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  • 2021-05-13 发布

高考数学必背公式与知识点过关检测(精华版)

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高考数学必背公式与知识点过关检测 姓名 班级 ‎ 第一部分:集合与常用逻辑用语 ‎1.子集个数:含个元素的集合有 个子集,有 个真子集,有 个非空子集,有 个非空真子集 ‎2.常见数集:自然数集: 正整数集: 或 整数集: 有理数集: ‎ 实数集: ‎ ‎3.空集:是任何集合的 ,是任何非空集合的 .‎ ‎4.元素特点: 、 、 确定性 ‎ ‎5.集合的的运算: 集运算、 集运算、 集运算 ‎6.四种命题:原命题:若,则;逆命题:若 ,则 ;否命题:若 ,则 ;逆否命题:若 ,则 ; 原命题与逆命题,否命题与逆否命题互 ;原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ;原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 ‎ ‎7.充要条件的判断:,是的 条件;,是的 条件;,互为 条件;若命题对应集合,命题对应集合,则等价于 ,等价于 ‎ 注意区分:“甲是乙的充分条件(甲乙)”与“甲的充分条件是乙(乙甲)”;‎ ‎8.逻辑联结词:或命题:,有一为真即为 ,均为假时才为 ;且命题:,均为真时才为 ,有一为假即为 ;非命题:和为一真一假两个互为对立的命题 ‎9.全称量词与存在量词:⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用表示;‎ ‎ 全称命题p:;全称命题p的否定p: ;‎ ‎⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用表示;‎ ‎ 特称命题p:;特称命题p的否定p: ;‎ 第二部分:函数与导数及其应用 ‎1.函数的定义域:分母 0;偶次被开方数 0;0次幂的底数 0 ;对数函数的真数 0;指数与对数函数的底数 0且 1‎ ‎2.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论;‎ 分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 ‎ ‎3.函数的单调性:设,,且,那么:‎ ‎(1)上是 函数;‎ ‎(2)上是 函数;‎ ‎(3)如果,则为 函数;,则为 函数;‎ ‎(4)复合函数的单调性:根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.‎ ‎4.函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件 ‎⑵是 函数;是 函数.‎ ‎⑶奇函数在0处有定义,则 ‎ ‎⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有 的单调性,偶函数有 的单调性 ‎⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 ‎5.函数的周期性:‎ ‎ 周期有关的结论:(约定a>0)‎ ‎(1),则的周期T= ;‎ ‎(2),或,或,‎ 则的周期T= ‎ ‎(3)或 的周期为 ‎ ‎6.函数的对称性:‎ ‎①的图象关于直线 对称;‎ ‎②的图象关于直线 对称;‎ ‎7.对数运算规律:‎ ‎(1)对数式与指数式的互化: ‎ ‎(2)对数恒等式: , , . ,‎ ‎ ‎ ‎(3)对数的运算性质:‎ ‎ ①加法: ②减法: ‎ ‎③数乘: ④恒等式: ‎ ‎⑤ ⑥换底公式:‎ ‎8.二次函数:‎ 二次函数(a≠0)的图象的对称轴方程是 ,顶点 坐标是 判别式;时,图像与轴有 个交点;时,图像与轴有 个交点;时,图像与轴没有交点;‎ ‎9. 韦达定理:‎ 若x1, x2是一元二次方程的两个根,则:x1+x2= ,x1x2= .‎ ‎10.零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点 ‎11.常见函数的导数公式:‎ ‎① ;② ; ‎ ‎③ ; ④ ;‎ ‎⑤ ; ⑥ ; ‎ ‎⑦ ; ⑧ .‎ ‎12.导数运算法则:‎ ‎ ; ‎ ‎ .‎ ‎13.曲线的切线方程:函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率为,相应的切线方程是 .‎ ‎14.