书城高考通关讲练 高考函数数学文课标通用三基本初等函数——对数函数doc 9页

三、基本初等函数——对数函数 考纲要求 ‎1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.‎ ‎2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.‎ ‎3．知道对数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎4．了解指数函数与对数函数互为反函数.‎ 命题规律 ‎1．结合分式函数、根式函数求函数的定义域， 一般以选择题、填空题的形式出现，为容易题.‎ ‎2．利用对数函数的单调性比较对数式的大小、解对数不等式、考查复合函数的单调性等，为容易题或中等题.‎ ‎3．对数函数的图象变化规律，以识图、用图为主要考查目标，为中等题或容易题，难度较大的题有时也出．‎ ‎1．对数的概念 一般地，对于指数式，我们把“以a为底N的对数b”记作，即．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．‎ ‎2．对数的运算 ‎（1）基本性质 若，则 ‎①；‎ ‎②.‎ ‎（2）对数的运算性质 如果，那么：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③.‎ ‎3．换底公式 ‎（1）对数的换底公式：.‎ 注意：应用换底公式时，一般选用e或10作为底数.‎ ‎（2）对数换底公式的变形：‎ ‎①；‎ ‎②.‎ ‎（3）对数换底公式的推广：.‎ ‎4．对数函数的图象与性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：‎ 图象 定义域：源:学科网ZXXK][来源:学,科,网]‎ 性质[来源:Zxxk.Com]‎ 值域：R 过定点，即时，‎ 当时， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 在上是增函数 在上是减函数 注意：函数与的图象关于轴对称.‎ ‎5．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称． ‎ ‎【例1】 已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是 A．（1，3] B．（1，3）‎ C．（0，1） D．[3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数在（0，2）上为减函数，‎ 可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，‎ 故有，解得.故选A．‎ ‎【考点定位】对数函数的性质.‎ ‎【名师点睛】不论还是，都有为减函数，又在（0，2）上为减函数，则，这是求解本题的关键.‎ ‎【例2】 已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，，，则a，b，c的大小关系是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，‎ ‎，又是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故在上是减函数，则，即.‎ ‎【考点定位】1.函数的性质；2.对数函数的运算性质；3.指数函数的运算性质.‎ ‎【名师点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和指数式、对数式的运算，是高考的常考内容.解题的关键是把自变量的值转化到同一单调区间上.‎ ‎【例3】 函数的零点所在的区间是 A．　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，知求函数的零点，即为求函数的图象与函数的图象的交点，因为函数为增函数，函数为减函数，故函数的图象与函数的图象的交点只有一个.当时，；当时，，因此函数的零点在区间内.‎ ‎【考点定位】1.对数函数的图象与性质；2.函数的零点.‎ ‎【名师点睛】本题把求函数零点所在的区间问题转化为求图象的交点问题，从而利用对数函数的图象与性质求解.‎ ‎【例4】（2016届宁夏银川一中高三上学期第四次月考）已知，函数，，当，时，存在x，t使得成立，则a的最小值为 A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，令，可得，时，函数 有最小值，是4，由，‎ 令，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以，则，因为，所以，则，所以实数的最小值为2.‎ ‎【考点定位】对数函数的性质.‎ ‎【名师点睛】本题重点利用，先把的最小值求出，再令它等于4，得到与的关系，从而转化为利用求的最小值．‎ ‎1．（四川成都七中2016届高三上学期10月阶段考试（一））设函数，则 A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎2．（2016·四川文科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） ‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎3．（宁夏中卫一中2016届高三上学期期末）定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．（2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟一）已知函数是奇函数，当时，．若不等式（且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．方程的解为 ．‎ 参考答案 ‎1．C 【解析】因为，‎ 所以，选C.‎ ‎2．B 【解析】设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，‎ 两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎3．B 【解析】∵，∴当时，，当时，，即时，的值域为.∵是定义在R上的奇函数，∴时的值域为.∴在R上的函数的值域为．‎ ‎∵定义在上的偶函数，时，∴.‎ ‎∵存在实数，使得成立，∴令，即，即，‎ ‎∴或．故选B．‎ ‎4．B 【解析】由题意设，则，则，从而.‎ 因为（且）对任意的恒成立，所以（且）对任意的恒成立，则，即，即.‎ ‎ 当时，，解得，此时无解；‎ ‎ 当时，，解得，此时.‎ ‎ 综上所述，的取值范围是.故选B.‎ ‎5． 【解析】设，则原方程为，得，即，即，解得.‎ 故，即，解得.‎ ‎ ‎ ‎1．对数函数的定义域为，指数函数的值域为.‎ ‎2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.‎ ‎3．注意利用对数函数的图象解题.‎ ‎①对数函数的底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.‎ ‎②‎ 作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系.‎ ‎4．比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较.‎ ‎5．解简单的对数不等式：形如的不等式，常借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论；形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.‎ ‎1．根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指数式中的指数幂，故为正数.所以在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零.求解过程不等价时，在求出答案后需进行检验.‎ ‎2．在解决底数中含有字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论.忽略底数对函数的单调性的影响就会出现漏解或错解，一般考虑与两种情况.‎ ‎【典例】 不等式的解集是_______.‎ ‎【错解】∵，∴原不等式等价于，‎ ‎∴，解得x＜2．∴不等式的解集为．‎ ‎【错因分析】错解中的底数的值不确定，因此要分类讨论.另外，求解时要保证真数大于0.‎ ‎【正解】∵，∴原不等式等价于，‎ 当>1时，，解得0＜x＜2．‎ 当时，，解得2＜x＜4．‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎【警示】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了.‎ ‎ ‎ 有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用处. 爱因斯坦 问他：“两个人从烟囱里爬出来，一个满脸烟灰，一个 干干净净，你认为哪一个会去洗澡？” “当然是脏的那 个.”学生说. “不对.脏的那个看见对方干干净净，以为 自己也不会脏，哪里会去洗澡？”‎