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- 2021-05-13 发布
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2005年高考理科数学天津卷试题及答案
源头学子小屋
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号答在试卷上的无效
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的体积公式
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
= 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率 V柱体=Sh
是P,那么n次独立重复试验中恰好发 其中S表示柱体的底面积,
生k次的概率 h表示柱体的高
Pn(k)=CnPk(1-P)n-k
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的
(1)设集合, , 则( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)若复数(,为虚数单位位)是纯虚数,则实数的值为( )
(A)-2 (B)4 (C) -6 (D)6
(3)给出下列三个命题:①若,则;②若正整数和满足,则;③设为圆上任一点,圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切
其中假命题的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3
(4)设为平面,为直线,则的一个充分条件是( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
(6)从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和,则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为( )
(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90
(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为()
(A) (B) (C) (D)
(8)要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点的( )
(A)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
(B)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
(9)设是函数的反函数,则使成立的x的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
(10)若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项:
1答卷前将密封线内的项目填写清楚
2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
二、填空题:本大题共6小题, 每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上
(11)设,则
.
(12)如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________.
(13)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则=_____.
(14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则= .
(15)某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果:
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是___________(元)
(16)设是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线对称,则=________________.
三、解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
在中,所对的边长分别为,设满足条件和,求和的值
(18)(本小题满分12分)
已知
(Ⅰ)当时,求数列的前n项和
(Ⅱ)求
(19)(本小题满分12分)
如图,在斜三棱柱中,,侧面与底面ABC所成的二面角为,E、F分别是棱的中点
(Ⅰ)求与底面ABC所成的角
(Ⅱ)证明∥平面
(Ⅲ)求经过四点的球的体积
(20)(本小题满分12)
某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上,与水平地面的夹角为 ,tan=1/2试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)
(21)(本小题满分14分)
抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程
(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上
(Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围
(22)(本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)证明,其中为k为整数;
(Ⅱ)设为的一个极值点,证明;
(Ⅲ)设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,
证明
2005年高考理科数学天津卷试题及答案
参考答案
一、选择题(每小题5分,共50分)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
答案
D
C
B
D
C
B
A
C
A
B
二、填空题(每小题4分,共24分)
(11); (12);(13)2600;(14);(15)4760;(16)0.
三、解答题(共76分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分)
(17)解:由余弦定理,因此.
在中,.由已知条件,应用正弦定理
,解得,
从而.
(18)解:(Ⅰ)当时,.这时数列的前项和
. ①
①式两边同乘以,得 ②
①式减去②式,得
若,
,
若,
(Ⅱ)由(Ⅰ),当时,,
则.
当时,
此时,.
若,.
若,.
(19)解:(Ⅰ)过作平面,垂足为.
连结,并延长交于,于是为与底面所成的角.
∵,∴为的平分线.
又∵,∴,且为的中点.
因此,由三垂线定理.
∵,且,∴.
于是为二面角的平面角,
即.
由于四边形为平行四边形,得.
(Ⅱ)证明:设与的交点为,则点为的中点.连结.
在平行四边形中,因为的中点,故.
而平面,平面,所以平面.
(Ⅲ)连结.在和中,由于,,,则
≌,故.由已知得.
又∵平面,∴为的外心.
设所求球的球心为,则,且球心与中点的连线.
在中,.故所求球的半径,球的体积.
(20)解:如图所示,建立平面直角坐标系,则,,.
直线的方程为,即.
设点的坐标为,则()
由经过两点的直线的斜率公式
,
.
由直线到直线的角的公式得
()
要使达到最大,只须达到最小.
由均值不等式.当且仅当时上式取等号.故当时最大.这时,点的纵坐标为.
由此实际问题知,,所以最大时,最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.
(21)解:(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为.
(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为.
点和点的坐标是方程组 的解.
将②式代入①式得,
于是,故 ③
又点和点的坐标是方程组
的解.将⑤式代入④式得.于是,故.
由已知得,,则. ⑥
设点的坐标为,由,则.
将③式和⑥式代入上式得,
即.所以线段的中点在轴上.
(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为.
由③式知,代入得.
将代入⑥式得,代入得.
因此,直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
,.
于是,,
.
因为钝角且、、三点互不相同,故必有.
求得的取值范围是或.
又点的纵坐标满足,故
当时,;当时,.
即
(22)解:(Ⅰ)证明:由函数的定义,对任意整数,有
.
(Ⅱ)证明:函数在定义域上可导, ①
令,得.
显然,对于满足上述方程的有,
上述方程化简为.此方程一定有解.
的极值点一定满足.
由,得.
因此,.
(Ⅲ)证明:设是的任意正实数根,即,
则存在一个非负整数,使,即在第二或第四象限内.
由①式,在第二或第四象限中的符号可列表如下:
的符号
为奇数
-
0
+
为偶数
+
0
-
所以满足的正根都为的极值点.
由题设条件,,,…,,…为方程的全部正实数根且满足
,
那么对于,
. ②
由于 ,,
则,
由于,由②式知.
由此可知必在第二象限,
即. 综上,.
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