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  • 2021-05-13 发布

高考真题——文科数学北京卷

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‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知,集合,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的值为 ‎(A)2 (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)若满足则的最大值为 ‎(A)1 (B)3‎ ‎(C)5 (D)9‎ ‎(5)已知函数,则 ‎(A)是偶函数,且在R上是增函数 ‎(B)是奇函数,且在R上是增函数 ‎(C)是偶函数,且在R上是减函数 ‎(D)是奇函数,且在R上是增函数 ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ‎(A)60 (B)30‎ ‎(C)20 (D)10‎ ‎(7)设m, n为非零向量,则“存在负数,使得m=λn”是“m·n<0”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎(参考数据:lg3≈0.48)‎ ‎(A)1033 (B)1053‎ ‎(C)1073 (D)1093‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则sin=_________.‎ ‎(10)若双曲线的离心率为,则实数m=__________.‎ ‎(11)已知,,且x+y=1,则的取值范围是__________.‎ ‎(12)已知点P在圆上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为_________.‎ ‎(13)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.‎ ‎(14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:‎ ‎(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;‎ ‎(ⅱ)女学生人数多于教师人数;‎ ‎(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________.‎ ‎②该小组人数的最小值为__________.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(II)求证:当时,.‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;‎ ‎(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;‎ ‎(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数KS5U不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PA⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E–BCD的体积.‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)答案 一、‎ ‎(1)C (2)B (3)C (4)D ‎(5)B (6)D (7)A (8)D 二、‎ ‎(9) (10)2‎ ‎(11) (12)6‎ ‎(13)(答案不唯一) (14)6 12‎ 三、‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎(16)(共13分)‎ 解:(Ⅰ).‎ 所以的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以当时,.‎ ‎(17)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为,所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎(Ⅱ)根据题意,样本中分数不小于50的频率为,分数在区间内的人数为.‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为.‎ ‎(Ⅲ)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为,‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为.‎ 所以样本中的男生人数为,女生人数为,男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎(18)(共14分)‎ 解:(I)因为,,所以平面,‎ 又因为平面,所以.‎ ‎(II)因为,为中点,所以,‎ 由(I)知,,所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎(III)因为平面,平面平面,‎ 所以.‎ 因为为的中点,所以,.‎ 由(I)知,平面,所以平面.‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为.‎ 由题意得解得.‎ 所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设,则.‎ 由题设知,且.‎ 直线的斜率,故直线的斜率.‎ 所以直线的方程为.‎ 直线的方程为.‎ 联立解得点的纵坐标.‎ 由点在椭圆上,得.‎ 所以.‎ 又,‎ ‎,‎ 所以与的面积之比为.‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ 又因为,所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅱ)设,则.‎ 当时,,‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有,即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为,最小值为.‎