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- 2021-05-13 发布
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高考数学必背公式与知识点过关检测
姓名 班级
第一部分:集合与常用逻辑用语
1.子集个数:含个元素的集合有 个子集,有 个真子集,有 个非空子集,有 个非空真子集
2.常见数集:自然数集: 正整数集: 或 整数集: 有理数集:
实数集:
3.空集:是任何集合的 ,是任何非空集合的 .
4.元素特点: 、 、 确定性
5.集合的的运算: 集运算、 集运算、 集运算
6.四种命题:原命题:若,则;逆命题:若 ,则 ;否命题:若 ,则 ;逆否命题:若 ,则 ; 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互 ;原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ;原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题
7.充要条件的判断:,是的 条件;,是的 条件;,互为 条件;若命题对应集合,命题对应集合,则等价于 ,等价于
注意区分:“甲是乙的充分条件(甲乙)”与“甲的充分条件是乙(乙甲)”;
8.逻辑联结词:或命题:,有一为真即为 ,均为假时才为 ;且命题:,均为真时才为 ,有一为假即为 ;非命题:和为一真一假两个互为对立的命题
9.全称量词与存在量词:⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用表示;
全称命题p:;全称命题p的否定p: ;
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用表示;
特称命题p:;特称命题p的否定p: ;
第二部分:函数与导数及其应用
1.函数的定义域:分母 0;偶次被开方数 0;0次幂的底数 0 ;对数函数的真数 0;指数与对数函数的底数 0且 1
2.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论;
分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的
3.函数的单调性:设,,且,那么:
(1)上是 函数;
(2)上是 函数;
(3)如果,则为 函数;,则为 函数;
(4)复合函数的单调性:根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件
⑵是 函数;是 函数.
⑶奇函数在0处有定义,则
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有 的单调性,偶函数有 的单调性
⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称
5.函数的周期性:
周期有关的结论:(约定a>0)
(1),则的周期T= ;
(2),或,或,
则的周期T=
(3)或 的周期为
6.函数的对称性:
①的图象关于直线 对称;
②的图象关于直线 对称;
7.对数运算规律:
(1)对数式与指数式的互化:
(2)对数恒等式: , , . ,
(3)对数的运算性质:
①加法: ②减法:
③数乘: ④恒等式:
⑤ ⑥换底公式:
8.二次函数:
二次函数(a≠0)的图象的对称轴方程是 ,顶点
坐标是 判别式;时,图像与轴有 个交点;时,图像与轴有 个交点;时,图像与轴没有交点;
9. 韦达定理:
若x1, x2是一元二次方程的两个根,则:x1+x2= ,x1x2= .
10.零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点
11.常见函数的导数公式:
① ;② ;
③ ; ④ ;
⑤ ; ⑥ ;
⑦ ; ⑧ .
12.导数运算法则:
;
.
13.曲线的切线方程:函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率为,相应的切线方程是 .
14.微积分基本定理:
如果是上的连续函数,并且有,则
第三部分:三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.角度制与弧度制互化:
360°= rad,180°= rad,1°= ≈ rad,1rad= ≈
2.若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则
, ,S= = .
3.三角函数定义式:角终边上任一点(非原点)P,设 则
, ,
4.同角三角函数的基本关系:
.
5.函数的诱导公式:口诀: .
, , .(k∈Z)
(2) , , .
(3) , ,.
(4) , , .
, .
(6) ,.
6.特殊角的三角函数值:
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
角α的弧度数
Sinα
Cosα
tanα
7.三角函数的图像与性质:
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
对称性
8.几个常见三角函数的周期:
①与的周期为 .
②或()的周期为 .
③的周期为 .
④的周期为
9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
; ;
; ;
; .
10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式:
= =
, ,
11.引入辅助角公式: . (其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).
12. 正弦定理: . (R是外接圆直径)
注:①;②;③
13. 余弦定理: .(变式)
(以A角和其对边来表示)
14. 三角形面积公式: = = .
(用边与角的正弦值来表示)
三角形面积导出公式:
(为内切圆半径)= (外接圆半径)
15. 三角形内切圆半径r= 外接圆直径2R= = =
第四部分:平面向量、数列与不等式
1. 平面向量的基本运算:设,;()
= ;= ;
(定义公式)= (坐标公式).
在方向上的投影为. = (坐标公式)
(一般表示) (坐标表示) .
∥ (一般表示) (坐标表示).
= (坐标公式).
2.若为的重心,则 =;
且G点坐标为 ( , )
3.三点共线的充要条件:P,A,B三点共线 =x+y 且 =1
4.三角形的四心
重心:三角形三条 交点.
外心:三角形三边 相交于一点.
内心:三角形三 相交于一点.
垂心:三角形三边上 的相交于一点.
5. 数列{}中与的关系
6. 等差数列与等比数列对比小结:
等差数列
等比数列
定义
公式
1.
2.
1.
2.
性质
1.
称为与的等差中项
2.若, 则
1.
称为与的等比中项
2.若, 则
7.常见数列的和:
①1+2+3+……+n=
②12+22+32+……+n2=
③13+23+33+……+n3=
8.一元二次不等式解的讨论.
二次函数
()的图象
一元二次方程
9. 均值不等式: 若,,则 ;
10. 重要不等式:
11.极值定理:已知都是正数,则有:
(1)如果积是定值,那么当时和有最小值 ;
(2)如果和是定值,那么当时积有最大值 .