微积分基本定理:‎ 如果是上的连续函数,并且有,则 ‎ 第三部分:三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1.角度制与弧度制互化:‎ ‎360°= rad,180°= rad,1°= ≈ rad,1rad= ≈ ‎ ‎2.若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则 ‎ , ,S= = .‎ ‎3.三角函数定义式:角终边上任一点(非原点)P,设 则 ‎ , , ‎ ‎4.同角三角函数的基本关系:‎ ‎ .‎ ‎5.函数的诱导公式:口诀: . ‎ ‎, , .(k∈Z)‎ ‎(2) , , .‎ ‎(3) , ,.‎ ‎(4) , , .‎ ‎, .‎ ‎(6) ,.‎ ‎6.特殊角的三角函数值:‎ 角α ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎135°‎ ‎150°‎ ‎180°‎ ‎270°‎ 角α的弧度数 Sinα Cosα tanα ‎7.三角函数的图像与性质:‎ 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 ‎8.几个常见三角函数的周期:‎ ‎①与的周期为 .‎ ‎②或()的周期为 . ‎ ‎③的周期为 .‎ ‎④的周期为 ‎ ‎9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ‎ ‎ ; ;‎ ‎ ; ;‎ ‎ ; . ‎ ‎10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式:‎ ‎ ‎ ‎ = = ‎ ‎ , , ‎ ‎ ‎ ‎11.引入辅助角公式: . (其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).‎ ‎12. 正弦定理: . (R是外接圆直径)‎ 注:①;②;③‎ ‎13. 余弦定理: .(变式)‎ ‎(以A角和其对边来表示)‎ ‎14. 三角形面积公式: = = .‎ ‎(用边与角的正弦值来表示)‎ 三角形面积导出公式:‎ ‎ (为内切圆半径)= (外接圆半径)‎ ‎15. 三角形内切圆半径r= 外接圆直径2R= = = ‎ 第四部分:平面向量、数列与不等式 1. 平面向量的基本运算:设,;()‎ ‎= ;= ;‎ ‎ (定义公式)= (坐标公式). ‎ 在方向上的投影为. = (坐标公式)‎ ‎ (一般表示) (坐标表示) . ‎ ‎ ∥ (一般表示) (坐标表示).‎ ‎ = (坐标公式).‎ ‎2.若为的重心,则 =;‎ 且G点坐标为 ( , )‎ ‎3.三点共线的充要条件:P,A,B三点共线 =x+y 且 =1‎ ‎4.三角形的四心 重心:三角形三条 交点.‎ 外心:三角形三边 相交于一点.‎ 内心:三角形三 相交于一点.‎ 垂心:三角形三边上 的相交于一点.‎ ‎5. 数列{}中与的关系 ‎ ‎6. 等差数列与等比数列对比小结:‎ 等差数列 等比数列 定义 公式 ‎1.‎ ‎2.‎ ‎1.‎ ‎2.‎ 性质 ‎1. ‎ 称为与的等差中项 ‎2.若, 则 ‎1. ‎ 称为与的等比中项 ‎2.若, 则 ‎7.常见数列的和:‎ ‎①1+2+3+……+n= ‎ ‎②12+22+32+……+n2= ‎ ‎③13+23+33+……+n3= ‎ ‎8.一元二次不等式解的讨论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数 ‎()的图象 一元二次方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9. 均值不等式: 若,,则 ;‎ ‎10. 重要不等式: ‎ ‎11.极值定理:已知都是正数,则有:‎ ‎(1)如果积是定值,那么当时和有最小值 ;‎ ‎(2)如果和是定值,那么当时积有最大值 .‎ ‎12.两个著名不等式:‎ ‎(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么 ‎ ‎(当仅当a=b时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)‎ 特别地,(当a = b时,)‎ 幂平均不等式:‎ ‎(2)柯西不等式: .(当且仅当ad=bc时取等号)‎ 第五部分:立体几何与解析几何 ‎1. 三视图与直观图:‎ ‎ 原图形与直观图面积之比为 ‎ ‎2. 常见几何体表面积公式:‎ ‎ 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积S= ‎ ‎ 圆台的表面积 S= 球的表面积 S= ‎ ‎3.