2020-2021学年高考数学（理）考点：幂函数与二次函数 21页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：幂函数与二次函数 ‎ ‎1．幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝‎ y＝x－1‎ 图象 性质 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 ‎1．二次函数的解析式有哪些常用形式？‎ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；‎ ‎(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．‎ 提示　a>0且Δ≤0.‎ ‎3．函数y＝2x2是幂函数吗？‎ 提示　不是．‎ ‎1．（2016•新课标Ⅲ）已知，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上可得：，‎ 故选．‎ ‎2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升 加油时的累计里程（千米）‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为　　‎ A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 ‎【答案】B ‎【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100‎ 千米平均耗油量；‎ 故选．‎ ‎3．（2017•浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　‎ A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 ‎ C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，‎ ‎①当或，即，或时，‎ 函数在区间，上单调，‎ 此时（1），‎ 故的值与有关，与无关 ‎②当，即时，‎ 函数在区间，上递减，在，上递增，‎ 且（1），‎ 此时，‎ 故的值与有关，与无关 ‎③当，即时，‎ 函数在区间，上递减，在，上递增，‎ 且（1），‎ 此时（1），‎ 故的值与有关，与无关 综上可得：的值与有关，与无关 故选．‎ ‎4．（2017•上海）函数的单调递增区间是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的对称轴是，开口向上，‎ 故在，递增，‎ 故选．‎ ‎5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则　　‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数满足，‎ 故函数的图象关于直线对称，‎ 函数的图象也关于直线对称，‎ 故函数与 图象的交点也关于直线对称，‎ 故，‎ 故选．‎ ‎6．（2018•上海）已知，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，1，2，，‎ 幂函数为奇函数，且在上递减，‎ 是奇数，且，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎7．（2019•上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：点坐标为，，点坐标为，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取最小值，‎ 故答案为：．‎ ‎8．（2016•上海）函数在区间，上的最小值为0，最大值为1，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，对称轴，‎ ‎（1），（2），，‎ 在区间，上的最大值为1，最小值为0，‎ ‎，，‎ 故答案为：．‎ ‎1．（2020•重庆模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】点在幂函数的图象上，‎ ‎，，‎ 幂函数，在上单调递减，‎ 又，‎ ‎，即，‎ 故选．‎ ‎2．（2020•三明模拟）已知幂函数在上单调递增，函数，对于任意，时，总存在，使得，则的取值范围是　　‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】幂函数在上单调递增，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 当，时，，，设集合，，‎ 又当，时，，，设集合，，‎ 由题意得：，‎ ‎，解得：，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•武昌区模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由幂函数的定义可知，，，‎ 点在幂函数上，‎ ‎，，‎ 幂函数解析式为，在上单调递增，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数是定义在区间，上的奇函数，设，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数是定义在区间，上的奇函数，‎ 得，且，解得；‎ ‎，且在定义域上是单调增函数；‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•B卷模拟）已知幂函数的图象经过点，则（2）　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，因为幂函数图象过，‎ 则有，，即，‎ ‎（2）‎ 故选．‎ ‎6．（2020•江门模拟）若函数是幂函数，且满足，则的值为　　‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设为常数），‎ 满足，，．‎ ‎．‎ 则．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于　　‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数是幂函数，‎ ‎，解得，‎ ‎；‎ 令，解得，‎ 函数的图象经过定点，‎ ‎，解得．‎ 故选．‎ ‎8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数，若，则，大小关系是　　‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】幂函数在上是增函数，图象是上凸的，‎ 当时，应有．‎ 故选．‎ ‎9．（2018•保定一模）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（1）　　‎ A．0 B．2018 C．4036 D．4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数既是二次函数又是幂函数，，为偶函数；‎ 函数是上的奇函数，‎ 为定义域上的奇函数；‎ 函数，‎ ‎，‎ ‎（1）‎ ‎（1）‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎10．（2019•大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设 ‎，则，，的大小关系为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由点在幂函数的图象上，得，即．‎ ‎，单调递增，‎ 又，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎11．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，，，则，，的大小关系为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】点在幂函数图象上，‎ ‎（2），解得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，的大小关系为．‎ 故选．‎ ‎12．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，，的大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】点在幂函数图象上，‎ ‎（2），解得，，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，的大小关系是．‎ 故选．‎ ‎13．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数在上为增函数，则实数　　‎ A．4 B． C．2 D．或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】幂函数在上为增函数，‎ 所以，并且，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎14．