12.两个著名不等式:
(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么
(当仅当a=b时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)
特别地,(当a = b时,)
幂平均不等式:
(2)柯西不等式: .(当且仅当ad=bc时取等号)
第五部分:立体几何与解析几何
1. 三视图与直观图:
原图形与直观图面积之比为
2. 常见几何体表面积公式:
圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积S=
圆台的表面积 S= 球的表面积 S=
3.常见几何体体积公式:
柱体的体积 V= 锥体的体积 V=
台体的体积 V= 球体的体积 V=
4. 常见空间几何体的有关结论:
⑴棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 ,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 .
⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为,b,c,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积V=
⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积V=
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径=长方体的 长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长.
⑸正四面体的性质:设棱长为,则正四面体的:
① 高: ;②对棱间距离: ;③内切球半径: ;④外接球半径:
5. 空间向量中的夹角和距离公式:
(1)空间中两点,的距离d=
(2)异面直线夹角:cosθ= (两直线方向向量为)
(3)线面角:,且sinθ= (,为直线的方向向量与平面的法向量)
(4)二面角:,且cosθ= (两平面的法向量分别为和)
(5)点到面的距离:平面的法向量为,平面内任一点为,点到平面的距离
d=
6.直线的斜率: = =
(为直线的倾斜角,、为直线上的两点)
7. 直线方程的五种形式:
直线的点斜式方程: (直线过点,且斜率为).
直线的斜截式方程: (为直线在轴上的截距).
直线的两点式方程: (、 ,).
直线的截距式方程: (、分别为直线在轴、轴上的截距,且).
直线的一般式方程: (其中A、B不同时为0).
8.两条直线的位置关系:
(1)若,,则:
① ∥ 且 ; .
(2)若,,则:
①∥ 且 ;②. .
9.距离公式:
(1)点,之间的距离:
(2)点到直线的距离:
(3)平行线间的距离:与的距离:
10.圆的方程:
(1)圆的标准方程:
(2)圆的一般方程: (
11.直线与圆的位置关系:判断圆心到直线的距离与半径的大小关系
(1)当 时,直线和圆 (有两个交点);
(2)当 时,直线和圆 (有且仅有一个交点);
(3)当 时,直线和圆 (无交点);
12. 圆与圆的位置关系:判断圆心距与两圆半径和,半径差()的大小关系:
(1)当 时,两圆 ,有4条公切线;
(2)当 时,两圆 ,有3条公切线;
(3)当 时,两圆 ,有2条公切线;
(4)当 时,两圆 ,有1条公切线;
(5)当 时,两圆 ,没有公切线;
13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= (d为直线的距离r为半径)
14.椭圆的定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距.()
(2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .
15.双曲线的定义:(1)第一定义:平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数: 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.()
(2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .
16.抛物线的定义:
(1)平面内与一个定点和一条定直线(点不在上)的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点,定直线是抛物线的准线.
(2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .
17.离心率:e= (椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率 )
18.双曲线的渐近线:(,)的渐近线方程为 ,且与具有相同渐近线的双曲线方程可设为.
19.过抛物线焦点的直线:
倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点():
|AF|= |BF|= |AB|= =
x1x2= y1y2= +=
20.焦点三角形的面积:(1)椭圆:S= ;(2)双曲线:S= ()
21.几何距离:
(1)椭圆双曲线特有距离:①长轴(实轴): ; ②短轴(虚轴): ;
③两焦点间距离: .
(2)焦准距:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: .
(3)通径长:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: .
22.直线被曲线所截得的弦长公式:若弦端点为,则
|AB|= = =
23. 中点弦问题: 椭圆:kABkOP= 双曲线:kABkOP=
第六部分:统计与概率
1. 总体特征数的估计:
⑴样本平均数`x= = ;
⑵样本方差;S2= = ;
⑶样本标准差S=
2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=
⑵古典概型:基本事件的总数数为,随机事件A包含的基本事件个数为,则事件A发生的概率为:P(A)=
⑶几何概型:
3.离散型随机变量:
⑴随机变量的分布列:
①随机变量分布列的性质:pi≥ , i=1,2,3,…; p1+p2+…=
②离散型随机变量:
X
x1
X2
…
X n
P
P1
P2
…
P n
均值(又称期望):EX=
方差:DX=
注:;
③二项分布(独立重复试验):若X~B(n , p),则EX= , DX=
注:
⑵条件概率: P(B|A)=
注:0P(B|A)1
⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=
第七部分:复数与计数原理
1. 复数的基本概念:(,)
(1)实部: ;虚部: ; 虚数单位:i2=
(2)模:|z|= =
(3)共轭复数:= (4)在复平面内对应的点为
(5)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)
2. 复数的基本运算:
(1)加减法:(a+bi)+(c+di)= (a+bi)-(c+di)=
(2)乘法:(a+bi)×(c+di)=
(3)除法:(a+bi)÷(c+di)=
注:对虚数单位,有.
3.分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理):.
(1)完成一件事有类不同方案,在第类方案中有种不同的方法,在第类方案中有 种不同的方法,…,在第类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有
N= 种不同的方法.
(2)完成一件事情,需要分成个步骤,做第步有种不同的方法,做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
4.排列数公式:= = ; =
(m≤ n, m、n∈N*) 规定
5.组合数公式: = (,,且);
6. 组合数性质: ;
7.二项式定理:(a+b)n=
(叫做二项式系数)
8.二项展开式的通项公式:Tr+1= (r=0,1,2……,n)
第八部分:坐标系与参数方程
1. 极坐标→直角坐标 直角坐标→极坐标
2. 圆的极坐标方程:
①以极点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
②以为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;
③以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
④以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
⑤以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是
3. 常见曲线的参数方程:
常见曲线的普通方程与参数方程
普通方程
参数方程
直线
过点倾斜角为
或者
(为参数)
圆
(为参数)
椭圆
(a>b>0)
(为参数)
双曲线
(a>0,b>0)
(为参数)
抛物线
(p>0)
(为参数)
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