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- 2021-05-13 发布
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2015年高考理科数学考点分类自测:曲线与方程
一、选择题
1.已知| |=3,A、B分别在y轴和x轴上运动,O为原点, = + ,则动点P的轨迹方程是 ( )
A.+y2=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.x2+=1
2.已知两个定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )
A.π B.4π
C.8π D.9π
3.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 =λ1 +λ2 (O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是 ( )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
4.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )
A.y2-=1(y≤-1) B.y2-=1(y≥1)
C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1)
5.给出以下方程:
①2x+y2=0;②3x2+5y2=1;③3x2-5y2=1;④|x|+|y|=2;⑤|x-y|=2,则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是 ( )A. 1 B.2
C.3 D.4
6.圆O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线l是圆O的一条切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是 ( )
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
二、填空题
7.直线+=1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是____________.
8.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.
9.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.
其中,所有正确结论的序号是____.
三、解答题
10.已知A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.
求动点P的轨迹C的方程.
11.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
12.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.
当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程.
详解答案
一、选择题
1.解析:设A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由| |=3得x+y=9,又因为 = (x,y), =(0,y0), =(x0,0),由 = + 得x=,y=,因此x0=,y0=3y,将其代入x+y=9得+y2=1.
答案:A
2.解析:设P(x,y),则|PA|2=(x+2)2+y2,|PB|2=(x-1)2+y2,又|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2,
∴(x-2)2+y2=4,表示圆,∴S=πr2=4π.
答案:B
3.解析:设C(x,y),则 =(x,y), =(3,1),
=(-1,3),
∵=λ1 +λ2 ,∴,又λ1+λ2=1,
∴x+2y-5=0,表示一条直线.
答案:A
4.解析:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支,又c=7,a=1,b2=
48,∴点F的轨迹方程为y2-=1(y≤-1).
答案:A
5.解析:所给出的方程中,①2x+y2=0是抛物线,②3x2+5y2=1是椭圆,③3x2-5y2=1是双曲线,④|x|+|y|=2是一个正方形,⑤|x-y|=2是两条平行直线,只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线,可以放进一个足够大的圆内.
答案:B
6.解析:设抛物线的焦点为F,因为A、B在抛物线上,所以由抛物线的定义知,A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN,于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.
过O作OP⊥l,由于l是圆O的一条切线,所以四边形AMNB是直角梯形,OP是中位线,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|.
根据椭圆的定义知,焦点F的轨迹是一个椭圆.
答案:B
二、填空题
7.解析:(参数法)设直线+=1与x、y轴交点为A(a,0),B(0,2-a),A、B中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.答案:x+y=1(x≠0,x≠1)
8.解析:如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,
方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3).
9.解析:因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,而a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1||PF2|=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;因为S△F1PF2=|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|=a2,即面积不大于a2,所以③正确.
答案:②③
三、解答题
10.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P是线段AB的中点,∴
∵A、B分别是直线y=x和y=-x上的点,
∴y1=x1,y2=-x2.
∴
又|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.
∴12y2+x2=12.
∴动点P的轨迹C的方程为+y2=1.
11.解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,
由已知得解得a=4,c=3.
b2=a2-c2=16-9=7.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知=λ2及点P在椭圆C上可得
=λ2,
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①λ=时,化简得9y2=112,所以点M的轨迹方程为y=±(-4 ≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.
②λ≠时,方程变形为+=1,
其中x∈[-4,4];
当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.
12.解:如图,可得直线l:x=-2与x轴交于点A(-2,0),设P(-2,m),
(1)当m=0时,点P与点A重合,这时OP的垂直平分线为x=-1,由∠AOP=∠MPO=0°,得M(-1,0);
(2)当m≠0时,设M(x0,y0),
①若x0>-1,由∠MPO=∠AOP得MP∥OA,有y0=m,
又kOP=-,OP的中点为(-1,),
∴OP的垂直平分线为y-=(x+1),而点M在OP的垂直平分线上,
∴y0-=(x0+1),又m=y0,
于是y0-=(x0+1),即y=4(x0+1)(x0>-1).
②若x0<-1,如图,由∠MPO=∠AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点,在y-=(x+1)中,令y=0,有x=--1<-1,即M(- -1,0),
∴点M的轨迹E的方程为y2=4(x+1)(x≥-1)和y=0(x<-1).