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  • 2021-05-13 发布

2015年高考山东理科数学试题及答案解析88670

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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2015年山东,理1】已知集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,故选C.‎ ‎(2)【2015年山东,理2】若复数满足,其中是虚数单位,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,故选A.‎ ‎(3)【2015年山东,理3】要得到函数的图象,只需将函数的图像( )‎ ‎(A)向左平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】,只需将函数的图像向右平移个单位,故选B.‎ ‎(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD的边长为,,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由菱形ABCD的边长为,可知,‎ ‎,故选D.‎ ‎(5)【2015年山东,理5】不等式的解集是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时,成立;当时,,解得,则 ‎;当时,不成立.综上,故选A.‎ ‎(6)【2015年山东,理6】已知满足约束条件若的最大值为4,则( )‎ ‎(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得,借助图形可知:当,即时在时有最大值0,不符合题意;当,即时在时有最大值,不满足;当,即时在时有最大值,不满足;当,即时在时有最大值,满足,故选B.‎ ‎(7)【2015年山东,理7】在梯形中,,,.将梯形 绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ ‎(8)【2015年山东,理8】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间内的概率为( )(附:若随机变量服从正态分布,则,)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】,故选D.‎ ‎(9)【2015年山东,理9】一条光线从点射出,经轴反射与圆相切,则反射光线 所在的直线的斜率为( )‎ ‎(A)或 (B)或 (C)或 (D)或 ‎【答案】D ‎【解析】关于轴对称点的坐标为,设反射光线所在直线为即,‎ 则,解得或,故选D.‎ ‎(10)【2015年山东,理10】设函数则满足的取值范围是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知,则或,解得,故选C.‎ 第II卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 ‎(11)【2015年山东,理11】观察下列各式:‎ 照此规律,当时, .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎(12)【2015年山东,理12】若“”是真命题,则实数的最小值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】“”是真命题,则,于是实数的最小值为1.‎ ‎(13)【2015年山东,理13】执行右边的程序框图,输出的的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎(14)【2015年山东,理14】已知函数的定义域和值域都是,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时,无解;当时,解得,则.‎ ‎(15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点,则的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的渐近线为,则 的焦点,则,即,,.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.‎ ‎(16)【2015年山东,理16】(本小题满分12分)设. ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若,求面积.‎ 解:(Ⅰ)由,‎ 由得,‎ 则的递增区间为;‎ 由得,‎ 则的递增区间为.‎ ‎ (Ⅱ)在锐角中,,,而,‎ 由余弦定理可得,当且仅当时等号成立,‎ 即,故面积的最大值为.‎ ‎(17)【2015年山东,理17】(本小题满分12分)如图,在三棱台中,‎ 分别为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若平面,,求平面与平面 所成角(锐角)的大小.‎ 解:(Ⅰ)证明:连接,,设与交于点,‎ 在三棱台中,,则,‎ 而是的中点,,则,‎ 所以四边形是平行四边形,是的中点,.‎ 又在,是的中点,则,‎ 又平面,平面,故平面.‎ ‎(Ⅱ)由平面,可得平面而,,,‎ 则,于是两两垂直,以点为坐标原点,‎ 所在的直线,分别为轴建立空间直角坐标系,‎ 设,则,‎ ‎,‎ 则平面的一个法向量为,设平面的法向量为 ‎,则,即,‎ 取,则,,‎ ‎,故平面与平面所成角(锐角)的大小为.‎ ‎(18)【2015年山东,理18】(本小题满分12分)设数列的前项和为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.‎ 解:(Ⅰ)由可得,,‎ 而,则.‎ ‎(Ⅱ)由及,可得 ‎,,‎ ‎(19)【2015年山东,理19】(本小题满分12分)若是一个三位正整数,且的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.‎ ‎(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;‎ ‎(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分的分布列和数学期望.‎ 解:(Ⅰ)125,135,145,235,245,345;‎ ‎(Ⅱ)的所有取值为-1,0,1.‎ 甲得分的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎(20)【2015年山东,理20】(本小题满分13分)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心,以3为半径的圆与以为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆,为椭圆上的任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点.‎ ‎(i)求的值;(ii)求面积最大值.‎ 解:(Ⅰ)由椭圆的离心率为可知,而则, 左、右焦点分别是,圆:圆:‎ 由两圆相交可得,即,交点在椭圆上,‎ 则,整理得,解得,(舍去),‎ 故,,椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(i)椭圆的方程为,设点,满足,射线,‎ 代入可得点,于是.‎ ‎(ii)点到直线距离等于原点到直线距离的3倍:‎ ‎,,得,‎ 整理得.‎ ‎,‎ ‎ ,当且仅当等号成立.‎ 而直线与椭圆有交点,则有解,‎ 即有解,‎ 其判别式,即,‎ 则上述不成立,等号不成立,‎ 设,则在为增函数,‎ 于是当时,故面积最大值为12.‎ ‎(21)【2015年山东,理21】(本题满分14分)设函数,其中. ‎ ‎(Ⅰ)讨论函数极值点的个数,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若,成立,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ),定义域为,‎ ‎,设,‎ 当时,,函数在为增函数,无极值点.‎ 当时,,‎ 若时,,函数在为增函数,无极值点.‎ 若时,设的两个不相等的实数根,且,‎ 且,而,则,所以当单调 递增;当单调递减;当单调递增.‎ 因此此时函数有两个极值点;‎ 当时,但,,所以当单调 递増;当单调递减,所以函数只有一个极值点.‎ ‎ 综上可知当时的无极值点;当时有一个极值点;当时,的有两个 极值点.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时在单调递增,而,‎ 则当时,,符合题意;‎ 当时,,在单调递增,而,‎ 则当时,,符合题意;‎ 当时,,所以函数在单调递减,而,‎ 则当时,,不符合题意;‎ 当时,设,当时,‎ 在单调递增,因此当时,‎ 于是,当时,‎ 此时,不符合题意.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 另解:(Ⅰ),定义域为 ‎,‎ 当时,,函数在为增函数,无极值点.‎ 设,‎ 当时,根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.‎ 若,即时,,函数在为增函数,无极值点.‎ 若,即或,而当时 此时方程在只有一个实数根,此时函数只有一个极值点;‎ 当时方程在都有两个不相等的实数根,此时函数有两个极值点;‎ 综上可知当时的极值点个数为0;当时的极值点个数为1;当时,‎ 的极值点个数为2.‎ ‎(Ⅱ)设函数,,都有成立,即 当时,恒成立;‎ 当时,,;‎ 当时,,;由均有成立.‎ 故当时,,,则只需;‎ 当时,,则需,即.综上可知对于,都有 成立,只需即可,故所求的取值范围是.‎ 另解:(Ⅱ)设函数,,要使,都有成立,只需函数函数在上单调递增即可,于是只需,成立,‎ 当时,令,,‎ 则;当时;当,,‎ 令,关于单调递增,‎ 则,则,于是.‎ 又当时,,所以函数在单调递减,而,‎ 则当时,,不符合题意;‎ 当时,设,当时,‎ 在单调递增,因此当时,‎ 于是,当时,此时,不符合题意.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可确定所求.‎