高考真题——文科数学北京卷 9页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知，集合，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）2 （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）若满足则的最大值为 ‎（A）1 （B）3‎ ‎（C）5 （D）9‎ ‎（5）已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎（7）设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ ‎（A）1033 （B）1053‎ ‎（C）1073 （D）1093‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．‎ ‎（10）若双曲线的离心率为，则实数m=__________．‎ ‎（11）已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．‎ ‎（12）已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．‎ ‎（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．‎ ‎（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ⅱ）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．‎ ‎②该小组人数的最小值为__________．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求f(x)的最小正周期；‎ ‎（II）求证：当时，．‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数KS5U不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）答案 一、‎ ‎（1）C （2）B （3）C （4）D ‎（5）B （6）D （7）A （8）D 二、‎ ‎（9） （10）2‎ ‎（11） （12）6‎ ‎（13）（答案不唯一） （14）6 12‎ 三、‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以当时，.‎ ‎（17）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为.‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为.‎ 所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎（18）（共14分）‎ 解：（I）因为，，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（II）因为，为中点，所以，‎ 由（I）知，，所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎（III）因为平面，平面平面，‎ 所以.‎ 因为为的中点，所以，.‎ 由（I）知，平面，所以平面.‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为.‎ 由题意得解得.‎ 所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 由题设知，且.‎ 直线的斜率，故直线的斜率.‎ 所以直线的方程为.‎ 直线的方程为.‎ 联立解得点的纵坐标.‎ 由点在椭圆上，得.‎ 所以.‎ 又，‎ ‎，‎ 所以与的面积之比为.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