) ( )f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ > 1 1( ) (x xf x xe − −= ∈R). ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > 1( ) x xf x e −= . ( )f x ( )y g x= x ( ) (4 )g x f x= − 2x > ( ) ( );f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 4.x x+ > xaaxxxf )2(ln)( 2 −+−= )(xf 0>a ax 10 << )1()1( xafxaf −>+ )(xfy = 0x 0( ) 0f x′ < ( ) ln( 1), ( ) 1xf x x g x e= + = − ( ) ( )F x f x px= + ( )F x 2 1 0x x> > 2 1( ) ( )f x f x− 2 1( )g x x− 已知函数 ，其中 为实数． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)是否存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立?若不存在，请说 明理由，若存在，求出 的值并加以证明． 93. 已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1，设 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）不等式 在 上恒成立，求实数 的范围； （Ⅲ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围． 94. 已知函数 ， 设 （1）是否存在唯一实数 ，使得 ，若存在，求正整数 m 的值；若不存在， 说明理由。 （2）当 时， 恒成立，求正整数 n 的最大值。 95. (第 3 问难想)已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， 。 （１） 当 时，解不等式 ； （２） 若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围； （３） 当 时，求整数ｋ的所有值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 96. （2011高考，单调性应用，第2问难） 已知a、b是实数，函数 和 是 的导 函数，若 在区间I上恒成立，则称 和 在区间I上单调性一致. （1）设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设 且 ，若函数 和 在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求 |a－b|的最大值. 97. （2010湖南文数，另类区间） 已知函数 其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设函数 （e是自然数的底数）。是否存在 x axxf ln)( −= a 2=a )(xfy = ))2(,2( f a ),1()1,0( +∞∈ x xxf >)( a )1,0(12)( 2 <≠++−= babaxaxxg [ ]3,2 ( )( ) g xf x x = ba, 02)2( ≥⋅− xx kf ]1,1[−∈x k 0)3|12| 2(|)12(| =−−+− x x kf k 1( ) (1 )[1 ln( 1)]f x xx = + + + 2( ) ( )g x x f x′= ⋅ ( 0)x > ( , 1)a m m∈ + ( ) 0g a = 0x > ( )f x n> 2( ) ( ) xf x ax x e= + a R∈ 0a < ( ) 0f x > ( )f x a 0a = ( ) 2f x x= + ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf +=+= )(xf ′ )(xg′ )(),( xgxf 0)()( ≥′′ xgxf )(xf )(xg 0>a )(xf )(xg ),1[ +∞− ,0 = a，使 在[a,－a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 98. （2008辽宁理22，第2问无从下手，思路太难想） 设函数 . ⑴求 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 ,使得关于 的不等式 的解集为 ?若存在,求 的取值范围; 若不存在,试说明理由. 99. （第二问较难） 设函数 ， ， 是 的一个极大值点． ⑴若 ，求 的取值范围； ⑵当 是给定的实常数，设 是 的3个极值点，问是否存在实数 ，可找到 ，使得 的某种排列 （其中 = ） 依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不存在，说明理由． 100. 已知函数 ， ，记 （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若 ，比较： 与 的大小； （Ⅲ）若 的极值为 ，问是否存在实数 ，使方程 有四个 不同实数根？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由。 六、导数应用题 101. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为 常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售 量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件． (1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式； (2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值． 102. 如图，ABCD是正方形空地，正方形的边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离 分别为9m、3m，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16： 9，线段MN必须过点P，满足M、N分别在边AD、AB上，设 ，液晶广告屏幕MNEF 的面积为 ( )g x ln( ) ln ln( 1)1 xf x x xx = − + ++ ( )f x a x ( )f x a (0, )+∞ a 2( ) ( ) ( ) xf x x a x b e= − + a b R∈、 x a= ( )f x 0a = b a 1 2 3x x x， ， ( )f x b 4x R∈ 1 2 3 4x x x x， ， ， 1 2 3 4 , , ,i i i ix x x x { }1 2 3 4i i i i， ， ， { }1 2 3 4，，， b 4x ( )f x = lna x 2( )g x x= ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ( )F x 1 2a ≥ 1x ≥ ( 1)g x − 1( )f x ( )F x 2 a k 21 ( ) (1 )2 g x f x k− + = k ( )AN x m= 2( ).S m （I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域； （II）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？ 七、导数结合三角函数 103. 已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数． （I）求 的最大值； （II）若 上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程 的根的个数． 104. 设函数 （ ），其中 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值； （Ⅲ）当 ， 时，若不等式 对任意的 恒成 立,求 的值。 xxf =)( xxfxg sin)()( += λ λ ]1,1[1)( 2 −∈++< xttxg 在λ mexxxf x +−= 2)( ln 2 2( ) ( )f x x x a= − − x∈R a∈R 1a = ( )y f x= (2 (2))f， 0a ≠ ( )f x 3a > [ ]1 0k ∈ − ， 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x− −≥ x∈R k