常见几何体体积公式:‎ 柱体的体积 V= 锥体的体积 V= ‎ 台体的体积 V= 球体的体积 V= ‎ ‎4. 常见空间几何体的有关结论:‎ ‎⑴棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 ,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 .‎ ‎⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为,b,c,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积V= ‎ ‎⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为 ,全面积为 ,体积V= ‎ ‎⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径=长方体的 长.‎ ‎ 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长.‎ ‎⑸正四面体的性质:设棱长为,则正四面体的:‎ ① 高: ;②对棱间距离: ;③内切球半径: ;④外接球半径: ‎ ‎5. 空间向量中的夹角和距离公式:‎ ‎(1)空间中两点,的距离d= ‎ ‎(2)异面直线夹角:cosθ= (两直线方向向量为)‎ ‎(3)线面角:,且sinθ= (,为直线的方向向量与平面的法向量)‎ ‎(4)二面角:,且cosθ= (两平面的法向量分别为和)‎ ‎(5)点到面的距离:平面的法向量为,平面内任一点为,点到平面的距离 d= ‎ ‎6.直线的斜率: = = ‎ ‎(为直线的倾斜角,、为直线上的两点)‎ ‎7. 直线方程的五种形式:‎ 直线的点斜式方程: (直线过点,且斜率为).‎ 直线的斜截式方程: (为直线在轴上的截距).‎ 直线的两点式方程: (、 ,).‎ 直线的截距式方程: (、分别为直线在轴、轴上的截距,且).‎ 直线的一般式方程: (其中A、B不同时为0).‎ ‎8.两条直线的位置关系:‎ ‎(1)若,,则:‎ ‎① ∥ 且 ; .‎ ‎(2)若,,则:‎ ‎①∥ 且 ;②. .‎ ‎9.距离公式:‎ ‎(1)点,之间的距离: ‎ ‎(2)点到直线的距离: ‎ ‎(3)平行线间的距离:与的距离: ‎ ‎10.圆的方程:‎ ‎(1)圆的标准方程: ‎ ‎(2)圆的一般方程: (‎ ‎11.直线与圆的位置关系:判断圆心到直线的距离与半径的大小关系 ‎(1)当 时,直线和圆 (有两个交点);‎ ‎(2)当 时,直线和圆 (有且仅有一个交点);‎ ‎(3)当 时,直线和圆 (无交点);‎ ‎12. 圆与圆的位置关系:判断圆心距与两圆半径和,半径差()的大小关系:‎ ‎(1)当 时,两圆 ,有4条公切线;‎ ‎(2)当 时,两圆 ,有3条公切线;‎ ‎(3)当 时,两圆 ,有2条公切线;‎ ‎(4)当 时,两圆 ,有1条公切线;‎ ‎(5)当 时,两圆 ,没有公切线;‎ ‎13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= (d为直线的距离r为半径)‎ ‎14.椭圆的定义:‎ ‎(1)第一定义:平面内与两个定点的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距.()‎ ‎ ‎ ‎(2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .‎ ‎15.双曲线的定义:(1)第一定义:平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数: 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.()‎ ‎ ‎ ‎(2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .‎ ‎16.抛物线的定义:‎ ‎(1)平面内与一个定点和一条定直线(点不在上)的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点,定直线是抛物线的准线.‎ ‎ (2)标准方程:焦点在轴上: ;焦点在轴上: .‎ ‎17.离心率:e= (椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率 )‎ ‎18.双曲线的渐近线:(,)的渐近线方程为 ,且与具有相同渐近线的双曲线方程可设为.‎ ‎19.