2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章1-1集合 14页

第1讲　集　合 最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ 知 识 梳 理 ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B AB 中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．‎ ‎(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)任何集合都有两个子集．(　　)‎ ‎(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(　　)‎ ‎(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)‎ ‎(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 解析　(1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．‎ ‎(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．‎ ‎(3)错误．当x＝1，不满足互异性．‎ ‎(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 解析　由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉ A.‎ 答案　D ‎3．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}‎ 解析　因为A＝{1,3,5,7}，而3,5∈A且3,5∈B，所以A∩B＝{3,5}．‎ 答案　B ‎4．(2017·西安模拟)设全集U＝{x|x∈N＋，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于(　　)‎ A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}‎ 解析　由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．‎ 答案　D ‎5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．‎ 解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．‎ 答案　2‎ 考点一　集合的基本概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C．0 D．0或 解析　(1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；‎ 当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；‎ 当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.‎ 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ 答案　(1)C　(2)D 规律方法　(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．‎ ‎(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎【训练1】 (1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.‎ ‎(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．‎ 解析　(1)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，且b＝1，‎ 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ ‎(2)由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，‎ 当a＝0时，x＝不合题意，舍去；‎ 当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－.‎ 答案　(1)2　(2) 考点二　集合间的基本关系 ‎【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A ‎(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)‎ A．{1,2} B．{x|x≤1}‎ C．{－1,0,1} D．R ‎(2)(2016·渭南调研)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为(　　)‎ A．2 B．－1‎ C．－1或2 D.或2‎ 解析　(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．‎ ‎(2)由＝，得x＝2，则A＝{2}．‎ 因为B＝{1，m}且A⊆B，‎ 所以m＝2.‎ 答案　(1)A　(2)A 考点三　集合的基本运算 ‎【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2,3] B．(－2,3]‎ C．[1,2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)‎ 解析　(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．‎ ‎(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．‎ ‎∴∁RQ＝{x|－20}，B＝{x|x≤1}，则(　　)‎ A．A∩B≠∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.‎ 答案　B ‎4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)‎ C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ 解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，‎ 得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．‎ 答案　C ‎5．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ 解析　由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞)．‎ 又B＝{x|x2－1<0}＝(－1,1)．‎ 因此A∪B＝(－1，＋∞)．‎ 答案　C ‎6．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁UP)∪Q＝(　　)‎ A．{1} B．{3,5}‎ C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}‎ 解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6}，P＝{1,3,5}，∴∁UP＝{2,4,6}，∵Q＝{1,2,4}，∴(∁UP)∪Q＝{1,2,4,6}．‎ 答案　C ‎7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A．1 B．3 C．7 D．31‎ 解析　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.‎ 答案　B ‎8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，‎ ‎∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.‎ 答案　(－∞，1]‎ ‎10．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.‎ 解析　由A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5}，因此A∩B＝{1,3}．‎ 答案　{1,3}‎ ‎11．集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.‎ 解析　由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，‎ ‎∴A－B＝[－1,0)．‎ 答案　[－1,0)‎ ‎12．(2017·合肥质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x2 017，则m>2 016.‎ 答案　(2 016，＋∞)‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：10分钟)‎ ‎13．(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁RS)∩T＝(　　)‎ A．[2,3] B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)‎ C．(2,3) D．(0，＋∞)‎ 解析　易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2,3)，‎ 因此(∁RS)∩T＝(2,3)．‎ 答案　C ‎14．(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}‎ C．{x|00，知B＝{x|x>3或x<0}，‎ ‎∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素．‎ 答案　1‎ ‎16．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.‎ 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5