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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)【2015年安徽,文1】设是虚数单位,则复数( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】,故选C.
(2)【2015年安徽,文2】设全集,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,,故选B.
(3)【2015年安徽,文3】设,,则是成立的( )
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】,,,但,则是成立的必要不充分条件,故选C.
(4)【2015年安徽,文4】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】选项A: 的定义域为,故不具备奇偶性,故A错误;选项B: 是偶函数,但无解,即不存在零点,故B错误;选项C: 是奇函数,故C错;选项D: 是偶函数,且,故选D.
(5)【2015年安徽,文5】已知,满足约束条件,则
的最大值是( )
(A)-1 (B)-2 (C)-5 (D)1
【答案】A
【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图:令,
可知在图中处,取到最大值-1,故选A.
(6)【2015年安徽,文6】下列双曲线中,渐近线方程为的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为,故选A.
(7)【2015年安徽,文7】执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】B
【解析】由题意,程序框图循环如下:①,;②,;
③,;④,,此时,
,所以输出.故选B.
(8)【2015年安徽,文8】直线与圆相切,则( )
(A)-2或12 (B)2或-12 (C)-2或-12 (D)2或12
【答案】D
【解析】直线与圆心为,半径为1的圆相切,2或12,故选D.
(9)【2015年安徽,文9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由题意,该四面体的直观图如下,,时直角三角形,,是等边三角形,则,,所以四面体的表面积,故选C.
(10)【2015年安徽,文10】函数的图像如图所示,则下列结论
成立的是( )
(A),,, (B),,,
(C),,, (D),,,
【答案】A
【解析】由函数的图像可知,令,又,可知,
是的两根,由图可知,,,故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)【2015年安徽,文11】= .
【答案】-1
【解析】.
(12)【2015年安徽,文12】在中,,,,则 .
【答案】2
【解析】由正弦定理可知:.
(13)【2015年安徽,文13】已知数列中,,,则数列的前9项和等于 .
【答案】27
【解析】时,,且,是以为首项,为公差的等差数列.
.
(14)【2015年安徽,文14】在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为 .
【答案】
【解析】在同一直角坐株系内,作出与的大致图像,如下图:由题意,可知.
(15)【2015年安徽,文15】是边长为2的等边三角形,已知向量、满足,,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论得序号)
①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤.
【答案】①④⑤
【解析】∵等边三角形的边长为2,,,故①正确;,
,故②错误,④正确;由于,与夹角为,故③错误;又,故⑤正确.因此,正确的编号是①④⑤.
三、解答题:本大题共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定
区域内.
(16)【2015年安徽,文16】(本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)求最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
解:(Ⅰ)化简可得,即可求出的最小正周期.
(Ⅱ)时,,,,.
(17)【2015年安徽,文17】(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问
50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),
其中样本数据分组区间为,,…,,.
(Ⅰ)求频率分布图中的值;
(Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(Ⅲ)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率.
解:(Ⅰ)因为,所以.
(Ⅱ)由所给出频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为
,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(Ⅲ)受访职工中评分在的有:(人),记为;受访职工中评分在的
有:(人),记为.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10
种,它们是,,,,,,,,,
,又因为所抽取2人的评分都在的结果又1种,即,故所求的概率为
.
(18)【2015年安徽,文18】(本小题满分12分)已知数列是递增的等比数列,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设为数列的前项和,,求数列的前项和.
解:(Ⅰ)由题设知:,又,可解得或(舍去).
由得公比,故.
(Ⅱ),,
.
(19)【2015年安徽,文19】(本小题满分13分)如图,三棱锥中,平面,,,,.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)证明:在线段上存在点M,使得,并求的值.
解:(Ⅰ)由题设,,,可得.
由平面,可知是三棱锥的高,又,
所以三棱锥的体积.
(Ⅱ)在平面内,过点作,垂足为.在平面内,过点作交于点,连接.由平面知.由于,故平面,又平面,所以.在直角中,,从而.由,得.
(20)【2015年安徽,文20】(本小题满分13分)设椭圆的方程为,点为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点在线段上,满足,直线的斜率为.
(Ⅰ)求的离心率;
(Ⅱ)设点的坐标为,为线段的中点,证明.
解:(Ⅰ)由题设条件知,点的坐标为,又,从而,
进而得,故.
(Ⅱ)由是的中点知,点的坐标为,可得.又,
从而有.
由(Ⅰ)的计算结果可知,所以,故.
(21)【2015年安徽,文21】(本题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)求的定义域,并讨论的单调性;
(Ⅱ)若,求在内的极值.
解:(Ⅰ)由题意知,所求的定义域为.,
,所以当或时,,
当时,.
因此,的单调递减区间为和,的单调递增区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答可知,在上单调递增,在上单调递减,
因此,是的极大值点.所以在内的极大值为.
所以在内极大值为100,无极小值.