2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第一章1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 16页

‎1．四种命题及相互关系 ‎2．四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．‎ ‎2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　×　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)‎ ‎(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．(　√　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)‎ ‎(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)‎ ‎(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)‎ ‎1．下列命题为真命题的是(　　)‎ A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ D．若xy，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 答案　A 解析　对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.‎ ‎3．(2016·慈溪中学高三适应性考试)设a，b为实数，则“log2a>log2b”是“>”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由log2a>log2b，得a>b>0，‎ 而>⇔a>b≥0，‎ 故log2a>log2b是>的充分不必要条件．‎ ‎4．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；‎ ‎②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；‎ ‎③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．‎ 答案　①②‎ 解析　易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.‎ 题型一　命题及其关系 例1　(2016·湖州一模)有下列四个命题：‎ ‎①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中真命题为(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．①④ D．①②③‎ 答案　D 解析　①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.‎ 思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎　(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是(　　)‎ A．若x>0，则x2≤0‎ B．若x2>0，则x>0‎ C．若x≤0，则x2≤0‎ D．若x2≤0，则x≤0‎ ‎(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案　(1)C　(2)D 题型二　充分必要条件的判定 例2　(1)(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．‎ ‎(2)由5x－6>x2，得21且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，‎ 当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即qp，‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)(等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，‎ 因为綈q⇒綈p但綈p綈q，‎ 所以綈q是綈p的充分不必要条件，‎ 即p是q的充分不必要条件，故选A.‎ 题型三　充分必要条件的应用 例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则 ‎∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．‎ 引申探究 ‎1．若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ 解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴方程组无解，‎ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎∴P⇒S且SP.‎ ‎∴[－2,10][1－m,1＋m]．‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．‎ 思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎　(1)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q 的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．‎ ‎(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1)(0,3)　(2)[0，]‎ 解析　(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|01或x<}，‎ 綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]‎ 思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．‎ 解析　(1)∵{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}‎ ‎＝{(x，y)|x＝1且y＝2}，‎ ‎{(x，y)|(x－1)(y－2)＝0}＝{(x，y)|x＝1或y＝2}．‎ ‎∴{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}{(x，y)|(x－1)(y－2)＝0}，‎ 故“(x－1)2＋(y－2)2＝0”是“(x－1)(y－2)＝0”的充分不必要条件．‎ ‎(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．‎ ‎∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.‎ 答案　(1)A (2)A ‎1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ 答案　B 解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．‎ ‎2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是(　　)‎ A．如果x1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由1－＝<0，得02} D．{m|－23，‎ 即m>2，故选C.‎ ‎7．设x>0，则“a＝1”是“x＋≥2恒成立”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为x＋≥2，x>0恒成立⇔a≥(2x－x2)max＝1，x>0，‎ 所以“a＝1”是“x＋≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎8．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.‎ 故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．‎ ‎9．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)‎ A．a<0 B．01‎ 答案　A 解析　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.‎ 观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故选A.‎ ‎ *10.(2016·杭州二模)设函数f(x)＝asin(x＋α)＋bsin(x＋β)＋csin(x＋γ)，则“p：f()＝0”是“q：f(x)为偶函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　f(x)可化为f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，‎ 由f()＝0可得sin(＋φ)＝0，即cos φ＝0.‎ 易知cos φ＝0⇔f(x)为偶函数，‎ 所以p是q成立的充要条件．‎ ‎11．有三个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；‎ ‎③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．‎ 其中真命题的序号为____________．‎ 答案　①‎ 解析　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．‎ ‎12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充要 解析　若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，‎ 又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．‎ 当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．‎ 故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．‎ 反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，‎ 此时x－4∈[－1,0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，‎ 则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．‎ ‎∵y＝f(x)是偶函数，‎ ‎∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．‎ 故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．‎ ‎13．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　[0,2]‎ 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2.‎ ‎14．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．‎ 答案　[，＋∞)‎ 解析　若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.‎ 故所求λ的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎ *15.下列四个结论中：‎ ‎①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；‎ ‎②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；‎ ‎③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；‎ ‎④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．‎ 正确的是________．(填序号)‎ 答案　①④‎ 解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；‎ 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；‎ 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，‎ 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，‎ 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．‎ ‎ *16.已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解　y＝x2－x＋1‎ ‎＝(x－)2＋，‎ ‎∵x∈[，2]，∴≤y≤2.‎ ‎∴A＝{y|≤y≤2}．‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ ‎∴B＝{x|x≥1－m2}．‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ ‎∴A⊆B，∴1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．‎