2014步步高高考数学第一轮复习12离散型随机变量及其分布列 15页

‎§12.4　离散型随机变量及其分布列 ‎2014高考会这样考　1.考查离散型随机变量及其分布列的概念；2.考查两点分布和超几何分布的简单应用．‎ 复习备考要这样做　1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握两点分布与超几何分布的特点，并会应用．‎ ‎1． 离散型随机变量的分布列 ‎(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．‎ ‎(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：‎ ‎①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.‎ 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．‎ ‎2． 如果随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎0‎ P p q 其中07)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)‎ ‎＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.‎ ‎3． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则 P(X＝0)等于 (　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C ‎4． 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是 (　　)‎ A．P(X＝2) B．P(X≤2)‎ C．P(X＝4) D．P(X≤4)‎ 答案　C 解析　X服从超几何分布P(X＝k)＝，故k＝4.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎5． 设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.‎ 答案　10‎ 解析　由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.‎ 所以取到每个数的概率均为.‎ ‎∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，‎ ‎∴n＝10.‎ ‎6． 已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．‎ 答案　 解析　设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，‎ 则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝，‎ 由得－≤d≤.‎ ‎7． 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案　0.1　0.6　0.3‎ 解析　P(X＝0)＝＝0.1，‎ P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎8． (10分)从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．‎ 解　设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎9. (12分)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概 率分别为，，.‎ ‎(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；‎ ‎(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．‎ 解　(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，‎ ‎∵X的可能取值为0,1,2,3.‎ ‎∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P(η＝6)＝P(X＝0)＝，P(η＝9)＝P(X＝1)＝，‎ P(η＝12)＝P(X＝2)＝，P(η＝15)＝P(X＝3)＝.‎ ‎∴得分η的分布列为 η ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ P B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟，满分：43分)‎ 一、选择题(每小题5分，共15分)‎ ‎1． 随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则 P的值为 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，‎ ‎∴＋＋＋＝1，∴a＝，‎ ‎∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎2． 袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是 ‎(　　)‎ A．ξ＝4 B．ξ＝‎5 ‎ C．ξ＝6 D．ξ≤5‎ 答案　C 解析　“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.‎ ‎3． 设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a＋＋＝1，∴a＝.‎ ‎∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎4． 已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.‎ 答案　 解析　P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.‎ ‎5． 设随机变量X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m 则P(|X－3|＝1)＝________.‎ 答案　 解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，‎ P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.‎ ‎6. 如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通 过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.‎ 答案　 解析　方法一　由已知，ξ的取值为7,8,9,10，‎ ‎∵P(ξ＝7)＝＝，‎ P(ξ＝8)＝＝，‎ P(ξ＝9)＝＝，‎ P(ξ＝10)＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 方法二　P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.‎ 三、解答题 ‎7． (13分)某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.‎ ‎　　视觉 听觉　　‎ 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ b 偏高 ‎2‎ a ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一人，视觉记忆能力恰为中等，‎ 且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.‎ ‎(1)试确定a，b的值；‎ ‎(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；‎ ‎(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．‎ 解　(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10＋a)人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，则P(A)＝＝，解得a＝6.‎ 所以b＝40－(32＋a)＝40－38＝2.‎ 答　a的值为6，b的值为2.‎ ‎(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．‎ 方法一　记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝.‎ 答　从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为.‎ 方法二　记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，‎ 所以P(B)＝＝.‎ 答　从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为.‎ ‎(3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为CC，‎ 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)，‎ ξ的可能取值为0,1,2,3，因为P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P