2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习（含解析） 13页

二项分布及其应用 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．‎ 求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意，甲获得冠军的概率为，‎ 其中比赛进行了3局的概率为，‎ 所求概率为，‎ 故选B．‎ ‎2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A ‎【分析】‎ 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种 ‎ 13‎ 所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，‎ 设随后一天空气质量为优良的概率为p，‎ 若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ 设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，‎ 该同学通过测试的概率为．‎ 故选：A．‎ 判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．‎ 本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．‎ 13‎ ‎5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，‎ 从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，‎ 由题意可得，，‎ 由条件概率公式可得，‎ 故选C．‎ 活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．‎ 本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，‎ 设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是 ‎ 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，‎ 根据条件概率公式，得：，‎ 故选：D．‎ 事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．‎ 13‎ 本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．‎ ‎7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，‎ 若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，‎ 则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，‎ 恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，‎ 则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；‎ 故选：A．‎ 根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．‎ 本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．‎ ‎8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：根据题意，得，‎ 13‎ 因此，事件AB对应的区间长度为，‎ 结合总的区间长度为1，可得 ‎ 又，同理可得 ‎ 因此， ‎ 故选：A ‎ 由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．‎ 本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．‎ ‎9. 九江气象台统计，‎5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：由题意，，，‎ ‎，‎ 故选B．‎ 确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．‎ 本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为 ‎ 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，‎ 则所求的概率即．‎ 又，，‎ 由公式．‎ 故选：D．‎ 设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．‎ 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．‎ ‎11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎（正确答案）D 13‎ 解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，‎ 故选：D．‎ 作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．‎ 本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．‎ ‎12. 下列说法中正确的是 ‎ 设随机变量X服从二项分布，则 ‎ 已知随机变量X服从正态分布且，则 ‎ ‎ ‎ ‎；．‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；‎ 随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，正确；‎ 利用积分的几何意义，可知，正确 ‎；故不正确．‎ 故选：A．‎ 分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．‎ 考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 13‎ ‎13. 如果，当取得最大值时， ______ ．‎ ‎（正确答案）50‎ 解：，‎ 当，‎ 由组合数知，当时取到最大值．‎ 故答案为：50．‎ 根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．‎ 本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．‎ ‎14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或‎6”‎，事件B为“两颗骰子的点数之和大于‎8”‎则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能 的事件与建立对应，‎ 显然：，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故答案为： ‎ 由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．‎ 13‎ 本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．‎ ‎15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，‎ 在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．‎ 故答案为：．‎ 根据剩下4个数的奇偶性得出结论．‎ 本题考查了条件概率的计算，属于基础题．‎ ‎16. 若随机变量，且，则 ______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：随机变量，且，‎ 可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ 由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．‎ 本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ 13‎ ‎17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．‎ Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；‎ Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；‎ Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．‎ ‎（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，‎ 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，‎ 射击3次，相当于3次独立重复试验，‎ 故．‎ 故甲至少有1次未击中目标的概率为；‎ 由题意知X的可能取值是0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ X的概率分布如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，‎ 甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，‎ 13‎ 则，，为互斥事件 ‎ 甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．‎ 根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．‎ 甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．‎ ‎18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球 从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：‎ 恰好有3次摸到红球的概率；‎ 设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；‎ Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，‎ 根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．‎ 由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，‎ 13‎ 根据独立重复试验公式得到：，‎ ‎．‎ 随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 随机变量Y的分布列是：‎ 的数学期望是．‎ 由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．‎ 由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．‎ 由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．‎ 解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．‎ ‎19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；‎ 13‎ 若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；‎ 计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．‎ ‎（正确答案）解：，，‎ 根据“先进和谐组”的定义可得 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，‎ 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 ‎ ‎ 该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率 ‎ ‎ 而，所以 ‎ 由知， ‎ 解得：‎ 根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；‎ 由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．‎ 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．‎ 13‎