过抛物线焦点的直线:‎ 倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点():‎ ‎|AF|= |BF|= |AB|= = ‎ x1x2= y1y2= += ‎ ‎20.焦点三角形的面积:(1)椭圆:S= ;(2)双曲线:S= ()‎ ‎21.几何距离:‎ ‎(1)椭圆双曲线特有距离:①长轴(实轴): ; ②短轴(虚轴): ; ‎ ‎③两焦点间距离: . ‎ ‎(2)焦准距:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: .‎ ‎(3)通径长:①椭圆、双曲线: ; ②抛物线: . ‎ ‎22.直线被曲线所截得的弦长公式:若弦端点为,则 ‎|AB|= = = ‎ ‎23. 中点弦问题: 椭圆:kABkOP= 双曲线:kABkOP= ‎ 第六部分:统计与概率 ‎1. 总体特征数的估计:‎ ‎⑴样本平均数`x= = ;‎ ‎⑵样本方差;S2= = ;‎ ‎⑶样本标准差S= ‎ ‎2.概率公式:‎ ‎⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)= ‎ ‎⑵古典概型:基本事件的总数数为,随机事件A包含的基本事件个数为,则事件A发生的概率为:P(A)= ‎ ‎⑶几何概型:‎ ‎3.离散型随机变量:‎ ‎⑴随机变量的分布列:‎ ‎①随机变量分布列的性质:pi≥ , i=1,2,3,…; p1+p2+…= ‎ ‎②离散型随机变量:‎ X x1‎ X2‎ ‎…‎ X n P P1‎ P2‎ ‎…‎ P n 均值(又称期望):EX= ‎ 方差:DX= ‎ 注:;‎ ‎③二项分布(独立重复试验):若X~B(n , p),则EX= , DX= ‎ 注: ‎ ‎⑵条件概率: P(B|A)= ‎ 注:0P(B|A)1‎ ‎⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)= ‎ 第七部分:复数与计数原理 ‎1. 复数的基本概念:(,)‎ ‎(1)实部: ;虚部: ; 虚数单位:i2= ‎ ‎(2)模:|z|= = ‎ ‎(3)共轭复数:= (4)在复平面内对应的点为 ‎ ‎(5)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R) ‎ ‎2. 复数的基本运算:‎ ‎(1)加减法:(a+bi)+(c+di)= (a+bi)-(c+di)= ‎ ‎(2)乘法:(a+bi)×(c+di)= ‎ ‎(3)除法:(a+bi)÷(c+di)= ‎ 注:对虚数单位,有.‎ ‎3.分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理):.‎ ‎(1)完成一件事有类不同方案,在第类方案中有种不同的方法,在第类方案中有 种不同的方法,…,在第类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.‎ ‎(2)完成一件事情,需要分成个步骤,做第步有种不同的方法,做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法.‎ ‎4.排列数公式:= = ; = ‎ ‎(m≤ n, m、n∈N*) 规定 ‎5.组合数公式: = (,,且);‎ ‎6. 组合数性质: ; ‎ ‎7.二项式定理:(a+b)n= ‎ ‎(叫做二项式系数)‎ ‎8.二项展开式的通项公式:Tr+1= (r=0,1,2……,n)‎ 第八部分:坐标系与参数方程 ‎1. 极坐标→直角坐标 直角坐标→极坐标 ‎2. 圆的极坐标方程:‎ ‎①以极点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;‎ ‎②以为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;‎ ‎③以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;‎ ‎④以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;‎ ‎⑤以为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ‎ ‎3. 常见曲线的参数方程:‎ 常见曲线的普通方程与参数方程 普通方程 参数方程 直线 过点倾斜角为 或者 ‎ (为参数)‎ 圆 ‎ ‎ ‎ (为参数)‎ 椭圆 ‎(a>b>0)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (为参数)‎ 双曲线 ‎(a>0,b>0)‎ ‎ ‎ ‎ (为参数)‎ 抛物线 ‎ (p>0)‎ ‎ ‎ ‎ (为参数)‎