（2019•西城区模拟）函数在区间上，的最大值是　　‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数在第一象限是减函数，‎ 函数在区间，上的最大值是．‎ 故选．‎ ‎15．（2019•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是　　‎ A． B．， C．， D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】幂函数的图象过点，‎ 所以，即，所以幂函数为 它的单调递增区间是：，‎ 故选．‎ ‎16．（2017•长沙一模）已知函数，则　　‎ A．，使得 ‎ B．，， ‎ C．，，，使得 ‎ D．，，，使得 ‎【答案】B ‎【解析】由函数，知：‎ 在中，恒成立，故错误；‎ 在中，，，故正确；‎ 在中，，，，使得，故错误；‎ 在中，当时，不存在，使得，故不成立．‎ 故选．‎ ‎17．（2019•西湖区校级模拟）若，则实数的取值范围是　　‎ A．， B．， C． D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】考察幂函数，它在，上是增函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•海南模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的对称轴为，‎ 函数在区间上单调递增，‎ ‎，解得，‎ 故选．‎ ‎19．（2019•西湖区校级模拟）若函数在区间，上是减函数，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，抛物线开口向上，对称轴，‎ 若在区间，上是减函数，则，即，‎ 故选．‎ ‎20．（2019•西湖区校级模拟）二次函数的部分对应值如表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎6‎ 则不等式的解集是　　‎ A．，， B．，， ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由表格中的数据可得，，‎ 又（3），且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，‎ 不等式的解集是，，．‎ 故选．‎ ‎21．（2019•西湖区校级模拟）设函数，，其中，若对任意的，，至少有一个为非负值，则实数的最大值是　　‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的，，和至少有一个为非负值，‎ 只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可，‎ 由，可得，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以时取得最大值为2．‎ 故选．‎ ‎22．（2020•静安区二模）若幂函数的图象经过点，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数为：‎ 幂函数的图象经过点，，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 则的值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎23．（2020•吉林模拟）是幂函数图象上的点，将的图象向右平移2‎ 个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点，，且在的图象上，则__________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由，解得．‎ ‎．‎ 可得：，‎ 点，，且在的图象上，‎ ‎．‎ ‎，．‎ 抛物线的焦点，，准线方程为．‎ 根据抛物线的性质可得：，‎ 则．‎ 故答案为：30．‎ ‎24．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数为幂函数，则；‎ 又函数的图象经过点，则，解得；‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎25．（2020•郑州二模）幂函数的图象关于轴对称，则实数__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数是幂函数，‎ ‎，‎ 解得或；‎ 当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；‎ 当时，函数的图象关于轴对称；‎ 实数．‎ 故答案为：2．‎ ‎26．（2019•西湖区校级模拟）如果幂函数的图象不过原点，则的值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】幂函数的图象不过原点，所以 解得，符合题意．‎ 故答案为：1‎ ‎27．（2015•黄冈模拟）已知幂函数的图象过点，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象过点，，‎ ‎，，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎28．（2020•松原模拟）幂函数的图象经过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象经过点，‎ 故答案为：．‎ ‎29．（2019•西湖区校级模拟）已知函数的图象在，上单调递增则__________，（2）__________．‎ ‎【答案】0，2；8‎ ‎【解析】函数的图象在，上单调递增，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得；‎ 又，且，‎ 所以，2，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以（2）．‎ 故答案为：0，2；8．‎ ‎30．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数的图象过点，则（3）__________．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】设，因为幂函数图象过，‎ 则有，，即，‎ ‎（3）（3）‎ 故答案为：27．‎ ‎31．（2019•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，则的解析式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意设，‎ 幂函数的图象过点，‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎32．（2020•浙江模拟）已知函数，对一切，，都有，则当，时，的最大值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题意，‎ 有得 所以（1）‎ 对一切，，都有 所以当时，‎ 当时，‎ 综上所述，当，时，的最大值为7．‎ ‎33．（2020•余姚市校级模拟）已知，若对任意的，存在，，使得成立，则实数的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，当，时，由可看作函数与函数的纵向距离，‎ 当切点与端点到直线纵向距离相等时，取得最大值的最小值，‎ 由，得，则切线方程为，‎ 过端点的平行线为，‎ 当纵向距离时，即时，纵向距离有最大值的最小值，‎ 此时纵向距离，即．‎ 故答案为：．‎ ‎34．（2020•江苏一模）已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式（a）恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由奇函数的性质可得，恒成立，‎ 即，‎ 故即，此时单调递减的奇函数，‎ 由不等式（a）恒成立，可得恒成立，‎ 结合二次函数的性质可知，，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎35．（2020•江都区校级模拟）函数在区间上递减，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在区间上递减，‎ ‎，‎ 解可得，‎ 故答案为：．‎ ‎36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数为偶函数，且（3）（5）．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）为偶函数，为偶数，‎ 又（3）（5），，即有：，‎ ‎，，又，或．‎ 当时，为奇数（舍去），‎ 当时，为偶数，符合题意．‎ ‎，‎ ‎（2）由（1）知： 且在区间，上为增函数．‎ 令，；‎ ‎①当时，是关于的增函数，只需在区间，上为增函数．‎ 即：‎ ‎②当时，是关于的减函数，只需在区间，上为减函数．‎ 即：，‎ 综上可知：的取值范围为：．‎